Добавил:

Uman Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

Управление в технических системах

Файл:

Громов - СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

.pdf

Источник:

https://studizba.com

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2014

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

строкой) функции V(t, x) по x:

H (t, x,Vx ,u) = lT2 x +lT3 u + 12 (xT Qx + 2xT Nu +uT Pu) +Vx (Ax + Bu +Cf ) .

Дифференциальное уравнение Гамильтона–Беллмана (45) в данном случае имеет вид

Qx + 2x

Nu +u

Pu)

∂V

x +l

u +

+ min

∂t

+Vx (Ax + Bu +Cf )

где функция V(t, x) удовлетворяет граничному условию (55"):

= 0 , (IV)

		V (t , x) = lTx +		1	xT R x .		(V)
		V (t , x) = lTx +			xT R x .		(V)
		1	1	2		1
				2
Поскольку, по предположению, P(t) – положительно определенная матрица, то минимум						H (t, x, Vx , u) достигается в
стационарной точке, где	∂H	= 0 .
стационарной точке, где	∂u	= 0 .
	∂u
		u* = arg min H (t, x,Vx ,u) = −P−1[l3 + N T x + BTVxT ] .					(VI)
		u

Подставляя теперь полученное выражение для u* в (VI), находим окончательный вид основного дифференциального уравнения динамического программирования (в данном случае это будет дифференциальное уравнение Гамильтона–Якоби, так как u* найдено из условия стационарности H):

∂V

+V Ax − 1 V BP−1l

−V BP−1N T x −

1 V BP−1BTV T +

∂t

+V Cf + lT x −

1 lT P−1l

− lT P−1N T x −

1 l

P−1BTV T +

+ 1 xT Qx −

1 xT NP−1N T x = 0.

(VII)

Доказано, что в линейных системах с квадратичным критерием качества при сделанных предположениях относительно матриц Q(t), P(t), N(t), R1 решение уравнения (VII) с краевым условием (V) существует и его можно искать в виде

V (t, x) =

xT R(t)x +qT (t)x + r(t) ,

(VIII)

где R(t) – симметричная матрица размерности n × n; q(t) – n-мерный вектор; r(t) – скаляр.

Частные производные функции V(t, x), записанной в форме (VIII), имеют вид

∂V (t, x)

T &

∂t

R(t)x +q

(t)x + r(t) ;

(IX)

∂V (t, x) T

= R(t)x +q(t);

∂V (t, x)

= x

. (X)

(t, x) =

∂x

Подставляя выражения (IX) и (X) в уравнение (VII) и учитывая, что:

при одновременном умножении произвольной матрицы М слева и справа на вектор x имеет место соотношение

xT Mx = 12 xT (M + M T )x (т.е. происходит выделение симметричной части 12 (M + M T )

матрицы М);

скалярное произведение обладает свойством транспонируемости yTb = bTy , получим

−1

2 x

+ R(A − BP

)

+ (A − BP

)

R + Q − NP

−

− RBP

−1

+ q

(A − BP

−1

) − l

−1

−q

−1

R −

R]x +[q

−1

−

−1

q + q

−

− l3 P

+ l2 + (Cf )

R]x + r

q − l3 P

− 1 lT3 P−1l3 = 0.

(XI)

Поскольку условие (XI) должно выполняться тождественно для любых значений x и поскольку при t = t1 для любых значений x должно выполняться тождественно следующее соотношение [см. (V) и (VIII)]

12 xT R(t1 )x +qT (t1)x + r(t1 ) = 12 xT R1x +l1T x ,

то для определения матрицы R(t), вектора q(t) и скаляра r(t) получаем следующие уравнения и граничные условия: 1)

R& + R(A − BP−1N T ) + (A − BP−1N T )T R − RBP−1BT R + Q −

− NP−1N T = R& + RA + AT R − (RB + N )P−1(N T + BT R) + Q = 0; (XII)

R(t1) = R1.

