Добавил:

Volokhoff Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный морской университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Застосування Визначеного Інтегралу - Дреков В.М. - 2005

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2019

Размер:

553.63 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра “Вища та прикладна математика”

ЗАСТОСУВАННЯ

ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

Завдання до типового розрахунку

Одеса – 2005

Завдання до типового розрахунку опрацьовано Дрековим Володимиром Миколайовичем – кандидатом фіз.-мат. наук, доцентом кафедри “Вища та прикладна математика” Одеського національного морського університету.

Типовий розрахунок схвалено кафедрою “Вища та прикладна математика” ОНМУ 29 березня 2005 року (протокол № 9).

Рецензент: кандидат фіз.- мат. наук, доцент Григор’єв Ю.О.

Завдання 1. Обчислити площу фігури, обмеженої вказаними лініями:

а) y x2 3x 7, y x 7 ;

б) y

, y 17 x 2

x 2

а) y x 2 3x 5, y x 3;

б) y x 9 x2 , y 0, 0 x 3

а) y x 2 x, y x 9 ;

б) y x3 , y 2 x, x 1

а)

y x

2x 4,

y 3x ;

б)

y sin x cos

x, y

0 x

а) y x 2 5x 1, y 2x 2 x 1;

б) y 4 x2 , y 0, x 0, x 1

а) y 2x 2 2x, y x 2 1;

б) y еx 1, y 0, x ln 2

а) y x 2 2x 2, y x ;

б) y 2x 6, y 1 5x, x 2

а) y x 2 5x, y 4x 6 ;

б)

, y

0, x 1, x е3

1 ln x

а)

y x 2

8x 3,

y 5x 3 ;

б)

y arccosx,

y 0,

x 0

10.

а)

y x2

3x 2,

y 6 x ;

б)

y 3 x, y 2x 3, y 0

11.

а)

y x

4x 3,

y x

б)

y x sin x,

y 0,

y x2

4x 11,

y x2 x 9 ;

12.

а)

б)

y x

36 x2 , y 0,

0 x 6

13.

а)

y x2

7x 2,

y x 6 ;

б)

x arccos y,

y 0,

x 0

y x2

2x 3,

y 1 x ;

y x arctgx,

y 0, x

14.

а)

б)

15.

а)

y x2

13x, y 10x ;

б)

y 2x2 ,

y2 4x3

16.

а)

y x2

6x 6,

y x 4 ;

б)

y sin 2

x cosx, y 0,

0 x

17.

а)

y x2

x 17,

y x 17 ;

б)

y е2x ,

x 0,

x ln 3

y x2

2x, y 3 ;

18.

а)

б)

y x

4 x2 , y 0, 0 x 2

19.

а)

y x2

1, y x2 17 ;

б)

y 0,

x 1

а)

20.

y x2 4x 8, y 2x2

3x 10 ;

б)

y 0,

1 cosx

21.

а)

y x2

x 12,

y 12 ;

б)

x y 2 3 ,

x 4 y 8

22.

а)

y x2

3x 1,

y 2 x ;

б)

y sin 2x cos5 x,

y 0,

0 x

23.

а) y x

7x 1, y 5x 4 ;

б)

y 0, x 1

x2 1 2

24.

а)

y x2

8x 1,

y 8x ;

б)

y x,

x 0,5

25.

а)

y x

2x 3,

y 7x 3;

б)

y x2

, y 0, x 1, x 2

26.

а)

y 4 x2 , y x 2 ;

б)

x 0,

y 1,

y е3

1 ln y

y x2 4x,

y 3x 6;

27.

а)

б)

y x2

4 x2 ,

y 0,

0 x 2

y 3x2

y 2x2 4x ;

y 1,

x 8

28.

а)

б)

1 x

y x2

7x, y 11x 3 ;

y 3

y 1,

x 6

29.

а)

б)

x 2,

а)

y 2x

, y 3 x

;

б)

y cos2x,

y 0,

30.

0 x 2

Завдання 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, рівняння яких задано в полярній системі координат:


1.	r 2cos				, r 2 3 sin				16.
1.	r 2cos				, r 2 3 sin		, 0		16.	r 3 cos , r sin , 0
								2						2

2.	r 2	tg			,				17.
2.	r 2	tg			,				17.	r cos , r sin , 0
						3							2
3.	r 1 sin								18.	r 3sin , r 5sin

