3

Іі Розв’язати задачі:

1. Користуючись двома істотними границями та наслідками з них, обчислити границю .

2. Знайти масу пластини , заданої нерівністю , з густиною .

3. Знайти інтеграл .

4. Знайти радіус, інтервал та область збіжності даного степеневого ряду, дослідивши його поведінку на кінцях інтервалу збіжності

5. Дослідити на збіжність даний невласний інтеграл, та знайти його значення у випадку збіжності .

6. Обчислити повторні границі та , якщо ,

, .

7. Знайти площу фігури, обмеженої параметрично заданою кривою , ; , .

8. Знайти похідну даної функції, заданої параметрично .

9. Обчислити границю функції .

10. Обчислити об’єм тіла, отриманого обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої лініями , та віссю

11. Довести дане твердження або показати, що воно є неправильним

(А|B)|C=(A|C)|(B|C).

12. Обчислити криволінійний інтеграл , якщо − від точки до точки у від’ємному напрямку.

13. Знайти об’єм тіла, яке утворюється при обертанні навколо осі фігури, обмеженої заданими лініями , , , .

14. Обчислити границю функції .

15. Записати формулу Тейлора для функції за степенями до члена з : , , .

16. Знайти та зобразити область визначення функції декількох змінних

17. Обчислити криволінійний інтеграл вздовж кривої , кінці якої знаходяться в точках з абсцисами і .

18. Визначити інтервали неперервності функції, дослідити точки і характер розриву, та побудувати її графік

19. Обчислити границю функції .

20. Поміняти порядок інтегрування. Область інтегрування зобразити на малюнку .

21. Знайти похідну даної функції, заданої параметрично

.

22. Обчислити подвійний інтеграл переходячи до полярних координат

, .

23. Знайти повторний інтеграл .

24. Користуючись двома істотними границями та наслідками з них, обчислити дану границю .

25. Дослідити на збіжність даний невласний інтеграл, та знайти його значення у випадку збіжності .

26. Користуючись властивостями границь, обчислити дану границю .

27. Дослідити даний ряд на збіжність .

28. Обчислити , якщо область – прямокутник .

29. Знайти об’єм тіла, яке утворюється при обертанні навколо осі фігури, обмеженої заданими лініями , , .

30. Обчислити границю функції .

31. Знайти інтеграл .

32. Знайти область збіжності даного функціонального ряду .

33. Знайти градієнт функції у точці , та похідну у точці за напрямом вектора , якщо , , .

34. Знайти даний інтеграл, скориставшись методом підстановки .

35. Знайти координати центра мас даної однорідної матеріальної дуги , , .

36. За допомогою ознаки Коші дослідити збіжність рядів .

37. Довести дане твердження або показати, що воно є неправильним: (A B)|B=A|B.

38. Використовуя інтегральну ознаку Коші дослідити ряди на збіжність .

39. Знайти інтеграл .

40. За допомогою ознаки Коші дослідити збіжність ряду .

41. Знайти статичний момент даної однорідної матеріальної дуги , , , відносно координатних віссей.

42. Знайти похідну даної функції, заданої неявно .

43. Обчислити границю функції .

44. Знайти даний інтеграл, скориставшись методом інтегрування частинами .

45. Дослідити даний ряд на збіжність .

46. Використовуя логарифмічне диференціювання, обчислити похідну даної функції .

47. Знайти інтеграл .

48. Знайти область збіжності даного функціонального ряду .

49. Знайти довжину даної дуги кривої (кардіоїда).

50. Використовуя логарифмічне диференціювання, обчислити похідні даних функцій .

51. Дослідити функцію на неперервність і з’ясувати характер точок розриву \

52. Обчислити криволінійний інтеграл , де − відрізок прямої від точки до точки .

53. Дослідити даний ряд на збіжність .

54. Обчислити визначений інтеграл

55. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями .

56. Дослідити функцію на неперервність і з’ясувати характер точок розриву

57. Знайти подвійний інтеграл , якщо область обмежена лініями , , .

58. Знайти границю функції, використовуючи правило Лопіталя .

59. За допомогою діаграм Ейлера – Венна впевнитись, що для будь – яких множин А, В і С виконується або не виконується така рівність: А|B=A|(A B).

60. Знайти довжину дуги кривої від до .