(XII')

+ q

(A − BP

−1

R −q

−1

R −

) − l3 P

− lT3 P−1N T + lT2

+ (Cf )T R = 0;

(XIII)

qT (t ) = lT .

(XIII')

−1

−

q −l3 P

q +q

−

3 P

= 0 ;

(XIV)

r(t1) = 0 .

(XIV')

Полученные уравнения следует интегрировать в обратном времени от t = t1

к t = t0 .

Оптимальный закон управления с обратной связью имеет вид

u* (x, t) = −P−1 (t)[BT (t)R(t) + N T (t))x + BT (t)q(t) +l3 (t)] .

(XV)

Решения некоторых других задач оптимального управления для линейных систем с квадратичным критерием качества приведены в табл. 3. В пп. 1 – 7 (строках 1 – 7) этой таблицы приведены постановка и решения задачи синтеза оптимального закона управления при свободных граничных условиях на правом конце траектории, а в п. 8 – постановка и решение задачи при заданных граничных условиях на правом конце. В пп. 1 – 6, 8 рассматриваются однородные линейные системы, в п. 7 – неоднородная линейная система. В п. 1 дано решение задачи синтеза для нестационарной линейной системы и нестационарного квадратичного критерия качества при фиксированном конечном интервале времени процесса управления, в п. 2 – для стационарной (независящей явно от t) системы и стационарного критерия качества при фиксированном конечном интервале времени процесса управления, в п. 3 – для стационарной системы и стационарного критерия качества на неограниченном интервале времени ( [0, ∞]), в п. 4 – для нестационарной системы и нестационарного квадратичного критерия более общего

вида, чем в пп. 1 – 3 (критерий содержит перекрестные члены типа xT Nu ). В п. 5 приведено решение задачи, которая в определенном смысле эквивалентна задаче п. 4 (см. 5-й столбец таблицы), в п. 6 дано решение для оптимизации отклонения системы от заданного желаемого поведения, в п. 7 рассмотрен случай синтеза оптимального закона управления для неоднородной линейной системы, в п. 8 – синтез оптимального закона управления при заданных граничных условиях на правом конце и квадратичном критерии более общего вида. Некоторые из приведенных в табл. 3 решений (пп. 1 – 4, 6, 7) являются частными случаями рассмотренной выше задачи.

Контрольные вопросы

1.Принцип оптимальности динамического программирования.

2.Ослабленное необходимое условие.

3 Оптимизация линейных систем с квадратичным критерием качества при отсутствии ограничений на значения управляющих функций

строки	Уравнение	движения Начальные	и	Оптимальный	закон управле-	Оптимальное
	Уравнение	движения Начальные	и	ния		Оптимальное
	системы	условия	Критерий качества J[u]	u* = v*(x, t)	минимума J[u])	рия качества
	системы	конечные	Критерий качества J[u]	(в смысле	минимума J[u])	значение крите-
№
1	2	3	4	5		6

1 &

A(t)x

B(t)u ,

t0 – задано,

= −P

(t)B

(t)R(t)x ,

= J min

−1

J[u] = 2 x1 R1x1 +

x = (x ,..., x

)T ,

x(t0 ) = x0

–

где R(t) – решение матрич-

=V (t

, x

) =

задано,

1 t1

ного

уравнения

Риккати:

u = (u ,...,u

)T ,

(t0 ) ×

t0 ≤ t ≤ t1

∫[x Q(t)x +u P(t)u]dt

R&(t) = −R(t)A(t) −

A(t) – матрица раз-

t1 – задано,

2 t0

− A(t)R(t) −Q(t) +

мерности n × n, B(t)

R1, Q(t) – положительно

×R(t0 )x(t0 )

–

матрица

размер-

x(t1) = x1

–

+ R(t)B(t)P−1(t)BT (t)R(t),

полуопределенные сим-

ности n × m

свободно

R(t1) = R1

метричные матрицы

размерности n × n;

