Скачиваний:
27
Добавлен:
21.06.2019
Размер:
663.55 Кб
Скачать

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Факультет:

Аэрокосмический

Специальность:

24.05.02 Проектирование авиационных

и ракетных двигателей

Специализация:

Проектирование авиационных двигателей

и энергетических установок

Кафедра:

Авиационные двигатели

Дисциплина «Уравнения математической физики»

Отчет о решении задачи №3

На тему

Нахождение градиента и дивергенции вектора скорости

несжимаемого потока в расширяющемся двумерном канале

Студенты

Дронов Дмитрий Сергеевич

(

)

Николаев Илья Владимирович

(

)

Харитонов Максим Сергеевич

(

)

Группа

АД-16-2с

Принял: _________ доц. каф. АД Матюнин В.П.

Дата: _________ 

Пермь, 2018

ЗАДАНИЕ

Найти градиент скалярного произведения двух векторов.

(1)

(2)

ВВЕДЕНИЕ

Для решения данной задачи нужно определить физическую модель, выбрать метод решения, аналитически описать поле скоростей, найти направление градиента вектора скорости и определить чем является поле, источником или стоком. Объектом исследования является поле линейных скоростей в канале.

1. ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

В качестве физической модели выбирается расширяющийся двумерный канал с плоскими стенками. Соответственно площадь канала увеличивается, а скорость уменьшается вдоль оси канала. Принимаем течение несжимаемым, тогда поле скоростей описать будет не сложно. При несжимаемом потоке дивергенция должна оказаться равной 0, так как не происходит деформации объема. Так как скорость в расширяющемся канале уменьшается, то градиент будет направлен в сторону увеличения скорости, то есть к входу в канал.

Рис.1. Схема канала

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Для нахождения градиента и дивергенции вектора скорости нужно определить понятия этих величин, а также решить дополнительную задачу – найти поле скоростей в расширяющемся канале.

Градиент

Градиент – представляет собой функцию скалярной величины и является вектором, нормальным к поверхности равного уровня и показывающий направление наибольшего возрастания функции:

(3)

Дивергенция

Дивергенция вектора – скалярное произведение - функции на вектор. Если вектором является скорость потока, то дивергенцию называют коэффициентом кубического или объемного расширения, или скоростью относительной деформации.

(4)

2.1. Дополнительная задача

Найти поле скоростей в расширяющемся канале.

Рис.2. Расширяющийся канал

2.1.1. Математическая модель дополнительной задачи

Предлагается рассмотреть живое сечение в полярной системе координат. Объемный расход по каналу постоянный и равен:

(5)

Отсюда следует, что:

(6)

Согласно расчётной схеме:

(7)

(8)

Вывод: поле скоростей можно описать данными уравнениями.

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

Для нахождения градиента и дивергенции вектора скорости обратимся к дополнительной задаче. Найдем частные производные от компонент вектора скорости и :

(9)

После нахождения частных производных можно найти дивергенцию и градиент:

(10)

(11)

(12)

(13)

После нахождения градиента и дивергенции вектора скорости можно анализировать полученные результаты.

АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ

Для анализа адекватности необходимо отследить, как будет изменяться величина и направление градиента и величина дивергенции. Для этого достаточно посмотреть, как будут вести себя градиент и дивергенция при тех или иных значениях х и у.

Чем больше угол раскрытия, тем меньше мелко, и интенсивность уменьшения скорости увеличивается, но не быстро.

Рисунок 3 – направления градиентов проекций скорости над осью О под ней, до угла в 45° и больше

На рисунке 3 показаны направления градиентов скорости над осью канала и под ней до и после, полученные из анализа уравнений (10), (11). Такое распределение направлений градиентов проекций скоростей обусловлено поперечным сжатием частиц в одном направлении и продольным расширением в другом направлении, и наоборот. При расширении частиц в одном из направлений происходит ускорение потока в этом направлении, при сжатии – торможение.

В продольном направлении канала, при > наблюдается ускорение, а при <– торможение. В результате, при увеличении радиуса, живое сечение переходит в поперечное и скорость стремится к нулю.

Рис.4. Зависимость проекций скорости от угла раскрытия

Из графика видно, что до понемногу убывает, а сильно возрастает, а после наоборот. После течение отрывное, поэтому, после решение применимо только при использовании некоторых технических дополнений, а именно, для формирования безотрывного потока больших углов раскрытия можно применить канал с добавленными в него пластинками, как показано на рисунке 5.

Рис.5. Каналы для безотрывного формирования потока с большим углом раскрытия

ВЫВОД

Таким образом, с помощью поля скоростей, удалось определить градиент и дивергенцию вектора скорости, найти максимальный угол раскрытия, при котором, в плоском расширяющемся канале, не происходит срыв потока. Также представлен метод увеличения угла раскрытия более в расширяющемся канале.

7

Соседние файлы в папке Задачи Матюнин