Добавил:

Volokhoff Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный морской университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Втуп до аналізу. Диференціалне числення функцій однієї та кідькох змінних-Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю.-2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2019

Размер:

936.32 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Г.В. СОКОЛОВСЬКА С.Ю. СОКОЛОВСЬКИЙ

Вступ до аналізу. Диференціальне числення функцій однієї та кількох змінних.

Методичні вказівки до проведення практичних занять

Одеса-2015

Методичні вказівки розроблено старшими викладачами кафедри «Вища та прикладна математика» Соколовською Галиною Володимирівною та Соколовським Сергієм Юрійовичем.

Методичні вказівки схвалено кафедрою «Вища та прикладна математика» ОНМУ 11 лютого 2015р. (протокол №8).

Рецензенти: доктор фіз.-мат. наук, професор І.Л.Андронов; кандидат фіз.-мат. наук, доцент Ю.О.Григор’єв.

Вступ Даний навчальний посібник є збірником задач, який може бути викорис-

таний студентами всіх спеціальностей при вивченні курсу ”Вступ до аналізу. Диференціальне числення функцій однієї та кількох змінних ”. Він містить як задачі з докладним розв’язанням, так і задачі для самостійного розв’язування. При розгляді деяких задач коротко наведено теоретичні факти та формули, для обґрунтованого розв’язування решти задач слід звернутись до підручників, конспекту лекцій та навчальних посібників, виданих в ОНМУ.

Тема 1. Границя числової послідовності

Завдання 1.1 Довести, що lim

3n 2

n 2n 1

Розв’язання

Наведемо означення границі числової послідовності. Число a називаєть-

ся границею числової послідовності a

, якщо для будь-якого (як завгод-

но малого) числа 0

n 1

існує такий номер N ( N залежить від ), що для

всіх членів послідовності з номерами n N , виконано нерівність

an a

Скористаємось цим означенням.

Задамо 0 і знайдемо такий номер

N , що для всіх номерів n N

виконано нерівність

3n 2

1. 1

2n 1

6n 4 6n 3

1 2

Перепишемо її у вигляді

або

Тоді

2 2n 1

4n 2

1 2

Отже,

обравши

(ціла частина числа

), матимемо: для

всіх номерів n N

виконується нерівність 1. 1 .

lim

n 1 3 n3

Завдання 1.2 Обчислити границі послідовностей: 1)

;

n 7n2

lim

3 n2 n 1

2) lim

; 3)

n2 3n

n 3

Розв’язання

1) Приведемо многочлен в чисельнику до стандартного виду.

n 1 3 n3

n3 3n2 3n 1 n3

3n2 3n 1

lim

Розділимо чи-

7n2 2n 4

n 7n2 2n 4

n 7n2 2n

сельник і знаменник на найстарший степінь знаменника n2 . Скориставшись

теоремами про арифметичні дії над послідовностями, що мають границі, і

тим фактом, що lim						1				0			при			p 0 , одержимо:
тим фактом, що lim										0			при			p 0 , одержимо:
		n n p
											3		1
	3n2 3n 1						3
lim	3n2 3n 1	lim					3					n			n2				3		.
lim		lim																			.
n 7n2 2n 4				n							2 4								7
							7
							7					n			n2
	2) Розділимо чисельник і знаменник на найстарший степінь знаменника

3																3	1						1			1
			n	2	n			1									1						1			1

																	n						n	2		n	3
												lim												2			3
n . Маємо lim																													. Далі по аналогії з попереднім
n . Маємо lim				n 3																					3				. Далі по аналогії з попереднім
	n			n 3									n								1				3
																					1				n

											3			1		1						1
прикладом одержимо:											3			n n2						n3						0		0 .
									lim					n n2						n3						0
									lim							3										1
								n								3										1
													1
													1					n

3) Помножимо і розділимо вираз, що стоїть під знаком границі на спря-

жений вираз доповнивши його до різниці квадратів. Далі застосовуємо той самий метод, що у попередніх прикладах.

lim

n2 3n

3n n2

lim

n2 3n n2 6

3n 6

lim

3n n

lim

1,5 .

Завдання для самостійного розв’язування

Завдання 1.3 Довести за означенням границі числової послідовності, що

lim

1 2n

; 2)

lim

3n2 2

n n

n 4n2 n

Завдання 1.4 Обчислити границі послідовностей

lim

3n3 2n 7

; 2) lim

2n2 5

2n 5 2n2

; 3)

lim

;

n 4 7n2 8n3

n 3n2

3n2

n2 2n 1 2

3n 1 3 7n2

lim

; 5)

lim

; 6)

lim

4 n5

2 3 n2 1

;

n n2 2n 1 2

n 9n 4 6 n n2

n3 1

3n 2

n 2

3 n 3

3n n

lim

; 8)

lim

; 9)

lim

n 8 3

8n4 n

Тема 2. Границя та неперервність функції в точці

Завдання 2.1 Довести за означенням границі функції, що lim	x2 4	2 .
Завдання 2.1 Довести за означенням границі функції, що lim	2x 4	2 .
x2	2x 4
Розв’язання