(интегрирование

от

P(t) – положительно

до

t0 )

или

определенная симмет-

ричная матрица размер-

−1

ности m × m

(t))

+ R

A −

− BP−1BT + R−1QR−1

R−1(t ) = R

−1

= Ax + Bu

= 0

1 T

= −K(t −t)x

= J

min

J[u] = 2 x1 R1x1 +

A, B – постоянные

x(t0 ) = x0

–

=V(t0, x0 ) =

где

матрицы

размер-

задано,

Qx + u

Pu]dt,

−1

(t0 )×

ности n × n и n ×

0 ≤ t ≤ t1

K(t1 −t) = P

R(t1 −t)

∫0

m, соответственно

– задано,

R(t1 −t)

–

решение

мат-

×R(t1 −t0 )x(t0 )

Q, R1 – постоянные

t0 = 0

x = (x1,..., xn )T

x(t1) = x1 ,

ричного уравнения Рикка-

– сво-

положительно полуоп-

ти:

u = (u1,..., um )T

ределенные симмет-

бодно

ричные матрицы раз-

мерности n × n; P – по-

dτ

= R(τ)A

A R(τ) + Q −

стоянная положительно

− R(τ)BP−1BT R(τ),

определенная симмет-

R(0) = R1,τ = t1 −t,

ричная матрица раз-

мерности

0 ≤ τ ≤ t1

m × m

= Ax + Bu

t0 = 0 ,

J[u] =

u* = –Kx,

= Jmin =

A, B – постоянные

∞

Qx + u

Pu]dt,

−1

=V (t0 , x0 ) =

матрицы

размер-

x(t0 ) = x0

–

∫0

где

K = P

– посто-

R0x0

ности n × n и n ×

задано,

янная матрица;

– уста-

2 x0

m, соответственно

0 ≤ t ≤ t1 = ∞

Q – постоянная поло-

новившееся решение мат-

жительно полуопреде-

ричного уравнения Рикка-

x = (x1,..., xn )T ,

ленная симметричная

ти, т.е.

u = (u ,..., u

)Y ,

матрица размерности n

R0 = lim R(τ)

x(t )

× n; P – постоянная

–

x = (x1,..., xn )T ,

положительно опреде-

τ→∞

свободно

u = (u ,...,u

)T ,

ленная симметричная

где

матрица размерности m

× m

= RA + AT R +Q −

dτ

− RBP −1 BT R; R(0) = 0

может быть также оп-

ределена

из

квадратного

алгебраического

матрич-

ного уравнения Риккати

R0 A + AT R0 +Q −

− R0 BP −1 BT R0 = 0

как его единственное по-

ложительно

определенное

решение

A(t)x

−1

B(t)u ,

– задано,

J[u] =

xT R x

= −P

R + N

]x ,

x(t0 ) = x0

–

где A(t), B(t), x, u –

N x

где

задано,

матрицы

векто-

t0 ≤ t ≤ t1,

×∫[x

]

dt,

ры, определенные

P u

в п. 1

– задано,

x(t1) = x1 ,

где

Q − NP−1NT ≥ 0 ;

R& = −RA − AT R +

–

N(t) – матрица размер-

+(RB + N )P −1 ×

свободно

ности n × m; P(t) – по-

×(N T + BT R) −Q,

ложительно

опреде-

R(t1 ) = R1

ленная

матрица

раз-

мерности

m × m; R1 – см. п. 1

−1

)x +

– задано,

J[u] =

xT R x +

= −P

−1

Rx =

x = (A − BP

+ Bu,

x0 – зада-

1 t1

1 1

= u*(4) + P−1NT x,

но,

≤ t ≤ t ,

∫[x

]×

где A(t), B(t), x, u –

где R и

u(4)

