Добавил:

Uman Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

Управление в технических системах

Файл:

Громов - СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

.pdf

Источник:

https://studizba.com

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2014

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Вданной задаче решение x(t), λ(t) не зависит от λi0 , С как от параметров

x= x(t, λi0 , C); λ = λ(t, λi0 , C) .

Вкаждой точке разрыва непрерывности сопряженных переменных должна добавляться новая константа С. Величина С не может быть определена заранее из необходимых условий и является дополнительным параметром, определяющим точку схода. Поскольку число граничных участков заранее неизвестно, задача становится проблемой с переменным числом параметров, что существенно усложняет ее практическое решение даже с помощью ЭВМ.

Пример 3. Пусть имеются три участка оптимальной траектории, следующие в таком порядке:

1 участок – траектория в открытой области, φ1 > 0 ; 2 участок – граничная траектория, φ1 = 0 ;

3 участок – снова траектория в открытой области, φ1 > 0 .

Необходимые условия в конечной точке дают (n + 1) уравнение относительно (n + 2) неизвестных λi0 , t1, C . Условия

(82), (83) и

β(t2′ +0) = 0

(84)

определяют точку t2′ и дают дополнительное уравнение относительно неизвестных λi0 , t1,

C . Задача, таким образом, све-

лась к нахождению решения (n + 2) уравнений с (n + 2) неизвестными.

Если участков больше, чем три, задача сводится к многоточечной краевой проблеме.

7.4. Второй тип необходимых условий для оптимальности

управления на граничных участках

Пусть tвх – момент входа траектории на границу допустимой области, tсх

– момент схода с этой границы. Гамильтони-

ан H2 для граничных участков может быть представлен в следующем виде:

H 2 = λ0 f0 + ∑λi fi +β1φ1 +β2φ1

= H +β1φ1 +β2φ1

i=1

определяется правой частью соотношения (78).

где β1 = β2 = 0, если φ1 > 0 ; β1 ≠ 0, β2 ≠ 0 , если φ1 = 0 , а φ1

На граничном участке (т.е. при tвх

≤ t ≤ tсх ) вдоль оптимальной траектории выполняются условия

∂H2

x =

λ = −

, φ1 =

0,φ1 = 0 .

(85)

∂λ

∂x

Оптимальное управление на граничном участке определяется из условия минимума H по u U1m (t, x) , где U1m (t, x)

– та

часть значений u из области U m , которая удовлетворяет условию φ (t, x,u) = 0 .

Если минимум H по u в области U1m (t,x)

достигается в ее внутренней точке, то

∂H2

∂H

∂

+β2

(φ(t, x,u)) = 0, φ1(t, x)

= 0,

φ1

(t, x,u) = 0 .

∂u

Значения вектора λ и гамильтониана H2

непрерывны в точке входа на границу допустимой области:

λ(tвх +0) = λ(tвх −0);

H 2 (tвх +0) = H2 (tвх −0) .

Остальные недостающие граничные условия могут быть найдены из общих условий трансверсальности (см. п. 4.3). В частности, из этих условий следует, что при t = t1

λ(t1 ) =	∂L T				;	L = Φ(t1, x(t1)) +µ		T	q(t1	, x(t1)) ;
λ(t1 ) =	∂x				;	L = Φ(t1, x(t1)) +µ			q(t1	, x(t1)) ;
				t=t
					1
	∂L	+ H	2		(t ) = 0		(если t – не задано).
		+ H			(t ) = 0		(если t – не задано).
	∂t1				1		1
	∂t1

Кроме того, к этим условиям надо добавить заданное граничное условие (76): q(t1, x(t1 )) = 0 .

Контрольные вопросы

1. Необходимые условия оптимальности.

2.Первый тип необходимых условий оптимальности для граничных участков траектории.

3.Второй тип необходимых условий для оптимальности управления на граничных участках.

Глава 8

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИМИ ОДНОВРЕМЕННО ФАЗОВЫЕ КООРДИНАТЫ x И УПРАВЛЕНИЕ u

При рассмотрении технических систем часто встречаются задачи, в которых допустимые значения управляющих функций не должны превосходить пределов, зависящих от текущего состояния системы.

