Статистическая физика / Конспект лекций

а обобщением понятия дисперсии на многомерный случай является матрица ковариаций :

Обобщим таким же образом определение (2.2.6) для среднего значения случайной функции :

Иногда важно знать распределение вероятности некоторой определенной случайной переменной , независимо от значений всех остальных переменных. Используя определение (2.2.11) и аксиому (2.1.2), сразу получаем

В теории вероятностей принципиальную роль играет концепция независимости. Идея независимости может быть введена на уровне событий, но ее реализация в этом случае требует привлечения теории множеств. Для достижения целей, которые стоят перед нами, достаточно рассмотрения понятия независимости случайных величин. Мы рассмотрим две случайные

51

Следовательно, удовлетворяются оба фундаментальных свойства (2.2.3) для вероятности распределения.

Следовательно, выражение (2.2.19) эквивалентно выражению, которое представляет собой более привычную формулировку статистической независимости для двух случайных переменных:

Аналогично статистическая независимость случайных переменных запишется как

Из (2.2.23) с учетом (2.2.13) и (2.2.14) сразу получаем, что элементы ковариационной матрицы двух независимых случайных переменных равна нулю:

2.3. Континуальный предел. Непрерывные случайные переменные

52

До этого момента мы ограничивались рассмотрением вероятности для счетного набора событий. Переход на несчетный набор ведет к значительным логическим трудностям, которые могут быть разрешены лишь с помощью чрезвычайно сложного математического аппарата. Нетрудно понять источник этих трудностей. Рассмотрим простой пример. Предположим, что вместо того, чтобы бросать игральную кость на плоскость, мы бросим шар с поверхностью, площадь которой равна и на которой отмечена некоторая точка . Вероятность того, что данная точка придет в соприкосновение с плоскостью и шар точно встанет на точку, очевидно, исчезающее мала. Выделим теперь на поверхности шара вместо точки малую область . Вероятность наличия контакта между шаром и плоскостью через этот элемент поверхности является конечным числом, равным , где — площадь области контакта на поверхности шара. Однако область поверхности состоит из несчетного множества точек. Таким образом, у нас имеется некоторое событие («контакт по области »), которое характеризуется конечной вероятностью и представляет собой совокупность элементарных событий («контакт в точке»), каждое из которых имеет нулевую вероятность. Этот парадоксальный результат показывает невозможность простого обобщения аксиомы (2.1.2). Но для многих приложений теории вероятности нельзя отказаться от использования континуальной вероятности. Для интересующих нас случаев это может быть сделано на уровне распределения вероятности без детального анализа закона вероятности.

Рассмотрим некоторую одномерную случайную переменную , которая определена на конечном пространстве событий. Из аксиомы (2.1.2) и определения (2.2.2) получим вероятность того, что находится в интервале между значениями и :

Опишем теперь процедуру предельного перехода, при котором число элементарных событий неограниченно возрастает таким образом, что для фиксированного выполняются предельные соотношения:

53

предполагаем, что предел

существует и непрерывен. Тогда соотношение (2.3.1) в пределе при использовании понятия об интегральной сумме можно представить в виде:

величина удовлетворяет двум очевидным условиям (см. (2.2.3)):

Конечно, такой путь введения континуальной плотности вероятности весьма формален и основан на сильных математических допущениях. Тем не менее, во многих случаях соотношения (2.3.6) и (2.3.7) рассматриваются просто как определения без явного выполнения предельного перехода.

Все определения и свойства, представленные ранее для дискретного случая, могут быть сравнительно просто перенесены на континуальный

54

Условие статистической независимости нескольких переменных теперь имеет вид (см. (2.2.23))

Обратим внимание, что из полученных выражений очень просто осуществить переход к случаю дискретных переменных. Действительно, предположим, что плотность вероятности мы берем в виде

Здесь — числа, которые удовлетворят условиям (2.2.3), а — дискретный набор точек на вещественной оси. Кроме того, здесь нами

С учетом (2.3.12) и (2.3.13), например, для математического ожидания в соответствии с определением (2.3.8) получим

55

Таким образом, мы вернулись к соотношению (2.2.6) для дискретной переменной. Этот результат является общим. С помощью представлений типа (2.3.12) дискретный случай можно трактовать как частный случай континуального.