Наведемо означення границі функції в точці. Число A називається границею функції f x в точці x0 , якщо функція визначена в деякому околі цієї точки (крім, можливо, самої точки x0 ) і для будь-якого числа 0 існує таке

число 0 (

залежить від ),

що для всіх значень

x ,

які задовольняють

нерівність 0

x x0

, виконано:

f x A

Задамо як завгодно мале додатне число

і знайдемо таке , що при

всіх x , що задовольняють нерівність 0

x 2

, виконано:

x2 4

2.1

2x 4

Виконаємо

перетворення

останньої

нерівності

x2 4

x2 4 4x 8

x 2 2

x 2

2 .

Таким чи-

2x 4

x 2

ном,

обравши 2 ,

одержимо: при всіх

x , що задовольняють умову

x 2

, виконано нерівність 2.1 . Граничну рівність доведено.

Завдання 2.2 Довести за означенням, що функція

f x 3x2

2 непере-

рвна в точці x0 1.

Розв’язання

x0 . Функція f x на-

Наведемо означення функції неперервної в точці

зивається неперервною в точці x0 , якщо

1) вона визначена в цій точці і деякому її околі;

2) границя функції

f x в точці x0

збігається з її значенням в цій точці:

lim

f x f x0 .

x x0

Обчислимо

f 1 3 12 2 5

і доведемо, що

lim

3x2

2 5 .

Задамо

вимагатимемо

виконання

нерівності

3x2 2 5

або

x 1

(оскі-

. Як бачимо,

вона є справедливою при

x 1

льки

x 1 1, адже розглядається достатньо малий окіл точки

x0 1). Отже

знайдено таке число

, що для всіх

x , які задовольняють нерівність

x 1

, виконується:

f x f 1

. Неперервність функції в точці x0

доведено.

Завдання 2.3 Обчислити границі 1)

lim

6x2

3x 7

;

3x2 4

x 3x2 5 x2

lim

2) lim

: 3)

9x4 5x 4 3x2

x 2 3 x3

Розв’язання

Можна

скористатись

означенням

границі

функції

при

( lim f

x lim f

) і теоремами про арифметичні дії над функціями,

що

t 0

6x2 3x 7

lim

6 3t 7t2

мають

границі

lim

2 .

На

3x2 4

t 0

3 4t2

практиці ж зазвичай не виконують явно заміну

а ділять чисельник і

знаменник

на

найстарший

степінь

знаменника

lim

6x2 3x 7

3x2

lim

2 .

Наступні два приклади розв’язуються аналогічно.

x 3x

5 x

5x x

2) lim

lim

x 2 3 x3

x3 6x2 12x 8 x3

6x2 12x 8

3x 1

lim

3x2 lim

3x2

9x4 5x 4

9x4

5x 4

lim

9x4 5x 4

5x 4

9x4 5x 4 9x4

lim

0 .

5x 4 3x

9 3

Завдання 2.4 Обчислити границі 1) lim

5x2 x 6

;

x2 1

x3 5x2 8x 4

lim

; 3) lim

x 13 4

x4 8x2 16

6 2x

Розв’язання

Функція f x

5x2 x 6

не визначена в точці

x 1. Чисельник і

x2 1

знаменник дробу в цій точці дорівнюють нулю. Отже має місце невизначе-

ність

. Розкладемо чисельник і знаменник на множники. Знаменник – за

формулою різниці

квадратів,

чисельник

–

за

формулою:

ax2 bx c a x x

x x

, де x ,

корені

квадратного рівняння

ax2 bx c 0 .

Маємо x2 1 x 1 x 1 , 5x2

x 6 5 x 1 x

x 1 5x 6 .

x 1 5x 6

Тоді можна скоротити дріб

на x 1

в будь – якому околі то-

x 1 x 1

чки x 1 (крім самої цієї точки).

x 1 5x 6 lim

Одержимо: lim

5x2 x 6

lim

5x 6

5,5 .

x 1

x 1 x 1

2) Для розкриття невизначеності виду

в цьому прикладі також розкла-

демо чисельник і знаменник на множники. Знаменник розкладемо за формулами скороченого множення: x4 8x2 16 x2 4 2 x 2 2 x 2 2 . Зна-

ючи, що в розкладанні чисельника обов’язково присутній множник x 2 ,

другий множник знайдемо за допомогою ділення x3 5x2 8x 4		на x 2 .
Маємо:
x3 5x2 8x 4	x 2
x3 5x2 8x 4	x 2
x3 2x2
x3 2x2	x2 3x 2

3x2 8x 4

3x2 6x

2x 4

8x 4

x 2 x

x 2

x 1

Тоді lim

lim

x 2 2 x 2 2

x4 8x2 16

lim

x 1

x 2 2

3) Тут невизначеність виду

також розкривається скороченням дробу

x 3 ,

на

але спочатку

звільнимось

від

ірраціональності в чисельнику.

x 13

lim

x 13 4

lim

x 13 16

6 2x

x 13

x3 6

x 13

lim

x 3

lim

2 x 3

x 13

Завдання 2.5 Обчислити границі 1)

lim

arcsin 3x

; 2) lim

1 cos10x

;

x 0

x2 5x

x 0 1 cos2 3x

3) lim

e3x 1

; 4) lim

sin x 1

ln 1

22 x 2

Розв’язання У цих прикладах застосовується принцип заміни нескінченно малих фу-

нкцій на еквівалентні та деякі тригонометричні формули.

