Добавил:

Volokhoff Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный морской университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Втуп до аналізу. Похідна та її застосування. ТР 2006 рік

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2019

Размер:

790.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

10. а)

11. а)

12. а)

13. а)

14. а)

15. а)

16. а)

17. а)

18. а)

19. а)

2x,

x 0,

x, 0 x 4,

f (x)

(4 - x) 1,

x 4;

2 x,

x 2,

0, -2 x 1,

f (x)

1/ x,

x 1;

1/(1 x), x 1,

(x 1)

1 x 0,

f (x)

x 0;

5x ,

x 0,

1 x

, 0

x 1,

f (x)

2x 3,

x 1;

x 2,

, -2 x 0,

f (x)

2 x

1 3x,

x 0;

3 x,

x 3,

, -3 x 1,

f (x)

x 2,

x 1;

(1 x)2 , x 1,

x, 1 x 4,

f (x)

4 / x,

x 4;

2x2 ,

x 0,

ln x, 0 x e,

f (x)

3 - x,

x e;

2 /(x 1),

x 1,

x 1, -1 x 3,

f (x)

x 3;

x3 ,

x 0,

2x, 0 x 2,

f (x)

(2 - x)

x 2;

б) f (x) x2 4x 4 x2 2x

б) f (x) 3x2 x 2 x2 2x 1

б) f (x) x2 3x 2 x2 x 2

б) f (x) x2 2x 3 x2 4x 3

б) f (x) x2 4x 3 x2 2x 3

б) f (x) x2 6x 5 x2 5x

б) f (x) x2 x 20 x2 2x 15

б) f (x) x2 8x 12 x2 6x 8

б) f (x) x2 x 30 x2 6x 5

б) f (x) x2 x 12 x2 9x 20

x 1,

20. а)

3x, -1 x 1,

f (x)

lg x,

x 1;

x 3,

21. а)

9 x

, -3 x 3,

f (x)

(x 3)

x 3;

1 x2 ,

x 1,

22. а)

3x, -1 x 1,

f (x)

x 1,

x 1;

x3 ,

x 1,

23. а)

1/ x, -1 x 0,

f (x)

x 0;

cos x,

x 0,

24. а)

, 0

x 2,

f (x)

1 x

2x 4,

x 2;

x 2,

25. а)

2 x, -2 x 0,

f (x)

x 0;

x 1,

26. а)

1 x

, -1 x 1,

f (x)

log2 x,

x 1;

(x 2)2 ,

x 2,

27. а)

3x, -2 x 0,

f (x)

1/ x,

x 0;

x 0,

28. а)

2x 1, 0 x 1,

f (x)

(x 2)

x 1;

x2 3,

x 0,

29. а)

1, 0 x 1,

f (x)

x 1;

б) f (x) x2 5x 4 x2 2x 8

б) f (x) 2x2 7x 5 x2 5x 4

б) f (x) x2 3x 2 x2 2x 1

б)	f (x)	x2 16
		x2 9x 20

б) f (x) x2 7x 12 x2 3x 4

б) f (x) x2 4x 4 x2 2x

б) f (x) x2 8x 12 x2 5x 6

б) f (x) x2 7x 12 x2 x 6

б) f (x) x2 3x 4 x2 2x 3

б) f (x) x2 3x 10 x2 x 2

ex ,

x 0,

x2 5x 4

б) f (x)

30. а)

f (x)

1 x

, 0

x 1,

ln x,

x 1;

Завдання 3. Знайти похідні

2 x

x 3

1. а)

y x3tgx

; б)

ex 2x cos3 4x ; в)

y ln arctg

3 1

ctg

2arcsin 5x ; в)

3 3 tg4

2. а)

y cos 2x 4 x3 sin x

; б)

ctg5 sin 2x

(1 x)2

y 3 x cos 2x

y lg(x2

4 x5 ) ; в)

3. а)

