Статистическая физика / Решение задач для практических занятий

Задача № 7. Используя распределение Гиббса для квазиклассической системы, получить следующие распределения (различные формы распределения Максвелла):

А) вероятность того, что скорость любой частицы лежит в интервалах ;

Б) вероятность того, что абсолютная величина скорости любой частицы лежит в интервале ;

В) вероятность того, что кинетическая энергия любой частицы лежит в интервале .

Решение:

Согласно распределению Гиббса вероятность нахождения системы в элементе фазового объема определяется функцией Гамильтона

следующим образом

Интегрирование по импульсам и координатам частиц может быть проведено независимо.

А) Учитывая, что , а также, что в распределении Гиббса импульсы частиц независимы, мы можем произвести интегрирование по всем координатам частиц и по всем импульсам, кроме выделенного, и сразу записать, что вероятность того, что скорость любой частицы лежит в интервалах

равна

11

12

Задача № 8. Используя распределение вероятности

того, что абсолютная величина скорости любой частицы лежит в

Решение:

Воспользуемся определением гамма–функции

где

По общему правилу нахождения среднего имеем

Используя значения гамма–функции, находим

а из условия

13

14

Задача № 9. Найти вероятность того, что две частицы в классическом газе имеют абсолютную величину скорости относительного движения в интервале . Определить среднее значение абсолютной величины скорости относительного движения .

Решение:

Определим вероятность того, что первая частица имеет скорость , а вторая скорость . Из распределения Гиббса для квазиклассической системы получаем

Используя условие нормировки, получаем

Перейдем к новым переменным

Подставляя полученные соотношения в формулу для распределения вероятностей , получаем

15

Проинтегрировав это выражение по скорости движения центра масс, находим распределение частиц по абсолютной величине относительной скорости:

Следовательно,

16

Задача № 10. Используя распределение Максвелла, определить давление классического идеального газа на стенку сосуда, в

сталкиваются частицы газа. Будем считать, что частицы газа сталкиваются со стенкой сосуда абсолютно упруго. Это означает, что при столкновении частицы со стенкой выполняется закон сохранения энергии для частицы. Так как мы рассматриваем идеальный газ, это означает, что в результате столкновения со стенкой сохраняется величина , где – значение модуля импульса частицы до столкновения со стенкой. При этом,

до столкновения со стенкой. Таким образом, частица действует на

частицы, необходимо определить число частиц, которые смогут долететь до стенки за время . Рассмотрим частицы, проекции

успевают достичь стенки за время . Проекции импульса в других направлениях не влияют на столкновения частиц со стенкой. Поэтому число частиц, имеющих импульс до столкновения и сталкивающихся за время с поверхностью сосуда площадью , равно (в единицу времени на единицу поверхности)

17

18

Задача № 11. Разреженный газ находится в сосуде при давлении .

Максвелла, находим среднее число частиц газа, вылетающих через отверстие площадью за время :

где проекция скорости направлена по нормали к поверхности отверстия. Следовательно, скорость истечения частиц газа равна

идеальном классическом газе. Отметим, что приведенное решение имеет смысл, когда вылетающий через отверстие пучок частиц не нарушает теплового равновесия газа в сосуде, т.е. когда число вылетающих частиц много меньше полного числа частиц в газе.

19

Задача № 12. Определить химический потенциал идеального электронного газа как функцию плотности и температуры при условии . Использовать для рассматриваемых условий соотношение

где

Решение:

В рамках большого канонического распределения плотность идеального электронного газа как функция температуры и химического потенциала равна

где коэффициент 2 обусловлен вырождением, связанным со спином электрона, , – масса электрона. Переходя в интеграле к сферическим координатам и переменной , находим

20