определены в

t1 – задано,

матрицы

векто-

Q −

NP−1NT ,

ры, определенные

x(t ) = x

п. 4

в п. 1; P(t), N(t) –

P u

матрицы,

опреде-

–

лённые в п. 4

свободно

+ B(t)u ,

u* = −C(t)x + h(t),

x = A(t)x

– задано,

J[u] =

∫[(y(t) −

где

где A(t), B(t), x, u –

– зада-

2 t

но,

C = P−1BT R;

матрицы

векто-

− M (t)x)T Q(t)(y(t) −

ры, определенные

t0 ≤ t ≤ t1,

− M (t)x) +u

P(t)u]dt,

h = P

−1

в п. 1

– задано,

а матрица R(t) и вектор g(t)

x(t1) = x1 ,

где

y(t)

–

заданная

определяется

из

решений

–

функция

(желаемый

уравнений:

выходной сигнал); M(t)

свободно

– матрица размерности

R& = −RA − AT R +

n × n; P(t), Q(t)

– см.

+ RBP−1BT R − M T QM ,

п.

R(t1) = 0,

M(t)x

–

полученный

выходной сигнал

g& = −(AT − RBP−1BT )g +

y = ( y1, y2 ,..., yn )T

+ M T Qy,

g(t1 ) = 0

–

задано,

J[u] =

1 xT R x +

= −P

−1

(Rx + w),

x = A(t)x +

+ B(t)u + f (t),

x(t0 ) = x0

–

где

где f(t) –

известный

задано,

= −RA −

n-мерный вектор;

t0 ≤ t ≤ t1 ,

× ∫[xT Q(t)x +uT P(t)u]dt,

A R −

−Q + RBP−1BT R,

элементы A(t), B(t),

–

задано,

R(t )

= R ,

x, u – определены в

x(t ) = x

–

, Q(t), P(t)

– см. п. 1

−1

−

Rf ,

п. 1

(RBP

A )w

свободно

w(t1)

= 0

–

задано,

= −P

−1

+ B

= Jmin

x = A(t)x + B(t)u ,

J[u] =

Q(t)x +

где A(t), B(t),

x, u –

x(t0 ) = x0

–

∫[x

×(R − FG −1 * F T )]x −

=V(t0 , x0 ) =

матрицы и векторы,

задано,

− P −1 BT FG −1φ1 ,

определенные в п. 1

t0 ≤ t ≤ t1 ,

2xT N (t)u + uT P(t)u]dt +

где

xT0 (R(t0 ) −

–

задано,

R& = −RA − AT R −Q +

Mx(t1) = φ1 ,

2 x1 R1x1,

+ (RB + N )P−1(N T + BT R),

− F(t)G−1(t) ×

–

матрица

(t),

N(t),

P(t),

–

R(t1)

= R1,

×FT (t))x

n);

см. п. 1

F& =−[AT −(RB+N)P−1BT ]F,

−1

– заданный

F(t ) = M

(FG φ1) ×

q-мерный

−1

T −1

вектор q ≤ n

= F

BP B F,

×x0 −

φ1 G

G(t1) =

Глава 6

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ОСОБОГО УПРАВЛЕНИЯ

6.1. Краткая формулировка задачи

При решении задач встречаются случаи, когда управление u входит в дифференциальные уравнения математической модели объекта линейно,

= f (t, x,u) = γ(x,t) + R(x,t)u ,

(56)

где

x = (x , x

, ..., x

)T ,

x X n ;

u = (u , u

, ..., u

u U m ;

γ = (γ1,

γ2 , ...,

γn )T ;

R ={rij (t, x)} (i =

, j =

);

1, n

1, m

t [t0 ,t1],

а критерий качества имеет вид

J[u,t0 , t1, x0 , x1] = Φ(t0 , t1, x0 , x1) + ∫ f0 (t, x,u)dt = Φ(t0 ,t1, x0 , x1) +

+ ∫[γ0 (x, t) +uT r0 (x, t)]dt,

(57)

где r0 = (r01, r02 , ..., r0m )T ; uT r0 = ∑r0u j .