Ограничения рассматриваемого типа можно записать в виде

(t, x,u) ≤ 0 ,

(86)

где явным образом зависит от состояния x и управления u. Принцип максимума, сформулированный в п. 4.3, справедлив лишь для неравенств типа

						i (t,u) ≤ 0 ,			(87)
т.е. не содержащих фазовых координат x явно.
Ниже приводится формулировка принципа максимума, пригодная для ограничений типа (86).
		8.1. Краткая формулировка задачи
Пусть эволюция системы S описывается векторным дифференциальным уравнением
						dx	= f (t, x,u)	,	(88)
							= f (t, x,u)	,	(88)
						dt
где x =(x , x , ..., x )T		– n-мерный вектор состояния; u =(u , u , ..., u	m	)T	– m-мерный вектор управления.
1 2	n	1 2	m
На значения управляющего вектора u наложены ограничения
						(t, x,u) ≥ 0 ,			(89)

где = ( 1, 2 , ..., v1 )T – v1 -мерный вектор, причем число связей, одновременно удовлетворяющихся в виде равенств, не превосходит m.

Область U m допустимых значений u зависит от t, x: U m =U m (t,x) и задается уравнением (89). Предполагается, что вектор u явно входит в уравнение (89).

В начальный момент времени t = t0 задано состояние системы
x(t0 ) = x0 .	(90)
Необходимо перевести систему S из состояния x0 в некоторое конечное состояние, определяемое соотношениями
q(t1, x(t1 )) = 0 ,	(91)
где q = (q1, q2 , ..., ql2 ), l2 ≤ n +1 .
Требуется найти такой допустимый кусочно-непрерывный вектор u(t), удовлетворяющий (89), что функционал
t1
J[u] = Φ(t1,x(t1)) + ∫ f0 (t, x,u)dt	(92)
t0

принимает минимальное значение на решениях системы (88).

Решения x(t) системы (88) предполагаются непрерывными и обладающими, по крайней мере, абсолютно непрерывными производными. Точки tα , где одна или более компонент вектора u терпят разрыв первого рода, называются угловыми точ-

ками. Точки ts , в которых изменяется знак «>» на «=» (или наоборот) в одном или нескольких ограничениях (89), называются точками соединения.

8.2. Типы граничных условий

Задача, в которой Φ(t1, x(t1)) ≡ 0 , а граничные условия (97) имеют вид

xi (t1 ) − xi1 = 0	(i =		1, l2 ≤ n	)		(93)
или
xi (t1) − xi1 = 0	(i =	1, l2 −1 ≤ n			) ,	(94)

t1 −tзад = 0 ,

где xi1, tзад – заданные числа, называется иногда простейшей.

При l2 = n условия (93) приводят к задаче с закрепленным правым концом и свободным временем. При l2 < n условия (93) приводят к задаче с частично свободным правым концом и свободным временем t1 . Условия типа (94) относятся к задаче с закрепленным временем t1 = tзад и частично свободным правым концом траектории.

8.3. Необходимые условия оптимальности

Если u* (t) U m (x,t) [U m определяется условиями (89)] является управлением, минимизирующим функционал J[u], то найдутся такие постоянные числа λ0 =1, µ = (µ1, ..., µl2 )T , не все равные нулю, и такие одновременно не обращающиеся в

нуль переменные векторы λ(t) =λ1(t), ..., λn (t))T (непрерывный на [t0 , t1] ) и β(t) =(β1(t), ..., βv1 (t))T (непрерывный на [t0 , t1] всюду, за исключением, быть может, точек разрыва управления u(t), где, однако, у него существуют единственные право- и левосторонние пределы), что на [t0 , t1] имеют место соотношения

dλ

∂H T

∂ T

∂H

= −

−

∂x

β = −

;

(95)

∂x

∂H

∂H T

;

(96)

∂λ

β j j

= 0

( j =

) ,

(97)

1, v1

где

β ≤ 0 .

(98)

Для всех фиксированных (t, x, λ) и u, удовлетворяющих (89), выполняется принцип максимума (см. п. 4.3)

H (t, x, λ,u* ) ≤ H (t, x, λ,u) ,

(99)

т.е.

min H (t, x, λ,u) = H (t, x, λ,u* ) ,

u U m

где гамильтониан H определяется, как и в п. 4.2, выражением

H = λ0 f0 + λT f ,

(100)

H1 = H +βT .

