Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Факультет:	Аэрокосмический
Специальность:	24.05.02 Проектирование авиационных
	и ракетных двигателей
Специализация:	Проектирование авиационных двигателей
	и энергетических установок
Кафедра:	Авиационные двигатели

Дисциплина «Уравнения математической физики»

Отчёт о решении задачи №1

На тему	Нахождение градиента
радиуса произвольно заданной окружности

Студент	Гамов Антон Сергеевич	(		)
	Петров Кирилл Олегович	(		)
	Похлебаев Георгий Юрьевич	(		)
Группа	АД-16-2с

Принял:

(

доц. каф. АД Матюнин В.П.

)

Дата:

Пермь 2018 г.

ЗАДАНИЕ

Вычислить градиент в точке O, для произвольно заданной в декартовой системе координат окружности.

ВВЕДЕНИЕ

Исследуемой моделью является окружность радиуса ρ с центром в точке O, представленная в декартовой системе координат (рис. 1). Радиус ρ состоит из двух компонент: r_x и r_y. Связь между ними устанавливается с помощью уравнения Пифагора:

(1)

С учётом расположения центра:

, (2)

где r_x0 и r_y0 проекции расстояния от центра координат до центра окружности.

Рис. № . Произвольная окружность с радиусом ρ

ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Данная модель представляет собой в общем случае сферу, с увеличивающимся во времени радиусом. Прототипом данной модели в реальном мире являются, например, расходящиеся круги на воде от падения камня, звуковые волны, электромагнитные волны. Расходящиеся сферы являются основным способом распространения волн.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотренную физическую модель можно применить для создания математической модели. Следует учесть, что для решения настоящей задачи достаточно рассмотреть одну плоскость распространения, например распространение волн по поверхности воды при падении в неё камня. Начальный размер окружности не зависит от размера камня. Это объясняется тем, что после вхождения в воду камень создаёт воронку, которая мгновенно сужается, образуя водную горку. Вода, стекая с этой горки, порождает волны.

Для упрощения воспользуемся принципом Даламбера, который позволяет решать задачи динамики методами статики. То есть примем, что радиус окружности не зависит от времени.

Тогда для описания математической модели необходимо и достаточно следующей формулы:

. (3)

РЕШЕНИЕ

Перед вычислением градиента следует определить, что является градиентом. Градиент - вектор, указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой, а по величине равный скорости роста этой величины в этом направлении. Математически выражается следующей записью:

(4)

В решении данной задачи орт k отсутствует. Тогда выражение (4) можно переписать как:

(5)

Далее следует найти частные производные R^ʹ_x и R^ʹ_y:

(6)

(7)

Тогда градиент радиуса окружности равен сумме производных (6) и (7) взятых по направляющим ортам i и j соответственно:

. (8)

ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Полученное решение имеет место быть и вполне применимо, но является довольно громоздким. Рассмотрим выражение (8). Знаменатель выражения совпадает с формулой (3), т.е. является радиусом произвольной окружности. Разности в числителях являются проекциями радиуса на соответствующие оси. Следует учесть, что отношение проекции к радиусу есть косинус между радиусом и положительным направлением оси:

, (9)

. (10)

Тогда, произведя замену в выражении (8) получаем:

. (11)

Для проверки правильности упрощения найдём длину градиентов (8) и (11):

, (12)

учитывая, что cos β = sin α. (13)

Следовательно, выражения (8) и (11) идентичны. Исходя из этого, можно сказать, что задача решена верно и математическая модель правильная.

ВЫВОДЫ

Проанализировав полученные выражения (12) и (13), можно говорить о том, что длина градиента не зависит от направления градиента. Зависимость состоит только в отношении конкретного положения рассматриваемой точки.