j=1

Функция Гамильтона H для (56), (57) имеет вид

H = ∑λi fi =

∑

λi γi (x, t) + ∑

λi ∑riju j =

i =0

i=0

i =0

j =1

(58)

= ∑λi γi (x,t) + ∑

∑λirij

u j .

i =0

j =1

i =0

Если U m – m-мерный прямоугольник:

U m ={u = (u , u

, ..., u

a ≤ u

≤ b ,

≤ u

≤ b

, ..., a

≤ u

≤ b },

1 1

a j < bj ( j =1, m)

( a j , bj могут зависеть от t), то в силу принципа максимума (см. п. 4.3) для минимизации J[u] оптимальное управление определяется из условия

u = arg min H (t,x,u,λ)

u U m
или
		n
a j	при	∑λi rij > 0;
		i=0
u j =		n
		n
	при	∑λi rij < 0.
b j	при	∑λi rij < 0.
		i=0

(59)

(60)

При некоторых значениях x и λ функция H в (58) может оказаться независящей явно от какой-либо компоненты u j на отрезке [τ1, τ2 ] τ2 −τ1 > 0 . В этом случае выполняется соотношение (рис. 9)

n
Φ j (λ, x,t) = ∑λi rij (x,t) ≡ 0 ,	(61)

i=0

которое формально совпадает с условием

∂H	n
	= ∑λirij (x,t) ≡ 0	(62)
∂u j
	i=0

на отрезке [τ1, τ2 ].

Отрезок [τ1, τ2 ] , на котором имеет место соотношение (61), называется участком особого управления для компоненты u j , а оптимальное управление u*j (t) на таком участке существует, называется особым оптимальным управлением. Такое название объясняется тем, что поскольку гамильтониан H от u j не зависит, оптимальное управление не может быть найдено

непосредственно с помощью принципа максимума. Более того, в случае выполнения условия (61) ни необходимые условия классического вариационного исчисления, ни необходимые условия динамического программирования (см. п. 5.2) не могут

служить для непосредственного вычисления компоненты u*j , хотя все эти условия формально не выполняются.

Рис. 9. Поведение гамильтонианов H1(u j ) = α+Φ ju j и H2 (u j ) = Φ ju j + u j +α в зависимости от Φ j :

а, б, г, д – строгий минимум (регулярное управление); в, е – нестрогий минимум (особое управление)

Так, например, если гамильтониан H от управления u j не зависит, то H достигает максимума при любом u j .

Условия (61) не могут установить различие между управлениями u j , дающими минимум или максимум функционалу J[u]. На участке особого управления выполняется соотношение

	∂	2		H
det	∂			H		≡ 0 (i, j =1, m)	на [τ1, τ2 ] ,	(62)
det	∂u		∂u			≡ 0 (i, j =1, m)	на [τ1, τ2 ] ,	(62)
	∂u		∂u
		i			j

показывающее, что условие Гильберта невырожденности вариационной задачи нарушено. Задачи, для которых имеет место

условие, в классическом вариационном исчислении называются вырожденными. Если множество U m – замкнуто и ограничено, то в вырожденных задачах может наблюдаться два режима оптимального управления: регулярный, когда u определяется из принципа максимума [как, например, (60)], и особый, когда u не может быть найдено из принципа максимума [как, например, при выполнении (61)] и когда требуется особая процедура для его отыскания.

6.2. Процедура нахождения особого управления

Общая теория вырожденных вариационных задач разработана недостаточно. Наиболее полно исследован случай особого управления по одной компоненте u j . В этом случае решение можно получить следующим образом.

Условие (62) показывает, что режим особого управления на участке [τ1, τ2 ] (участке особого управления) имеет место,

если

	∂H	n
		= ∑λi rij (t, x) ≡ 0 .
	∂u j
		i=0

Последовательное дифференцирование этого соотношения по t приводит к соотношениям

d k

∂H

≡ 0

на [τ , τ

] (k = 0, 1, 2, ...).