(101)

Если минимум H достигается во внутренней точке области U m , то

∂H

∂ T

(102)

∂u

β.

∂u

В угловых точках tα выполняются следующие условия:

а)

сопряженный вектор λ(t)

непрерывен, т.е.

λ(tα +0) = λ(tα −0) ;

(103)

б)

функция H непрерывна, т.е.

H (tα , x(tα ), λ(tα ),u* (tα +0)) = H (tα , x(tα ), λ(tα ),u* (tα −0))

(104)

(условие (99) соблюдается со знаком равенства);

в) уравнения (97) и (102) сохраняются.

Условия a) – в) являются аналогом условий Вейерштрасса–Эрдмана.

В конечной точке (t1, x1 ) для любых значений dt1,

dx(t1) выполняются условия трансверсальности

∂Φ

∂q

∂Φ

∂q

f0 + λ

f +

+µ

dt1

µ −λ

dx(t1) = 0 ;

∂t

t=t

∂x

t=t

(105)

q(t1, x(t1 )) = 0 .

Из (105) следует, что

H (t

) = ( f

+ λT f )

= −

∂Φ +

µT

∂q

;

∂t1

∂t1 t

∂Φ

∂q

λ(t )

µ .

∂x

Для простейшей задачи условия (106) и (107) упрощаются. Так, например, в случае (93) они имеют вид

H (t1) = 0;

λi (t1) = µi (i =1, l2 );

λi (t1) = 0(i = l2 +1, n).

8.4. Аналог необходимого условия Клебша

(106)

(107)

(108)

Обозначим через те компоненты вектора ограничений , которые в каждой точке минимизирующей кривой x*(t),

u*(t) удовлетворяются в виде равенств. Пусть

– соответствующий им вектор множителей. Тогда

(109)

H1 = H +

и для внутренних точек области U m на минимизирующем управлении u*(t) имеет место неравенство

T ∂2

∂u2 η≥ 0

(110)

для всех η = (η , η

, ..., η

≠ 0 , удовлетворяющих условию

Здесь

∂

∂u12

∂

∂u 2

∂

∂u

∂∂u η = 0 .

		∂2
L,		∂2	H	1
				1

	∂u1∂um
L L					.
		∂2
		∂2	H	1
L,				1
L,		∂u 2
		∂u 2
			m

Условия (110) и (111) эквивалентны требованию положительности корней s характеристического уравнения

∂ H1

∂

− sE,

D(s) = det

∂u

= 0 .

∂

∂u

Неравенство нулю определителя матрицы

∂ H1

∂

∂u

∂

∂u

(111)

(112)

(113)

во всех точках x*(t), u*(t) оптимальной траектории эквивалентно условию Гильберта (см. п. 9.4) и в данном случае означает непрерывность управления u*(t). Если указанный определитель отличен от нуля в каждой точке экстремали, то задача назы-

вается невырожденной.

Следствия. 1. Условия для открытого ядра области U m (t, x) (условия (95) – (99)) означают, что во всех точках траектории, в которых минимум H по u, u U m (x,t) достигается при выполнении строгих неравенств

i (t, x,u) > 0 (i =

1, v

)

(114)

(т.е. в так называемом открытом ядре области U m (x,t) ) справедлив принцип максимума (см. п. 4.3), не учитывающий нали-

чие связей (89). Здесь все βi = 0 (i =1, v1) и дифференциальные уравнения (95)–(96) при условии (99), дающем u = u(t, x,λ) имеют единственное решение:

x		= x	(t, t		, x		, λ		);	(115)
	i	i		0		0		i0		(115)
λi = λi (t, t0 , x0 , λi0 ).
В этом случае
u = u(t, t0 , x0 , λi0 )										(116)

и решение задачи оптимизации погружено в (2n + 1) параметрическое семейство решений, причем решение (115) зависит от параметров (t, t0 , xi0 , λi0 ) , по крайней мере, непрерывно.

Если же на траектории нет точек разрыва функции u(t), то решение, по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируемо по (t, t0 , xi0 , λi0 ) .

2.Если i (t, x,u) не зависит явно от x, то условия (95), (99) эквивалентны принципу максимума п. 4.3, так как в этом случае U m (x,t) зависит лишь от t: U m =U m (t) .