4.	r 1,5 cos , r 2,5 cos								19.	r 2,5sin , r 1,5sin

5.	r cos 3								20.	r 2cos2

	r 0,5 sin									r 1		cos
6.	r 0,5 sin								21.	r 1	2	cos

7.	r 2sin 4								22.	r 2cos6

	r 1			sin						r 0,5 cos
8.	r 1		2	sin					23.	r 0,5 cos

9.	r 2 4cos2								24.	r 6sin 3 , r 3, r 3
10.	r 4sin 3 , r 2, r 2								25.	r cos2

11.	r 2cos , r 3cos								26.	r 2 cos

12.	r 4cos 3 , r 2, r 2								27.	r 6cos 3 , r 3, r 3

13.	r sin 3								28.	r 2 1 cos

14.	r cos , r 2cos								29.	r 4cos , r 2, r 2

15.	r cos4								30.	r 2 9sin 2

Завдання 3. Обчислити довжину дуги лінії:

	y 2 0,5 еx										е x ,							0 x ln 3						y 7 ln x,
1.	y 2 0,5 еx										е x ,							0 x ln 3					16.	y 7 ln x,									3		x			8

																					7			y		1		x2 ln x , 1 x 2
2.	y 1 x2 arcsin x,																	0 x			7		17.			1
2.	y 1 x2 arcsin x,																	0 x					17.
																					9			2		2

3.	y ln cosx 2,										0 x												18.	y	1		x2		2 32 ,								0 x 3
3.	y ln cosx 2,										0 x												18.	y			x2		2 32 ,								0 x 3
																		6						3

	y ln x,					x																		y 1 ln x2							1 ,						3 x 9
4.	y ln x,				3	x									15								19.	y 1 ln x2							1 ,						3 x 9

	2						3																	1								3
			2																									2
		x	2	1 , 3 x 6																							x	2	6						, 3 x 6
	y 3	x		1 , 3 x 6																				y 9			x		6						, 3 x 6
5.							2																20.									2

	y 2 еx , ln											x ln												y 6 е2x ,						0,25ln 2 x 0,25ln 6
6.	y 2 еx , ln									3		x ln								8			21.	y 6 е2x ,						0,25ln 2 x 0,25ln 6


	y arcsin												x x2 ,							0,25 x 1
						x
																								y arccos													x x2 , 0 x 0,5
7.																							22.	y arccos						x							x x2 , 0 x 0,5

		5																												x		2


8.	y ln			,					8 x									15					23.	y 2ln 1										, 0 x 1
		2x																												4
																						9
9.	y	1 x2 arccosx,																	0 x			9	24.	y 1 0,5 ln cos2x,														0 x
9.	y	1 x2 arccosx,																	0 x		16		24.	y 1 0,5 ln cos2x,														0 x						6
																					16																							6


																								y 1 arcsin x													1 x2 , 0 x 0,75
10.	y 12 е			x	, ln						15 x ln 24												25.	y 1 arcsin x													1 x2 , 0 x 0,75
10.	y 12 е				, ln						15 x ln 24												25.

11.	y 0,25x2 0,5ln x,															1 x 2							26.	y 0,25ln x 0,5x2 , 1 x 9

	y 1 е-x , ln							3			x ln									3																					,	1	x 1
																								y			x x2			arccos
12.																							27.																x
							4

																				7																		9

13.	y ln cosx,								0 x														28.	y ln sin x,										x
																3														3						2

	y 0,25 е2 x						е 2 x 3 ,													0 x 2				y 4 3							32 , 0 x 8
14.	y 0,25 е2 x						е 2 x 3 ,													0 x 2			29.	y 4 3					x2		32 , 0 x 8

	y ln x													,										y ln x													,
						x2 1													x											x2 1										x
15.						x2 1											2		x		10		30.							x2 1								5		x				26

Завдання 4. Обчислити довжину дуги лінії, заданої параметричними рівняннями:

	x 2t 2								1 sin 2t 2t cost																		, 0 t					x 4 t cost sin t																, 0 t 2
1.																					1 cos2t						, 0 t				16.																	, 0 t 2
	y 2t sin 2t 2t 2																				1 cos2t											y	4 t sin t cost