(64)

dtk

∂u j

Можно показать, что первое ненулевое значение величины

∂ d k

∂H

∂u j

dtk

∂u j

возможно лишь при четном k. Обозначим его k = kmin = 2 p . Число p называется порядком вырожденности (сингулярности) вариационной задачи (оптимального управления).

∂H

При k = 2p управление u j

войдет в

явным образом. Теперь величину особого оптимального управления

u j

dtk

∂u j

можно найти из условия

d 2 p

∂H

= 0

на [τ , τ

] ,

(65)

dt2 p

∂u j

которое линейно по u j (в силу линейности по u системы (56)). Уравнения сопряженной системы в данном случае имеют вид

dλs	n	∂γi	m		n	∂r
	= −∑λi		+ ∑		∑λi	ij	u j .	(66)
dt
	i=0	∂xs	j=1	i=0		∂xs

Считая, что все остальные компоненты вектора u регулярны, т.е. определяются соотношениями типа (60), условие (65) можно записать в виде

d 2 p	∂H
		= M1(x, λ,t) +u j M 2 (x, λ,t) = 0 ,	(67)
dt 2 p
	∂u j

откуда и может быть найдено особое управление для компонент

u j = − M1(x,λ,t) . M2 (x,λ,t)

6.3. Необходимое условие оптимальности особого управления

Для минимума критерия качества J[u] на особом управлении u*j в задаче (56)–(57) должно выполняться следующее необходимое условие:

	∂	d 2 p	∂H
(−1) p				≥ 0,	p = 0, 1, 2, ... .	(68)
	∂u j		∂u j
		dt 2 p

При максимизации критерия качества знак в неравенстве (68) следует заменить на обратный.

Отметим, что при p = 0, т.е. для невырожденных задач, это условие переходит в условие ∂2H∂u2j ≥ 0 (при m = 1) и, та-

ким образом, (68) является аналогом условия Лежандра–Клебша для особых (вырожденных) экстремалей (для одномерного управления u j ). При p = 1 условие (68) имеет вид

∂	d 2	∂H
			≤ 0 .
∂u j		∂u j
	dt 2

6.4. Необходимые условия в точках сопряжения особого и регулярного управлений

Результаты, полученные в пп. 6.2 и 6.3, применимы, если значения оптимального особого управления u*j (t) являются

внутренними точками множества U m на отрезке [τ , τ	2	] . Необходимые условия для перехода с регулярного оптимального
1	2
управления на особое оптимальное в случае, когда U m – m-мерный прямоугольник a			j	(t) ≤ u	j	(t) ≤ b	(t) , а τ		– момент вре-
			j		j	j		1
мени начала перехода, определяются следующими неравенствами:
		[M1(x, λ,t) +bj		(t)M 2 (x, λ,t)]τ				< 0	(69)
						1

(необходимое условие для возможности перехода регулярного управления с верхней границы u j (t) = bj (t)		на особое опти-
мальное управление) и
[M1(x, λ,t) + a j (t)M2	(x,λ,t)]τ > 0	(70)
	1

(необходимое условие для возможности перехода регулярного управления с верхнейграницы u j (t) = bj (t) на особое оптимальное

управление).

Требование совместного выполнения условий (69) и (70) может быть представлено в виде неравенства

∂	d 2 p	∂H
				≤ 0 .	(71)
∂u j		∂u j		≤ 0 .	(71)
∂u j	dt 2 p	∂u j
			τ
			1

Это условие является необходимым для возможности перехода с обеих границ регулярного управления на особое. Необходимое условие (71) легче проверить, так как оно не связано с вычислением M1(x, λ,t) . Однако следует иметь в виду, что

оно является более слабым, чем условия (69) и (70), поскольку последние из него не вытекают.

Контрольные вопросы

1.Что такое особое управление, и когда оно возникает?

2.Процедура нахождения особого управления.