3.Условия для границы области U m (x,t) находятся следующим образом. Если при определении минимума H по u часть компонент вектора удовлетворяются в виде равенств, то недостающие множители βj могут быть найдены из усло-

вий (102). Если минимум H по u достигается во внутренней точке области U m , то управление u j и множители βj находятся из условий (102) и тех из (89), которые выполняются в виде равенств

∂H			T	~
		∂
					= 0;
∂u	+	∂u		β		(117)

						(t, x,u) = 0.
Из (117) находятся u и	~	. При этом u = u(x, λ),	~	~	непрерывны в точке соединения, если только в ней нет раз-
Из (117) находятся u и	β	. При этом u = u(x, λ),	β	= β(x, λ)	непрерывны в точке соединения, если только в ней нет раз-
рыва в функции u(t).

Контрольные вопросы

1.Типы граничных условий.

2.Необходимые условия оптимальности.

3.Аналог необходимого условия Клебша.

Глава 9

ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Задачи, в которых уравнения движения не приведены к форме Коши (т.е. не записаны в виде дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных)*, а управляющие функции u(t) явно не введены (и по ка- ким-либо причинам такое приведение невозможно или нежелательно), можно решать методами классического вариационного исчисления.

Отметим, что с точки зрения вычислений всегда желательно привести систему уравнений к форме Коши, так как именно для такой системы разработаны эффективные алгоритмы численного интегрирования.

9.1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа

Задача Больца. Одна из наиболее общих формулировок для задач с однократными интегралами и дополнительными условиями заключается в следующем.

Пусть класс траекторий определяется:


1)	кривыми x(t) c координатами xi (t) (i =			1, n	), t0 ≤ t ≤ t1 ;
2)	параметрами a j ( j =		) .
2)	параметрами a j ( j =	1, r	) .

Параметры a j можно рассматривать как некоторые постоянные координаты кривой С: z(t) = (x(t), a)Y в (n + r)-мерном пространстве, z = (x1, x2 , ..., xn , a1, ..., ar )T .

Пусть кривые (x(t), a) удовлетворяют уравнениям движения (или уравнениям связей, вообще говоря, неинтегрируемым)

вида

Fj = (t, x, x,a) = 0 ( j =	1, m < n	)	(118)
&

и условиям

	t1
Ik	= Φk (t0 , x(t0 ),t1, x(t1),a) + ∫	fk (t, x, x,a)dt = 0 (k =	1, ρ	) , (119)
		&
	t0

где

x& = ddtx = (x&1, ..., x&n )T .

Необходимо найти кривую из указанного класса траекторий, которая минимизирует функционал

J = Φ(t0 , x0	, x1	t1	f (t, x, x,a)dt .			(120)
		,t1,a) + ∫
			&
		t0
Задача Майера. Эта задача формально получается из задачи Больца при f ≡ 0,	fk	≡ 0 (k =			) . В этом случае краевые
				1, ρ

условия (119) становятся общими граничными условиями, число которых должно быть ρ = 2n + r + 2 . Если фиксирован век-

тор параметров а, то число степеней свободы σ системы дифференциальных уравнений (118), равное разности между числом зависимых переменных и числом независимых дифференциальных уравнений, для задачи Майера равно: σ = n − m .

Задача Лагранжа. Эта задача вытекает из задачи Больца при Φ ≡ 0, fk ≡ 0, k =1, ρ.

tt	fk (t, x,x,a)dt = −Φk (a) , где все или
Виды связей и граничных условий. Связи вида (119) при Φk = Φk (a) , т.е. при ∫	fk (t, x,x,a)dt = −Φk (a) , где все или
	&
t0

часть компонент вектора а фиксирована, называются изопериметрическими. Если fk ≡ 0 , то связи типа (119) задают подвижные граничные условия. Если связи типа (119) имеют вид

Φk1 ≡ xk1 (t0 ) − xk10 = 0 (k1 =1, n);

Φk2 ≡ xk2 (t1) − xk21 = 0 (k2 =1, n);

Φ2n+1 ≡ t0 −t00 = 0, Φ2n+2 ≡ t1 −t10 ,

где xk10 , ..., t10 – заданные числа, то граничные условия называются закрепленными.