										3	t																					x			2 е			t			cost
		x 8 cos									t				0 t																	x			2 е						cost						0 t ln 3
2.													,																		17.															,
2.													,								2										17.															,
	y 8 sin									3											2																	t
	y 8 sin										t																					y			2 е						sin t
	x 2 t sin t																	t														x еt sin t cost																				3
3.																	, 0														18.																, 0 t
3.																	, 0														18.																, 0 t
	y 2 1					cost																		2								y	еt cost sin t																				2
	x t 2 2 sin t 2t cost																									, 0 t						x 2cos3 t								, 0 t
4.					t 2 cost 2t sin t																					, 0 t					19.									, 0 t
	y 2				t 2 cost 2t sin t																											y	2sin 3 t															4
	x 0,5 cost 0,25 cost																										t			2		x 2cos2t																, 0 t
5.																								,							20.
5.																								,							20.
	y 0,5 sin t 0,25 sin t																									2			3			y	2 1 sin t cost																				2
				sin t cost ,
	x е		t																													x t		2	sin t 2t cost ,
6.																								t							21.																			0 t 3
6.																								t							21.																			0 t 3
	y е t cost sin t																					2										y t 2			cost 2t sin t
	x 7 1 sin t cost																									t						x 3 t sin t														t 2
7.						sin t sin t													,												22.														,
7.																			,												22.														,
	y 7 1																							6				6				y	3 1 cost
	x 2 2 cost cos2t																															x 2t cost
8.																						, 0 t									23.								, 0 t 0,75
8.																						, 0 t									23.								, 0 t 0,75
	y 2 2 sin t sin 2t																											3				y	2t sin t
												4		t																							3		t
	x 1,5 cos															cost																x	4 sin											cost								3
	x 1,5 cos													4		cost							0 t 2									x	4 sin					3						cost				0 t				3
9.														t						,											24.								t								,
9.																				,											24.																,					2
												4																									3															2
	y 1,5 cos															sin t																y	4 sin											sin t
	y 1,5 cos															sin t																y	4 sin											sin t
														4																									3
	x 2t 2						cost									0 t						3										x sin 2t										, 0 t							3
10.														,								3									25.																		3
10.														,																	25.
	y 2t			2				sin t														2										y	2sin 2 t															2
	x 2 1 cost															cost																x 8 t sin t cost
11.						cost sin t														,			t								26.																, 0 t
11.																				,			t								26.																, 0 t
	y 2 1																												2			y	8 sin t t cost																			4
					3	t																														t
						t
	x 5е 4									cost							4 ln 2 t 4 ln 2															x 4е7 cost												, 0 t				7ln 8
12.					3										,		4 ln 2 t 4 ln 2														27.					t								, 0 t				7ln 8
					3		t																													t
							t			sin t

	y 5е 4																															y 4е7 sin t
																																					3 t
	x 6 1 sin t cost																															x	6cos										cost							3
	x 6 1 sin t cost																								t		0					x	6cos					3					cost							3	t 0
13.																		,													28.															,
13.																		,													28.															,
	y 6 1 sin t sin t																						2														3		t											2
																																y	6cos										sin t
																																y	6cos										sin t
																																						3

x 4

14.

, 0 t 4 8

29.

, 0 t 8

y 3

cost ln t sin t

x 3sin

cost

15.

, 2 t 3

30.

, t

sin t ln t sin t

y 3sin

sin t

Завдання 5. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої заданими лініями, навколо осі O x :

y x

x3 , y x

16.

y x 2 , y

y 3

y x

17.

y 3cos x,

y cos x,

0 x 0,5

18.

y 1,

y sin 0,5x, 0 x

y x 2 , y 3

19.

y 2, x 1

y x 1 2 ,

, y x, y 0

e 1

20.

2 x

y е2x , y 1, x 1

21.

y е0,5x,

y еx ,

x 1

y 2 x 2 ,

y x, x 0

22.

y еx

1, y 1,

x 1

y sin x, y 2 sin x, 0 x

y еx2

, y е,

x 0

23.

y еx , y е,

x 0

24.

y tgx,

y 1, x 0

10.

x 2 4 y 2 4,

x 2 y 2

25.

y sin x, y cosx,

0 x 0,25

11.

y sin 2 x,

y 0, x 0,5

26.

y 2x x2 , y 2 x

12.

y x 2 2,

y 1 x 2 ,

0 x 1

27.

y 2 x3 , y 1,

x 1

13.

x 2 y 2 2 1

28.

y е1-x ,

y 0, 0 x 1

14.

y x 2 , y 1

29.

y x2 5x 6,

y 0

15.

y x е x , y 0, x 1

30.

y 5cosx, y cosx, 0,5 x 0

Завдання 6. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням заданої дуги навколо осі O x :

	y x3 ,					0 x 2																			y 2
1.	y x3 ,					0 x 2																		16.	y 2							x 1, 1 x 4

	y 3											6,75 x 18													y 2
2.	y 3						x,					6,75 x 18												17.	y 2							4 x							, 1 x 4


3.	y			4 x2 , 1 x 1																				18.	y 2						9 x2 ,										0 x 3

	y								0 x 2,25																y
4.	y			3x,					0 x 2,25															19.	y				2x			, 0 x 15


5.	y			4 2x2 ,												0 x								20.	y			16 2x2 ,													0 x 2
5.	y			4 2x2 ,												0 x							2	20.	y			16 2x2 ,													0 x 2					2