; б)

y arcsin e

(2x 4)4

y cos 23x x2 ln sin x ; б) y

ctg4x

210cos x ; в) y

4. а)

lg5 arccos 2x

5x)2

tg2

log5 e

5. а)

y 1 x2 arcsin x ln 3

x4 ;

б)

y tg(3x

cos3 x )

; в)

arctg 2x

ln 5

arcsin3

; в)

ln(1 cos4 3x)

6. а)

y x6log2 x

; б)

3ctgx x5

y 5

x)2

lg5x

7. а)

y (1 cos5x)2

;

б)

y ex x

sin

2 4x tg

; в)

y tgecos 2x

3 x

5 (2x 4)4

6 x

y arccos

ln x

x 3

8. а)

y x6 ln x

; б) y

8x x cos2 3x ; в)

cos 2

3 tgx

ctg3 5x

sin x

4 x

9. а)

y sin 2x

ln x ; б)

; в) y

3 tg

x tg

arcctg

(1 4x)2

7 4x

y sin ectg

2 x

10. а)

y x lg 2x

;

б)

y tg(x2

4 5x5 ) ; в)

1 2x

(2x 4)5

11. а)

y cos 3x x2 log

sin x ; б)

ctg4x

tg2 x ; в)

7 lg

5 arctg

(1 5x)2

sin x

tg2 x

; в) y

log5 2

12. а)

y 1 x2

cos

3 x4 ;

б)

y tg(2x

sin3 x )

arcctgex

x ln 5

sin3

; в)

3 sin(1 cos4 3x)

13. а)

y x5lgx

; б)

3tgx x2

(3 4x)2

14. а)

y (1 ctgx)2

;

б)

y ex sin2 3x ln

2x2

; в)

y tg3cos 2x

lg ctgx

3 x

2 x

5 (5x

4)4

15. а)

y x sin 2x

1 4x

;

б)

; в)

y arccos e

ctg2

cos5x )

(2x 7)3

16. а)

y tgx x2 lg sin 3x ; б)

arctg2 x ; в)

arccos

(2 5x)2

sin 8x

tg2 x

3 24x ; б)

; в) y

17. а)

ln x

y tg(x

ln3 x )

arctge6x

3 x

tg(1 cos4 3x)

18. а)

y x

cos x

; б)

sin x

; в) y

(1 x)2

ln 2

2x2

tgx

cos esin 3x ;

y lg32x

19. а)

y (1 4 x )2

б)

y sin2 ln

; в)

2 x

3 (2x 1)4

20. а)

y x6 sin x

; б)

y arcsin cos3 2x ; в)

y arctg5

ln x

3 1 x2

4 x

sin 5x

21. а)

y cos

; б)

; в) y

log3

sin 2x

(1 2x)5

y 3ln x x3 cos x

cos2

y (x2

4 x3 )4 ; в)

22. а)

б)

y sin e

(2x

4)2

ctg3x

tg2ecos x ; в)

7 lg5 arcsin

23. а)

tg4x x2 lnsin x ; б)

x2 1

arctg

24. а)

1 4x2

sin x ln x;

б)

y ln(x3

cos5

2x )

; в)

tg 4 2x

25. а)

y x

ctgx

; б) y

arcsin

; в)

cos

sin 3x

26. а)

y (1 2x)2

sin x

;

б)

y ex x3 ln 4x cos

; в)

y tg4 (ecos2x x3)

2 x

y x ln3

6 x

y arccos

ln x

27. а)

; б)

1 x sin2 3x ; в)

ln 4

3 tgx

cos5 2x

3 x

28. а)

y e

sin 2x 4ln x ; б) y

ln x

;

в) y 9 tg

sin

(1 4x)2

ctg2

29. а)

y (1 x lg 2x)3

; б) y tg(x2 earctg 4x ) ; в)

y sin 5

(2x 4)5

sin 3x

; в) y 2x

30. а)

sin

x ; б)