Если k =

1, n

; k

=1, n1 < n; t

−t

= 0; t

−t

= 0 , то n1

концов закреплено,

а остальные условия называются свобод-

ными граничными условиями.

Если граничные

условия Φk (t0 ,t1, x0 , x1) = 0

при ( fk

= 0, k =

1, ρ

) можно

разбить на две группы Φk (t0 , x0 ) = 0 ;

Φk2 (t1, x1 ) = 0 ;

k1 =

, k2 = ρ1 +1, ..., ρ, ρ1 < n и если Φ ≡ q(t1,x1) −h(t0 ,x0 ) , то задача называется задачей с разделенными

1, ρ1

условиями для концов.

Общие условия (119) называются смешанными граничными условиями.

9.2.Первое необходимое условие экстремума функционала

взадаче Больца

Первое необходимое условие экстремума состоит из:

•правила множителей Лагранжа;

•уравнений Эйлера–Лагранжа;

•условий Эрдмана–Вейерштрасса;

•условий трансверсальности.

Пусть минимизирующая кривая С: {x = x(t), a} допускает в любой точке слабые (малые как по x(t), так и по x(t) ) ва-
					&
~			~&	по любым совместимым со связями	(118) направлениям в пространстве
риации δx(t) = x(t) − x(t),	δx(t) = x(t) − x(t)			по любым совместимым со связями	(118) направлениям в пространстве
	&	&
X n , x X n и функции f ,	fk , Φ, Φk обладают непрерывными производными до третьего порядка. Тогда необходимые ус-
ловия экстремума формулируются следующим образом.
Правило множителей Лагранжа: существуют функции µ0, µk, λ j (t) и функции
				ρ	m	(121)
				F = µ0 f +∑µk fk +∑λ j (t)Fj (t, x, x,a) ;		(121)
					&
				k =1	j=1
					ρ
				L = µ0Φ(t0 ,x(t0 ),t1,x(t1),a) + ∑µk Φk (t0 ,x(t0 ),t1,x(t1),a)		(122)

k=1

такие, что множители µ0 ≥ 0, µk – постоянные и решение исходной задачи на условный экстремум лежит среди решений

задачи на безусловный экстремум для вспомогательного функционала J = L + ∫Fdt .

Всегда можно считать µ0 =1, за исключением особых (анормальных) случаев.

Уравнения Эйлера–Лагранжа. Между угловыми точками (см. 126) минимизирующей кривой: C: {x = x(t), a} выполняются уравнения Эйлера–Лагранжа:

−

∑

= F ;

(123)

i=1

−

= 0

(i =

) ,

(124)

1, n

где

∂F

;

∂F

;

F = ∂F .

∂xi

∂t

Замечание. Уравнение (123) является следствием остальных (при условии, что все xi (t) обладают вторыми производными) и для функций F, не содержащих явно t, приводит к первому интегралу.

F −∑x&i Fx&i = C (125)

i=1

в силу (127), (128), непрерывному при переходе через угловую точку.

Решения x(t) уравнения Эйлера–Лагранжа называются экстремалями независимо от того, являются ли они минимизирующими, максимизирующими или седловыми кривыми для функционала J со связями (118), (119).

Условия Эрдмана–Вейерштрасса. Величины F −∑x&i Fx&i и Fx&i (i =1, n) непрерывны вдоль кривой С: {x = x(t), a}. В

i=1

частности, если при t = t′ кривая С имеет угловую точку, т.е. хотя бы по одной компоненте xi (t)					имеет место разрыв (перво-
го рода) в производной:
	dxi (t)			dxi (t)			+
	dxi (t)			dxi (t)			+
xi =			≠			= xi		,	(126)
&	dt			dt		&
		t=t′−0				t=t′+0
		t=t′−0				t=t′+0

то справедливы соотношения

F−∑x&i Fx&i

i=1

Здесь

∂F

∂xi

=xi

F −

∑

F −

∑

= F

−

∑

x F&

i xi

i=1

& &−

i=1

xi =xi

−

+ ;

= F(t, x, x,a)

& &− ;

= F(t, x, x,a)

& &

x=x

;

&−

= (x1

, x2

,..., xn )

(x1

= x2

,..., xn )