6.	y 0,5									4 x2 ,									0 x 2					21.	y 2					1 x2 ,											0 x 1

	y		1		x3 , 1 x 1																				y		1		x3	, 0 x 4
7.			1																					22.			1																	12
7.		3																						22.		6																		12
		3																								6

						x									x													x								x
																												x								x
8.	y					4		е					4					0 x 4						23.
						4							4												y	е 2 е											,		0 x 2
		2 е														,									y	е 2 е										2	,		0 x 2


													1					1
													1					1															x		2
9.	y				x x											,					x 1			24.	y				8								,		0 x 4


													3					3												2


																																					1				1				4
								3																													1				1				4
10.	y			3								x2			, 0 x 2									25.	y				x x									,					x
10.	y			3								x2			, 0 x 2									25.	y				x x									,					x
								4																													3				3				3


11.	y			2 0,5x2 , 0 x 2																				26.	y				8 0,5x2 ,													0 x 4

			4									1															2
	y				x3 ,									x 4											y									3 x2 ,									0 x
12.																						5		27.																						3
		3
												3														3
												3														3

	y																,	0 x 12							y															,		0 x 2
13.	y				x 12 x												,	0 x 12						28.	y				x 3 x											,		0 x 2

	y	1																			3 x 6						1		x 12
14.		1									x x 3									,				29.	y		1															x	, 12 x 24
14.											x x 3									,				29.	y																	x	, 12 x 24
		3																								6

15.	y 0,25 е2 x														е 2 x , 0,5 x 0,5									30.	y 0,5 еx												е x , 0 x 1

Завдання 7. Обчислити невластиві інтеграли або довести їх розбіжність :

а)

б)

1 3ln x 3

cos 2 2x

xdx

а)

x 2

cos

б)

x 2

xdx

cosxdx

а)

б)

1 2

sin 2 x

а)

x dx

б) x 2 е-

а)

б)

x 5ln x 1

2x x2

а) x3 е1-x4 dx

б)

x ln x

xdx

а)

б)

4x4 25

x ln 2 x

xdx

а)

б)

25x4 9

x ln x

3-x

а)

б)

x2 2x

1 dx

10.

а)

б)

2x x2

cosxdx

11.

а)

е4 x

1dx

б)

2sin x 1

0,4

12.

а)

б)

4 25x2

0,2

xdx

13.

а)

б)

x ln x 0,75

14.

а)

x е-x dx

б)

arcsin x

1 x2

15.

а)

б)

ctg 2xdx

x ln x

xdx

16.

а)

б)

9x2 6x 2

4 x2

x 1 dx

x4 dx

17.

а)

2x 1

б)

3 x5 1

xdx

18.

а)

б)

4x 5

x2 4

0,5

еx dx

0,25

19.

а)

б)

16 е2x 9

1 4x

arcsin xdx

20.

а)

б)

9x2 6x 8

1 x2

sin xdx

21.

а)

б)

16x2 8x 5

1 2cosx

0,75

ln xdx

2,5

22.

а)

б)

4 ln 2 x

25 4x2

23.

а)

x 3 е x2 dx

б)

0 sin 2 3x

xdx

24.

а)

б)

0 9x4 1

ln x 2

arctgx 3 dx

1,5

xdx

25.

а)

б)

x2 1

4x2

26.

а)

еx dx

sin 2xdx

1 еx 3

б)

cos2x

xdx

1,5

27.

а)

б)

x4 4

9 4x2

xdx

cosxdx

28.

а)

б)

1,5

sin x

29.

а) sin

б)

9 x2

а) x 2-x

б)

x2 4

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
06.06.20191.06 Mб13Аналітична геометрія_2011 Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю..pdf
#
06.06.2019936.32 Кб9Втуп до аналізу. Диференціалне числення функцій однієї та кідькох змінних-Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю.-2015.pdf
#
06.06.2019790.78 Кб14Втуп до аналізу. Похідна та її застосування. ТР 2006 рік.pdf
#
06.06.2019887.48 Кб16Диференціальні рівняння. Дреков В.М..pdf
#
06.06.2019553.63 Кб11Застосування Визначеного Інтегралу - Дреков В.М. - 2005.pdf
#
06.06.2019431.19 Кб5кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
06.06.20193.67 Mб60Лекции для ЗО.doc
#
06.06.20192.27 Mб56метод №2.doc
#
06.06.20193.76 Mб83Метод. ЗО 2 семестр.doc
#
06.06.20191.8 Mб13МЕТОД. ТРИГОН. УРАВН. и неравенства.doc