7 tg

arcsin

1 4x

Завдання 4. Знайти похідні другого порядку

d 2 y

dx2

1. а)

y (x2

1)ln x ;

б) x et cost,

y et sin t;

3. а) y (x2 4)ln 2x

;

x cos 2t,

б)

y sin

5. а)

ln x

; б)

x 1/ t2 ,

y 1/(t2 1);

7. а)

y (x2

4)2 x ;

б) x t sin t,

y 2 cost;

x cos3 t,

9. а) y ln 1 x2 ;

б)

y 2sin3 t;

11. а)

y ex / 2 sin 2x ;

б) x cos3 2t,

y sin2 t;

13. а)

ln(x 3)

;

б)

x 1/(t2

4),

x 3

y (t2 4)3;

15. а)

y (3x 4)5 2x ;

б) x t sin 2t,

y 2 cost;

17. а)

y x2ctg2x ;

б) x cost t sin t,

y sin t t cost;

2. а) y esin 2x

x arctgt,

; б)

ln(1 t

);

4. а) y etgx ;

x arcctgt,

б)

);

y lg(1

x arccost,

6. а) y sin3 2x ;

б)

1 t2 ;

8. а) y x cos x2 ;

x arctgt,

б)

(1 t

) / 2;

10. а) y (5 x3 )4

;

б) y

x lg(2t 1),

y 102t 1;

12. а) y earctgx ;	б)		x ln(t2			1),
12. а) y earctgx ;	б)	y
			y 1/(1 t2 );
				x ln(1 t),
14. а) y cos3 (x / 3)	;	б)	y
14. а) y cos3 (x / 3)	;	б)	y	y	1 t 2 ;
				y	1 t 2 ;

16. а) y cos4 5x ; б)		x 1 arctgt,
	y			2	);
		y 1/(1 t
18. а) y (1 x)e5x 8 ;	б)		x sin2 t,
		y
		y 1/ cos2 t;

ln(3x 1)

x (t

3 x

x t /

1 t ,

20. а) y sin

19. а)

; б)

3x 1

y (t2 1)3

y 1 t ;

21. а)

y x2 / e4x ;

б)

x t3 / 3,

22. а) y cos(x2

; б)

x ln(t2 1),

y 4 ln 2t;

y (1 t4 ) / 4;

x 2cos3 2t,

x tg2t,

23. а)

1 x2 ;

б)

24. а) y (x 2x3 )4 ;

б)

y sin3 2t;

ln sin 2t;

25. а)	y ex / 2 ln 4x ;					б) x cos2 2t,
						y sin2 2t;
27. а)	y	ln(4x 1)			;	б) x sin t,

		4x 1				y ln cost;
29. а)	y arctg 2		x	;		б) x 1 sin 2t,

	2					y 2 cos 2t;

26.а) y e1 arctg 2x ;

28.а) y sin3 (x / 2) ;

30.а) y ctg3 2x ; б)

		x ln(t2 1),
б)	y
		y (1 t2 )3;
			x (1 t)2 ,
б)	y
		y (1 t)4 / 4;
			4t
		x	1 e ,
y		x	1 e ,

4t 2

y (e 1) .

Завдання 5. Обчислити наближено за допомогою диференціалу.

1.	tg 46	2.
5.	3ln1,08 1	6.

		e0,952 1
sin 85	3.	e0,952 1	4.	5 34
cos 3	7.	ctg42	8.	arctg1, 02

		2,0372		3		1					1
9.					10.		11.		e1 1,043	12.
	2,0372			5
					4 18							4 3 0,075

							15. ln3 0,97				1 0,963
13. arcctg0,95					14. 3 130					16.