=	∂F	= F&+	(i =		)
	∂F			1, n
				1, n
	∂xi	xi
	∂xi	& &+
&		xi =xi
		xi =xi

(127)

(128)

Условие трансверсальности. Концевые точки 0 и 1 кривой С: {x = x(t), a} таковы, что равенство

r t1

dt +

+ dL +

dt = 0 (129)

F −

x F&

∑ i xi

∑ xi

∑∫ a j

i=1

j=1 t0

выполняется тождественно для dt0 , dt1, dxi0 = dxi (t0 ), dxi1 = dxi (t1 ), da j (т.е. для всех произвольных и независимых значений

указанных вариаций концов траекторий и вариаций параметров). Здесь dL – полный дифференциал функции

L(t0 , t1, x(t0 ), x(t1), a, µk ) :

∂L

dL =

dt0 + ∑

dxi0 +

dt1 + ∑

dxi1 + ∑

da j . (130)

∂t

∂x

∂t

∂x

∂a

i=1

j=1

∂t

(a)

∂t

(a)

Замечание. Если t0 = t0 (a), t1 = t1 (a) , то dt0 = ∑

da j

, dt1 =

∑

da j .

∂a j

j=1

dt0 , dt1, dxi0 , dxi1 условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида

∂L

F −

= 0,...,

x F&

∑ i

i =1

∂t t

В силу независимости величин

	∂L

+		dxi1 = 0 (i =1, n) ; (131)

	∂x
	i t =t
	1

∂L

F −

∂L

, ...,

= 0 (i =1, n) ;

(132)

x F&

∂t

∂x

∑ i xi

i =1

t =t0

∂L

∂F

∫

dt da j = 0

(i =1, n) ,

(133)

∂a

число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения

µ0 ,µk (k =1,ρ), λ j (t) ( j =1, m), xi (t) (i =1, n), a j ( j =1, r) .

9.3.Второе необходимое условие минимума функционала

взадаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая

f ≡ 0, fk ≡ 0

Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система множителей µk (k = 0,ρ), λj (t) ( j =1,m) , что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а

(в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса

для всякого элемента (t,x, x,µ, λ)

E(t,x,x,

λ, X) :

)F&

(134)

E(t, x, x, λ, X) = F(t, x, X, λ) − F(t, x, x, λ) −

∑

− x

(t, x, x, λ)

i=1

удовлетворяет неравенству

(135)

Е(t, x, x, λ, X) ≥ 0 .

Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах

(t,x, X,λ) , не совпадающих с элементами

(t,x, x&, λ) кривой С, но удовлетворяющих условиям

Fj (t, x, x&,a) = 0 ( j =1, m) .

Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей µ0 =1, µk ,λj (t) ( j =1, m, k =1,ρ) – единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.

9.4.Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, fk = 0

Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей µ0, µk (k =1,ρ) , λj (t) ( j =1, m) , что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента (t,x, x&,µ,λ) выполняется неравенство

n n		i		k
∑∑ xi xk		i	ξ	k	≥ 0	(136)
F& &	(t, x, x, λ) ξ		ξ		≥ 0	(136)
	&

i=1 k =1

при любых ξ = (ξ1, ξ2 , ..., ξn ) ≠ (0, 0, ..., 0) , удовлетворяющих уравнениям

∑Fjx& j (t, x, x&)ξi = 0 ( j =1, m) , (137)

i=1

где

F	jxi	=	∂Fj	;	F& &	=	∂2 F		.

			∂xi		xi xk		∂xi∂xk
			&				&	&

В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица

(i, k =		), F&	=	∂(F1, F2 ,..., Fm )			;	F&&
	1, n			∂(F1, F2 ,..., Fm )
	1, n
		x		&	&	&		xx
				∂(x1	, x2	,..., xn )

	Fx&		x&		Fγx&		F&&
		i k			i		xx
	F		&		0	= (F		)T
		αx					&
				k			x
	∂2 F
	∂2 F		(α, γ =1, m) .
=
=	& &
	∂xi∂xk

F&		(138)
x		(138)
0

Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля определителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).

9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера)

Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.

