Квантовая механика / Задачи
.pdfЗадачи по дисциплине «Квантовая механика»
Задачи 1 – 23, 26, 27, 31, 32 – 37 включены в экзаменационные билеты. Остальные задачи, отмеченные звёздочкой, могут задаваться в качестве дополнительных вопросов.
1 (2.3.1). Вычислите волновые функции стационарных состояний un (x) и соответствующие энергетические уровни En микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией
∞, |
|
−∞ < x < 0; |
|
|
, |
0 ≤ x ≤ L; |
|
Φ(x) = Φ0 |
|
||
|
|
L < x < ∞. |
|
∞, |
|
|
|
2 (2.3.2). Вычислите волновые |
функции стационарных связанных |
состояний |
|
un (x) и соответствующие энергетические уровни En микрочастицы |
массы m, |
||
находящейся в поле сил с потенциальной энергией |
|
||
∞, |
|
−∞< x < 0; |
|
|
, |
0 ≤ x ≤ L; |
|
Φ(x) = Φ |
|
||
0 |
|
|
|
Φ1 >Φ0 , L < x < ∞. |
|
||
3 (2.3.3). Вычислите волновые функции и энергетические уровни микрочастицы массы m с одной степенью свободы, находящейся в стационарных связанных состояниях в поле силы
Φ(x) = Φ0 + 12 ax2 .
4 (2.3.4). Вычислите волновые функции и энергетические уровни микрочастицы массы m, находящейся в стационарных связанных состояниях в следующем поле:
Φ(x, y, z) = Φ0 , если частица находится внутри прямоугольного параллелепипеда с
координатами 0 ≤ x ≤ Lx ; 0 ≤ y ≤ Ly ; 0 ≤ z ≤ Lz ;
Φ(x, y, z) = ∞, если частица находится вне указанного параллелепипеда.
5 (2.3.5). Вычислите коэффициент отражения микрочастицы массы m от потенциального барьера и коэффициент прохождения сквозь барьер (коэффициент прозрачности). Потенциальная энергия поля силы (потенциальный барьер):
Φ0 , −∞ < x < 0; Φ(x) = Φ1 > Φ0 , 0 ≤ x ≤ L;Φ0 , 0 < x < ∞.
Энергия частицы E ≥ Φ0 . Принять, что частица «падает» на барьер слева направо, т.е. из области x → –∞ в направлении вдоль оси x.
6 (4.2.1). Докажите, что оператор импульса pˆ x — самосопряжённый.
7 (4.2.2). Докажите, что оператор координаты xˆ — самосопряжённый.
8 (4.3.1). Докажите, что собственные функции оператора Гамильтона из задачи 1 (частица в прямоугольной потенциальной «яме» со «стенками» бесконечной высоты), принадлежащие разным собственным значениям (энергиям частицы) ортогональны.
9 (4.4.4). Докажите, |
что коэффициенты разложения cn волновой функции |
микросистемы ψ(t,q) по |
ˆ |
собственным функциям самосопряжённого оператора F , |
обладающего дискретным спектром собственных значений, удовлетворяют равенству
∑cn 2 = ∑wn =1.
n≥1 n≥1
10 (4.4.7). Докажите, что среднее значение динамической переменной F, которую
ˆ
представляет оператор F , в состоянии микросистемы, описываемой волновой функцией ψ(t,q), в случае дискретного спектра собственных значений можно вычислить по формуле
F (t) = ∫ψ * (t, q)Fˆψ(t, q)dq ≡<ψ | Fˆ |ψ >.
11 (4.4.11). Докажите, что коэффициент разложения c(F) волновой функции
ψ ˆ
микросистемы (t,q) по собственным функциям самосопряжённого оператора F , обладающего непрерывным спектром собственных значений, удовлетворяют равенству
Fmax |
Fmax |
∫| c(F) |2 dF = |
∫P(F)dF =1. |
Fmin |
Fmin |
12 (4.4.13). Докажите, что среднее значение динамической переменной F, которую
представляет оператор ˆ , в состоянии микросистемы, описываемой волновой
F
функцией ψ(t,q), в случае непрерывного спектра собственных значений можно вычислить по формуле
F(t) = ∫ψ * (t, q)Fˆψ(t, q)dq ≡<ψ | Fˆ |ψ >.
13 (4.4.1). Вычислите среднее значение координаты микрочастицы, находящейся в стационарном состоянии в поле силы «прямоугольная потенциальная яма со стенками бесконечной высоты» (задача 1).
14 (4.4.2). Вычислите среднее значение импульса микрочастицы, находящейся в стационарном состоянии в поле силы «прямоугольная потенциальная яма со стенками бесконечной высоты» (задача 1).
15 (5.1.1). Выведите коммутационное соотношение между операторами импульса
ˆ |
|
|
pˆ x и Гамильтона H микрочастицы с одной степенью свободы: |
||
ˆ |
∂Φ ˆ |
|
[H , pˆ x ] =ih |
∂x |
1 . |
|
|
|
16 (5.1.2). Выведите |
коммутационное соотношение между операторами |
|||
ˆ |
ˆ |
|
|
|
H микрочастицы с одной степенью свободы: |
||||
координаты x и Гамильтона |
||||
|
ˆ |
ih |
|
|
|
[H , xˆ] = − |
m |
pˆ x . |
|
|
|
|
||
17 (5.3.1). Выведите соотношение неопределённостей между энергией и импульсом микрочастицы с одной степенью свободы:
Hrms |
px, |
|
≥ |
h |
|
∂Φ |
|
. |
rms |
|
∂x |
||||||
|
|
2 |
|
|
||||
18 (5.3.2). Выведите соотношение неопределённостей между энергией и координатой микрочастицы с одной степенью свободы:
H |
rms |
x |
≥ |
h |
|
|
p |
x |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
rms |
|
2m |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19 (6.2.2). Выведите коммутационное соотношение между операторами проекций момента импульса
ˆ ˆ = ˆ
[M x , M y ] ihM z .