3.Необходимое условие оптимальности особого управления.

4.Необходимые условия в точках сопряжения особого и регулярного управлений.

Глава 7

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИМИ ТОЛЬКО ФАЗОВЫЕ КООРДИНАТЫ x

В технических приложениях имеется ряд задач, когда при формировании оптимальной траектории необходимо учитывать ограничения на область допустимых значений фазовых координат. Например, при наборе самолетом высоты или при рассмотрении траекторий спуска

= ρ(h(t))v2 (t) ≤

q 2 qзад ,

т.е.

q(h(t),v(t),t) −qзад ≤ 0 .

При движении ЛА типичными также являются ограничения на допустимые значения высоты полета h и массы m ЛА: h(t) ≥ 0; m(t) ≥ m.

В общем случае ограничения указанного типа можно записать в виде

φ(t, x) ≥ 0 ,

(72)

где

φ = (φ , φ	2	, ..., φ	µ	)T ;	x = (x , x	2	, ..., x	n	)T .
1	2		µ		1	2		n
			1

7.1. Краткая формулировка задачи

Пусть эволюция рассматриваемой системы S описывается векторным дифференциальным уравнением

dx	= f (t, x,u) ,	(73)
dt

где

f = ( f1, f2 , ..., xn )T ; x = (x1, x2 , ..., xn )T ; u = (u1, u2 , ..., um )T ;

u U m ; U m – некоторая замкнутая и ограниченная область в пространстве Rm . Заданы:

• начальное значение

x(t0 ) = x0 ,

(74)

•интервал времени [t0 , t1] ,

•критерий качества

t1
J[u] = Φ(t1, x(t1 )) + ∫ f0 (t, x,u)dt .	(75)
t0

Необходимо найти такое кусочно-непрерывное управление u(t) U m , которое переводит начальное условие (t0 , x0 ) в некоторую конечную точку (t1, x(t1)) , удовлетворяющую условиям

q(t , x(t )) = 0,	q = (q , q	2	, ..., q	)T ,	(76)
1 1	1	2	l

l < n + 1,

и минимизирует функционал J[u] на траекториях, удовлетворяющих условиям

φ(t, x) ≥ 0, φ = (φ , φ	2	, ..., φ	µ	)T .	(76')
1	2		µ
			1

Здесь значения функции φi не зависят явно от управления u. Предполагается, что t, f0 , φ обладают непрерывными производными до второго порядка.

7.2.Необходимые условия оптимальности

Впостановке п. 7.1 вся оптимальная траектория полета в общем случае может состоять из двух типов участков: участков, целиком лежащих внутри допустимой области, и участков, лежащих на границе допустимой области (рис. 10). Количество таких участков и их чередование зависит от конкретной задачи и граничных условий. На участках, целиком расположенных внутри допустимой области, условия (72) выполняются в виде строгих неравенств

φ(t, x) > 0 .

Для этих участков справедлив принцип максимума, сформулированный в п. 4.3.

На участках, лежащих на границе допустимой области, одно или несколько условий типа (72) выполняются в виде равенств. Эти участки называются граничными, для них принцип максимума п. 4.3 уже не справедлив. Наличием этих участков данная задача и отличается от задач п. 4.1.

Известно несколько эквивалентных подходов к получению необходимых условий оптимальности для участков, расположенных на границе φ(t, x) = 0 . Будучи эквивалентными, эти подходы ведут к различным вычислительным процедурам

получения решения.