Условие Якоби–Майера–Кнезера. Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке [t0 , t1]	минимум функционалу в
задаче Больца, необходимо, чтобыотрезок [t0 , t1] несодержалточек, сопряженных с t0 .		~
~	,		, сопряженную
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале (t0 , t1 ) точку t		t0 < t < t1
с t0 , если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки		(t0 , x(t0 ))	и бесконечно

близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова-
тельность точек пересечения имеют точку	~	своим пределом. Сопряженная точка	~ ~	является точкой касания экстре-
	t		(t , x(t ))

мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может

	~ ~	расстояние между данной экстремалью x(t) и про-
вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке (t , x(t ))
извольной близкой экстремалью	~		, x(t0 )) , есть величина выше первого поряд-
	x(t) , выходящей из той же начальной точки (t0
		~	~	~
ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки (t , x(t ))				(т.е. при t0 ≤ t < t ).

Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении определителей Майера–Кнезера.

Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами

Fj (t, x, x) = 0 ( j =

1, m

), t0 ≤ t ≤ t1,

(139)

где t0 , t1

– заданные числа,

xˆ(t1 ) = xˆ1 = (x1(t1 ), ..., xn−1(t1 )) ,

x(t0 ) = x0 ,

(140)

где x0 , xˆ1 – заданные векторы,

и с функционалом

J = Φ(t0 , t1, x0 , x1) = xn (t1)

(141)

сопряженная точка t может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:

∂x1(t,λ0 )

∂λ10

∂λn−1,0

∂(x1, x2 ,..., xn−1)

D(t ,λ0 )

= 0 ,

∂(λ10 ,λ20 ,...,λn−1,0 )

∂x

n−1

(t, λ

)

n−1

(t,λ

)

t=t

∂λ10

∂λn−1,0

t=t

(142)

λ0 = (λ10 , λ20 , ..., λn−1,0 )T ;

(143)

)

(t, λ0 ))

– экстремаль, удовлетворяющая при λ = λ0

заданным условиям (140).

где x(x, λ0 ) = (x1(t, λ0 ), ..., xn−1

Замечание. При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] одновременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей xn−1(t) , лежащих в близкой окрестности к основной и выходящих из той же точки (начальной) (t0 , x0 ) по линейно-независимым направлениям (соответст-

вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа λ0 ). В этом случае можно утверждать, что
точка	~	будет сопряженной с точкой t0 в сформулированной выше задаче, если в точке	~	определитель
	t		t

	x (t) − x(1)		(t),	x	(t) − x(1)	(t),		L,	x	(t) − x(1)	(t)
	1	1		2	2				n−1	n−1
~	x1(t) − x1(2)		(t),	x2 (t) − x2(2) (t),				L,	xn−1(t) − xn(2)−1(t)
∆(t ,λ0 ) =		L			L			L		L
		L			L			L		L
	x (t) − x(n−1) (t),			x (t) − x(n−1)			(t), L,		x	(t) − xn−1	(t)
	1	1		2	2				n−1	n−1

=~ t t

(144)

≤ ≤ ~

представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при t0 t t .

Контрольные вопросы

1.Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.

2.Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.

3.Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f ≡ 0, fk ≡

4.Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, fk = 0.

5.Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).

Глава 1 0

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ

Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьируемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.

10.1. Краткая формулировка задачи

Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна; t j ( j =1, q) – моменты времени, в которые наступают разрывы фазовых координат. Точки t j считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени

t j

≤ t ≤ t j+1 .

На каждом j-ом отрезке задана система связей

( j)

(145)

(t, x(t), x(t)) = 0 ,

где

( j) , F ( j) , ..., F ( j) )T ;

F( j) = (F

x = (x , x

, ..., x

)T ;

& &

x = (x1

, x2 , ..., xn )

и краевые условия в точке разрыва функций xi (t)

g(t j , x(tr+ ), x(ts− )) = 0 ,

(146)

где

)T ;

g = (g ,

, ...,

j =

;

1, q

r = j; 1 ≤ j ≤ q −1;

s = j;

2 ≤ j ≤ q;

t1 < t2 < ... < t j

< ... < tq ;

p ≤ 2(q −1)n + q.

Требуется минимизировать функционал

J = Φ(t j , x(tr+ ), x(ts− )) .

(147)

Замечание. Здесь величины x(tr+) суть правосторонние пределы в точке разрыва t j , а x(ts−)

– левосторонние преде-

лы.

10.2. Необходимые условия оптимальности

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>