2.4. Биномиальное распределение. Распределения Гаусса и Пуассона

Основная задача теории вероятностей — определение вероятности событий, когда известны вероятности элементарных событий. Например, исходя из априорной вероятности выпадения произвольной грани игральной кости, равной , может быть определена вероятность того, что в результате трех бросаний кости будет набрано в сумме 10 очков. Нетрудно показать, что эта вероятность равна .

Наиболее распространенным в теории вероятностей является биномиальное распределение — распределение вероятности «успехов» в последовательности из независимых случайных событий, таких, что

в случае «отрицательного исхода» испытания с номером . Если общее число испытаний фиксировано, то такая схема называется испытаниями Бернулли (или схема Бернулли). Построим теперь случайную величину :

Тогда случайная величина , представляющая собой число единиц

56

где — биномиальный коэффициент. Вероятности соответствуют членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу испытаний:

Отсюда и название распределения. Оно, в частности, дает распределение вероятностей выпадения «орла» (или «решки») в испытаниях при бросании правильной монеты, распределение невзаимодействующих частиц по двум объемам.

С учетом (2.4.4) нетрудно убедиться, что распределение вероятности (2.4.3) удовлетворяет условию нормировки (2.2.3):

Определим математическое ожидание для биномиального распределения, показывающее среднее значение числа «положительных исходов» при независимых испытаниях:

Следовательно, биномиальное распределение (2.4.3) можно записать в виде:

При проведении испытаний Бернулли чаще всего нужно найти

становится очень большим, непосредственное использование биномиального распределения требует громоздких вычислений. Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что значение вероятности в (2.4.7) фиксировано, а . Теорема Муавра—Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является так называемое нормальное

57

Для функции выполняется условие , — некоторая положительная величина. Приближенную формулу

При вычислении пределов в (2.4.11) необходимо учитывать условие (2.4.7).

Другим важнейшим примером распределения вероятностей независимых случайных величин, принимающих неотрицательные целочисленные значения, является распределение Пуассона:

где — некоторая фиксированная положительная величина. Это распределение играет ключевую роль в теории массового обслуживания, целью которой является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания. В частности, с помощью распределения Пуассона описывается поток требований, например, вызовов, поступающих на телефонную станцию, выездов машин скорой помощи при транспортных происшествиях в большом городе.

Нетрудно убедиться, что распределение Пуассона удовлетворяет условию нормировки при произвольных значениях параметра :

58

Распределение Пуассона обладает замечательными свойствами — его математическое ожидание и дисперсия совпадают с величиной параметра :

Кроме того, сумма независимых случайных величин, каждая из которых характеризуется распределением Пуассона, также имеет распределение Пуассона. С учетом (2.4.11) и (2.4.13) это распределение можно представить в виде

Рассмотрим теперь распределение Пуассона в случае, когда величины и являются большими числами, но .

Из (2.4.14) следует

Преобразуем это выражение, воспользовавшись полной формулой Стирлинга:

Далее с точностью до двух первых членов разложения по малому параметру найдем

Подставляя (2.4.18) в (2.4.17), удержим в произведении два наибольших слагаемых: и . В этом случае

59

имы получаем распределение Гаусса (2.4.11). С учетом требования

,условие нормировки можно записать как

Здесь учтено, что

Используя (2.4.21) нетрудно убедиться, что распределение Гаусса (2.4.11) обладает свойствами, аналогичными свойствам распределения Пуассона (см. (2.4.13)):

Следовательно, относительная флуктуация

тем меньше, чем больше среднее значение . Аналогичное утверждение, очевидно, справедливо и для распределения Пуассона.

2.5. Случайные процессы

В предшествующем рассмотрении мы молчаливо предполагали, что все происходит вне времени. Однако физика имеет дело с процессами, которые представляют собой изменение состояния во времени. В простой модели процесса используется дискретное время, так что в каждый момент времени реализуется некоторое состояние. При переходе от одного момента времени к другому происходит изменение состояния и каждому моменту времени соответствует определенное состояние. Настоящее — это сечение, отделяющее прошлое (реализованные состояния) от будущего (возможные состояния). Исследование возможных вариантов будущего, или оценка вероятности определенного исхода, как раз и составляет задачу физики.

Понятие о случайном процессе можно получить, изучая динамику народонаселения. Численность населения можно приближенно представить в

60