Рис. 10. Типы возможных оптимальных траекторий в задачах

сограничениями на фазовые координаты:

а– г – случаи, когда допустимые траектории располагаются внутри некоторой области (не обязательно замкнутой); а – траектория, целиком лежащая внутри допустимой области; б – траектория, имеющая с границей области одну общую точку (типа отражения от границы); в

–траектория, целиком лежащая на

границе; г – траектория, частично расположенная на границе; д – з – случаи, когда допустимые траектории располагаются вне некоторой области; д – случай двух траекторий, доставляющих относи-

тельный минимум в задаче о кратчайшем пути на плоскости; е – случай невыпуклой запрещенной области, траектории с несколькими участками входа и схода;

ж – 1–2 – траектория, не имеющая общих точек с границей; 1–3 – траектория, имеющая одну общую точку (касание) с границей; з – случай негладкой границы допустимой области; 1 – начальная точка траектории; 2 – конечная точка траектории; 1' – точка входа на границу; 2' – точка схода с границы

Рассмотрим случай одного скалярного ограничения вида

φi (t, x) ≥ 0 .

7.3.Первый тип необходимых условий оптимальности для граничных участков траектории

Для простоты рассматривается случай, когда лишь одно из ограничений типа (72) выполняется в виде равенства (например, ограничение φ1 ). Пусть это ограничение

φ1(t, x) = 0

(77)

таково, что полная производная по времени

dφ1(t

, x)

∂φ1

∂φ1 &

∂φ1

f (t, x,u)

(78)

∂t

∂x

x =

∂t

∂x

содержит управление u явно.

Необходимое и достаточное условие того, что (77) имеет место на некотором ненулевом отрезке [t1′, t2′ ] , вводится в

уравнение

&		dφ1(t, x)		∂φ1		∂φ1		&
φ1	=		=		+		f (t, x,u) = φ1		(t, x,u) = 0	(79)
φ1	=	dt	=	∂t	+	∂x	f (t, x,u) = φ1		(t, x,u) = 0	(79)
		dt		∂t		∂x
Составляется гамильтониан H1 для граничных участков
						&		(t, x,u) ,		(80)
			H1 = H +βφ1					(t, x,u) ,		(80)

где

H= λ0 f0 + ∑ fiλi ;

i=1

β= 0 на участках, где φ1 > 0; β ≠ 0 на участках, где φ1 = 0 .

Теперь необходимые условия для граничного участка совпадают с необходимыми условиями п. 8.3 с заменой в условиях (95), (97), (101) функции на φ&1 . Отличие этой задачи от задачи п. 8.2 заключается в условиях, накладываемых на переменные в точках выхода траектории на границу и схода с нее. В этих точках сопряженные переменные λi (t) могут претерпевать разрывы. Если имеется всего два участка, то сопряженные переменные непрерывны. При этом условие φ1(t, x) = 0 может толковаться либо как связь, наложенная на начальные значения (t0 , x0 ) , либо как связь, наложенная на конечные значения (t1,x1) , в зависимости от порядка следования участков с φ1 > 0 и φ1 = 0 .

При трех участках, если сначала идет граничный участок, затем участок с φ1 > 0 и далее снова граничный участок,

множители тоже непрерывны вдоль всей траектории. При всех других порядках следования участков, если последних больше трех, сопряженные переменные имеют разрыв типа скачка. Этот скачок в значениях λi (t) можно осуществить на любом

конце граничного участка, при этом на другом конце множители уже могут быть выбраны непрерывными (выбор конца, на котором происходит скачок, не имеет значения). Если этот конец выбран в момент времени t2′ , то условия скачка имеют вид

	+		−	∂φ (t 2 )
λ		(t2 ) = λ	(t2 ) −C		1	;		(81)
λ		(t2 ) = λ	(t2 ) −C		∂x	;		(81)
					∂x
H	+ (t2′ ) = H −1(t2′ ) +C				∂φ1(t2′ )		;	(82)
					∂t
		φ1− (t2′ ) = 0 ,						(83)

где С – произвольная постоянная; индексы «+» и «–» обозначают пределы справа и слева, соответственно.

Если условия (81) подставить в (82), то коэффициент при С будет φ&1 и, таким образом, условие (82) не зависит от С, а

содержит только значения λ− (t2′ ) . После указанной подстановки уравнение (82) может быть использовано в качестве эквивалентного необходимого условия.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>