17. ln(1 0,053 )					18. 2 3 1,032		19.	3 1,025		20. arcsin 0, 48

			2 1,984
21.	5				22. ln(10 3,032 )		23. 2 tg 4 42			24.	8 1,053

		1,983 7
					26. ln(3,962 15)					28. ctg3 42
25. arctg0,98							27.		2 cos2 5
29.		cos 3			30. e8 1,953

Завдання 6. Скласти рівняння дотичної та нормалі до графіка функції

y f (x) в точці з абсцисою						x x0 .
							y 0,5x2 4
1.	y 3x 4			x 1,	x 1	2.	y 0,5x2 4				2x 1, x			4
					0								0
	y (2 x)3 1/
3.	y (2 x)3 1/				x 1, x 1	4. y 8 x 33 2x 3, x 4
					0								0
	y (x 4)3 2x 2x, x 4
5.	y (x 4)3 2x 2x, x 4					6. y (3 2x)2 3 x 4, x 1
					0									0

7.	y 1/ x2 9 /16, x 1,25					8.	y ln2 x 5,			x			e
					0					0

9.	y	1 2x	,	x 1/ 4		10.	y	2 5 x				,	x 1
9.	y		,	x 1/ 4		10.	y					,	x 1
	1 4x			0					2x 1				0
	1 4x								2x 1


11.	y tg 2 2x 2ctg4x,								x	/ 8			12. y				x2		1 3x 2,									x		0
									0																			0
	y (x 1)210x 3x 2, x
13.	y (x 1)210x 3x 2, x											1	14. y 3 x xln x,												x		1
										0															0
	y (2 3x)4												16. y 0,25x2
15.	y (2 3x)4					1/		x 8,			x 1		16. y 0,25x2										2x 3,					x			2
												0																0

17.	y x /		x2 16,				x		5				18.	y sin2					x 2cos2 x,									x	/ 4
							0																					0
		(x 1)3
19.	y	(x 1)3				x 2							20.	y	2				15 x					,	x		1
					,
					,
		9	4x			0												7x 1							0
		9	4x															7x 1
	y ctg 2 2x cos 4x,

21.									x	/ 8			22. y			3				x 1,					x	0
									0																0
	y (x 2)2 5x 2x 1, x
23.	y (x 2)2 5x 2x 1, x										2		24. y		3x 1 x2 ln x,													x	1
										0																		0
	y (2 x)3 3/
25.	y (2 x)3 3/						9x 8,					x 1	26. y (4/ x)									2x 3,						x	2
												0																0

27.	y 2x /			x2 9,			x		5				28.	y 4sin2 x cos2 2x,														x			/ 4
							0																					0
		(2x 1)3
29.	y	(2x 1)3				, x	1						30.	y		5 x				,	x 4
29.	y					, x	1						30.	y						,	x 4
		1 x				0									7x 1						0
		1 x													7x 1

Завдання 7. Знайти найбільше та найменше значення функції на

відрізку.

y x2

16, x [1;4]

y 4 x

, x [1;4]

4x2 4

, x [1;4]

, x [ 3;0]

x 16

1, x [2;9]

y 2x 5

, x [ 2;1]

x 1

10(x 1)

, x [ 1;2]

y x 4

x 2

8, x [ 1;7]

x2 2x

y x

3, x [ 1;2]

10. y

, x [0;4]

(x 2)2

x2 4

11. y

x2 4x 20

, x [ 1;6]

12.

3x 15

, x [ 3;2]

x 2

x2 16

13. y 5 x 4

x, x [1;9]

14. y 2

x 1 x, x [0;4]

16. y

20(x 5)

, x [ 2;1]

15. y x 2 x 1 2, x [1;5]

x2 9

17.

10x 20

, x [ 2;1]

18.

4x 4

, x [ 5;3]

x2 4x

19.

y 5 x

, x [2;5]

20.

7(x 5)

, x [ 1;3]

1)2

x2 16

21.

x2 6x 25

, x [4;8]

22.

5x 25

, x [ 1;2]

x 3

24. y 2

25 x2

x 5, x [ 3;4]

23.

y 2 x 2

x 1, x [1;5]

25.

10x

, x [0;3]

26.