20 (6.2.3). Выведите коммутационное соотношение между операторами квадрата и проекции момента импульса
ˆ 2 |
ˆ |
ˆ |
[M |
, M z ] = 0 . |
|
21 (7.3.1). Вычислите энергетические уровни El,v и радиальные волновые функции χl,v (r) , описывающие связанные состояния электрона и ядра в атоме водорода (Z = 1) и водородоподобном ионе (Z > 1).
22. Докажите первую теорему Эренфеста ddtx = m1 px , используя динамическое уравнение Гайзенберга.
23. Докажите |
вторую теорему Эренфеста |
|
d |
px |
|
= |
|
; |
F |
|
= − |
∂Φ |
, |
используя |
|||||||||||
|
|
F |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
x |
|
x |
|
∂x |
|
|
|
|||
динамическое уравнение Гайзенберга. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
24*. Докажите, что единичный оператор коммутирует с любым оператором, а их |
|||||||||||||||||||||||||
произведение равно самому оператору: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
F =F |
1 =F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ˆ ˆ |
|
|
−1 |
, обратный оператору |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|||||||||||||
25*. Докажите, что оператор (FG) |
|
|
F |
G — произведению |
|||||||||||||||||||||
ˆ |
и |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
обратных |
|
|
|
|
ˆ −1 |
ˆ |
−1 |
в |
|||||||
операторов F |
G , — равен произведению |
операторов F |
и G |
|
|||||||||||||||||||||
обратном порядке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
|
−1 |
|
ˆ |
−1 |
ˆ |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(FG) |
|
|
=G |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
26. |
|
|
ˆ ˆ |
+ |
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
||
Докажите, что оператор (FG) |
|
, сопряжённый произведению операторов FG , |
||||||||||
равен произведению сопряжённых операторов в обратном порядке: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
+ |
ˆ + ˆ + |
. |
|
|
||
|
|
|
|
(FG) |
|
=G F |
|
|
||||
27. |
ˆ |
+ |
ˆ |
+ |
, где c — комплексное число, а |
ˆ |
— оператор. |
|||||
Докажите, что (cF) |
|
= c * F |
|
F |
||||||||
28*. Докажите, что если самосопряжённые операторы коммутируют, ˆ ˆ = ˆ ˆ , то
FG GF
оператор, сопряжённый произведению этих операторов, является самосопряжённым:
ˆ ˆ |
+ |
ˆ ˆ |
(FG) |
|
=F G . |
ˆ
29*. Докажите, что если оператор F — самосопряжённый, то любая его степень
ˆ n также является самосопряжённым оператором.
F
ˆ
30*. Докажите, что если оператор F — самосопряжённый, то любая его
ˆ
действительная функция f( F ) — самосопряжённый оператор.
31*. Докажите, что если операторы |
|
ˆ |
ˆ + |
и |
ˆ ˆ |
+ |
— самосопряжённые, то |
F = F |
G =G |
|
|||||
ˆ ˆ ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
оператор FG +GF — также самосопряжённый: |
|
|
|
|
|
||
ˆ ˆ ˆ ˆ |
+ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
(FG +GF) |
|
=FG +GF . |
|
|
|||
32. Докажите, что если операторы ˆ = ˆ +
F F
оператор ˆ ˆ — также самосопряжённый. i[F,G]
ˆ= ˆ +
иG G — самосопряжённые, то
33. |
|
|
ˆ ˆ + |
|
|
и |
|
|
|
|
ˆ + ˆ |
|
|
|
|
||||||||
Докажите, что операторы FF |
|
|
|
|
|
F F — самосопряжённые и положительно |
|||||||||||||||||
определённые. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34. |
ˆ ˆ |
+ |
, |
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
+ |
|
и |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
||||||
Докажите, что если F = F |
|
G |
=G |
|
|
|
ξ =i[F,G] , то выполняется неравенство |
||||||||||||||||
Гайзенберга: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
≥ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
F 2 |
G2 |
|
|
≥ 0. |
(5.3.1) |
||||||||||||||||
|
|
|
ξ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
35. |
Докажите соотношение неопределённостей Гайзенберга |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FrmsGrms ≥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
ξ |
|
|
; |
|
ξ |
=i[F,G] , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Frms и Grms — среднеквадратичные отклонения динамических переменных F и
G от средних значений в состоянии микросистемы, описываемом волновой функцией
ψ(t,q).
ˆˆ
36.Докажите, что если операторы F и G коммутируют, то у них — общая система собственных функций.
37. Докажите, что если у самосопряжённых операторов Fˆ и Gˆ — общая полная система собственных функций, то они коммутируют.
Дополнительные задачи о коммутаторах операторов
38*. Докажите, что
[ f (x), p |
] =ih |
df |
ˆ |
(5.1.25) |
|
||||
|
1, |
|||
ˆ ˆ x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
где f (xˆ) — произвольная функция оператора координаты. 39*. Выведите коммутационное соотношение
ˆ |
|
] =ih |
∂Φ |
ˆ |
(5.1.26) |
|
|
||||
[H , p |
|
1 |
|||
|
ˆ x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(задача 15), используя (5.1.25).
40*. Выведите коммутационное соотношение
[ p2 |
, x] = −2ihp |
. |
(5.1.28) |
|
ˆ x |
ˆ |
ˆ x |
|
|
41*. Выведите коммутационное соотношение
ˆ |
|
ih |
p |
(5.1.27) |
|
|
|||
[H , x] = − |
|
|||
|
ˆ |
m ˆ x |
|
|
(задача 16), используя (5.1.28).