38 Дискретный случайный вектор
-называется
дискретным, если множество значений
каждой из его координат конечно или
счетно, т.е. любая координата является
дискретной случайной величиной.
Рассмотрим
более подробно двумерный случайный
вектор (XY).
Пусть случайная величина
и
Рядом распределения случайного вектора (XY) является таблица (матрица) соответствующих значений случайных величин и их вероятностей.
X Y |
Y1 |
... |
Ym |
X1 |
P11 |
... |
P1m |
.... |
... |
... |
.... |
Xn |
Pn1 |
.... |
Pnm |
Непрерывный случайный вектор
О. Случайный вектор (XY) называется непрерывным, если случайные ф-ии распределения непрерывны и дважды дифференцируемы всюду, за исключением конечного числа конечных точек.
О.
Совместной (двумерной) вероятностью
случайного вектора (XY)
называется ф-ия:
Вероятностный смысл:
39 Свойства
1)
(тк
неубывающая
ф-ия)
2)
.
Док-во: разобьем область Д прямыми,
параллельными осям координат, на n
частичных областей ДК
;
-стороны
прямоугольника Декарта.
,
т.к.
то
переходя
в это равенстве к
получим:
3)
4)
условия нормировки:
5) Свойство
согласованности:
;
40. Пусть Х и У-произвольные, стохастически связанные(зависимые) случайные величины с совместной функцией рапределения F(X,У). Если известно, что случ. вел-на У приняла значение У=у, то закон распределения случ вел-ны Х изменится. Новый закон распределения Х наз-ся условным законом распределения, при условии,что У=у. Характеристикой условного з-на распределения является условная функция распределения:
F(х I Y=y) = P(X<x I Y=y)
Если P(Y=y)=0, то это определение не имеет смысла.
Рассмотрим дискрет. случ. вектор (Х,У):
Пусть
случ. вел-ны Х и У принимают значения
(х1,х2,…,
),
(у1,у2,…,
)
соответсвенно, тогда:
F(х
I Y=
)
= P(X<x I Y=
)=
=
Аналогично:
F(y
I
X=
)
=
Рассмотрим непр случ вектор:
Условная функция распределения в этом случае опред след образом:
F(х
I
Y=y)
= P(X<x
I
Y=y)
=
=
=
=
[применим теор о среднем где
]=
=
[при
]
=
41
F(x
I Y=y) =
Аналогично:
F(y
I
X=x)
=
fy(y
I X=x) =
Из этих формул выразим совместную плотность вероят.:
f(x,y) = fy(y)fx(x I Y=y) = fx(x)fy(y I X=x) – формула произведения плотностей вероятностей.
Проинтегрируем равенство f(x,y) = fy(y)fx(x I Y=y) по у:
Аналогично:
=
Эти 2 формулы наз-ся формулами полной вероятности. Они позволяют находить маргинальную плотность 1ой случ величины по известной маргинальной плотности другой и условной плотности.
Запишем формулу Бейеса:
fx(x
I
Y=y)
=
=
Аналогично:
fy(y
I
X=x)
=
42.Две случайные величины Х и У называются независимыми, если независимы связанные с ними события ( Х=х,У=у и т.п.)
Т.к. свойство независимости соб. взаимное, то и свойство независимости случайных величин также взаимно,т.е. если Х не зависит от У то и У не зависит от Х и наоборот.
В терм. з-нов распределения условие независимости имеет вид:
F(x,y) = P((X<x)*(Y<y)) = P(X<x)*P(Y<y) = F(x)F(y), т.е. для независ. случ. величины совместная функция распределения равна произведению функций распределений отдельного компонента вектора.