2x(2x 3) , x [ 2;1]

1 x2

x2 4x 5

2x2 6

(x 1)2

27.

, x [ 5;1]

28.

2x, x [ 1;2]

x2 2x

x 3

29.

y 6 x

, x [ 2;4]

30. y x2 2x

13, x [2;5]

4)2

Завдання 8. Провести повне дослідження функцій та побудувати їх

графіки.

Зразок рішення. Провести полное исследование функции y

x2 3

x 2

а) Область определения D( f ) : x 2 0,					x 2.
Определим характер разрыва.
lim		x2 3		,

x 2 0		x 2
lim	x2	3	.
	x	2
x 2 0

Т.о. в точке x 2 - разрыв 2-го рода.

И x 2 - уравнение вертикальной асимптоты.

б) Установим, является ли указанная функция четной или нечетной

Теоретическая часть: Определение четной функции : f ( x) f (x) - тогда график

функции симметричен относительно оси OY . И достаточно построить его для значений x 0; , а затем симметрично отобразить на другую часть координатной плоскости.

Определение нечетной функции : f ( x) f (x) - тогда график

функции симметричен относительно начала координат. И так же как и выше, достаточно построить его для значений x 0; , а затем симметрично отобразить на другую часть координатной плоскости.

f ( x)	x 2	3	x2	3	f (x) - функция не является четной.
	x 2		x	2

f (x)

x 2 3

f (x) - функция не является нечетной.

x 2

в) Точки пересечения с осями:

x 2

- с осью OX :

A(x

;0) 0

x 2

3; x

3 .

x 2

Таким образом точек пересечения с осью OX - две:

A1 ( 3;0) и A2 (

3;0) .

- с осью OY :

B(0; y

) y

0 3

0 2

Таким образом точка пересечения с осью OY : B(0;

) .

в) Найдем асимптоты функции

1) Вертикальные: уже найдены те значения x , при которых значение функции

стремиться к бесконечности.

x 2- вертикальная асимптота.

2) Невертикальные: уравнение невертикальной асимптоты имеет вид y kx b .

f (x)

3 1

k lim

lim

b lim f (x) kx lim

lim

3 x2 2x

lim

2x 3

x 2

x x 2

lim

2 .

x 1

y x 2 - уравнение невертикальной асимптоты.

Ее график построим по двум точкам

-2

Отобразим асимптоты в координатной плоскости

-2

г) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции. Вычислим производную функции:

3 '

2x(x 2) (x2

3) 1

2x2

4x x2 3

4x 3

2)2

(x 2)2

y ' не существует в точках, которые не входят в область определения функции . y' 0 , когда x2 4x 3 0

Отсюда x1 3 и x2 1

Отобразим найденные критические точки и точки разрыва на числовой прямой и построим схему: (в указанных промежутках определим знак производной y ' ).

Т.о. функция			f (x) возрастает при x ;1 (3; )
Функция		f (x) убывает при x 1;2 2;3
xmin	3 ,	ymin	6 : M1 (3;6) - точка минимума
xmax	1,	ymax	2 : M 2 (1;2) - точка максимума.

д) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции. Для этого найдем y'' .

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
06.06.20191.06 Mб13Аналітична геометрія_2011 Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю..pdf
#
06.06.2019936.32 Кб9Втуп до аналізу. Диференціалне числення функцій однієї та кідькох змінних-Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю.-2015.pdf
#
06.06.2019790.78 Кб14Втуп до аналізу. Похідна та її застосування. ТР 2006 рік.pdf
#
06.06.2019887.48 Кб16Диференціальні рівняння. Дреков В.М..pdf
#
06.06.2019553.63 Кб11Застосування Визначеного Інтегралу - Дреков В.М. - 2005.pdf
#
06.06.2019431.19 Кб5кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
06.06.20193.67 Mб60Лекции для ЗО.doc
#
06.06.20192.27 Mб57метод №2.doc