1) arcsin3x ~ 3x, x 0 . Тому lim

arcsin 3x

lim

x0 x2 5x

x0 x x 5

x0 x 5 5

2) 1 cos10x 2sin2 5x, 1 cos2 3x sin2 3x . sin3x ~ 3x, sin 5x ~ 5x,

x 0 . От-

же lim

cos10x

lim

2sin2 5x

lim

2 5x 2

lim

50x2

x0 1

cos2 3x

x0 sin2 3x

3x 2

x0 9x2

3) e3x 1 ~ 3x, ln 1 3x ~ 3x, x 0 . Тоді lim

e3x 1

lim

0 ln 1 3x

x0 3x

cos x cos

2sin

sin

lim

28x 2

2 e 8x ln 2 1

8x ln 2

sin

При розв’язуванні цього приклада було застосовано формули

2 3 ln 2

loga b

b , cos cos 2sin

sin

, а також еквівалентність функ-

x .

цій: sin

, e 8x ln 2 1 ~ 8x ln 2 при

Завдання 2.6 Обчислити границі

3x 1 2x2 1

5x 7

2x 1

5 2x

x2 4

lim

; 2) lim

; 3)

lim

x 2

x 2x 3

Розв’язання

2x2 1

3x 1

lim

lim 32 x

1 .

x x 2

1 x

В інших прикладах маємо невизначеність виду 1 , яку розкриємо за до-

помогою другої визначної границі lim 1

e .

2x3

5x7

2x 1

5x7

2x 1

5x7

2x3

lim

lim 1

lim

2x 3

x 2x 3

20x 28

e 10 ,оскільки lim

20x 28 lim

20 x

lim e 2x3

2x 3

6 x 2

3 4 2 x

lim 1 4 2x 4 2 x

x2 4

5 2x x2 4

lim e x 2 x 2

lim e x 2 e

3) lim

Завдання для самостійного розв’язування

Завдання 2.7 Обчислити границі

lim

x2 3x 5

; 2) lim

3x 1 2 9x2

; 3) lim

x5 1

;

4 2x 3x2

5x2 2x

4 5x2

x 1 x 2

2x 1

3x 1

lim

; 5)

lim

x ; 6)

lim

;

4 5x

4 x4 3 5 x4 4

4x2

7 x 4x2

lim

; 8)

lim

3x 2

;

lim

x x 5 ; 10)

lim

3 x

Завдання 2.8 Обчислити границі

lim

5x 1

; 2) lim

x2 3x 4

; 3)

lim

3x2 x 10

; 4)

lim

;

x2 4x

2 x x2

3x 14

x1 x2 1

x2 2x2

x3 5x2 7x 11

3x 3

lim

; 6) lim

; 7)

lim

5x 1 3x 7

;

2x4 3x 1

9 x2

x 3

x2 x

lim

1 3x x 1

; 9) lim

x 5x 4

; 10)

lim

5x 5

7 x 2

x2 8

7x 2

Завдання 2.9 Обчислити границі

lim arcsin5x ctg7x ; 2)

lim

sin 2x tgx

;

3) lim

1 cos 4x

;

4) lim

cos x cos3x

x0 arctg2 3x

x sin5x

tg2 5x

lim

1 cos x

; 6)

lim

; 7) lim

; 8)

lim

tgx tg3x

;

x0 ln 1 2x2

sin x

tgx

x0 arcsin 6x

e3x ex

9) lim

x e

; 10) lim

1 sin x

;

11) lim

ln x ln

; 12)

lim

x ln x a ln x

x e ln x 1

cos

Завдання 2.10 Обчислити границі

;

	3x 2 4 x7	; 2) lim	2 5x
1) lim

x	3x 1	x0	2 3x

x1			x 2	5x1

x		lim
	; 3)				;
			3x 1
		x

				x2
4) lim	1 sin 2x ctg3x	; 5) lim	3x 8 3 x .
x0		x3

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
06.06.20191.06 Mб13Аналітична геометрія_2011 Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю..pdf
#
06.06.2019936.32 Кб9Втуп до аналізу. Диференціалне числення функцій однієї та кідькох змінних-Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю.-2015.pdf
#
06.06.2019790.78 Кб14Втуп до аналізу. Похідна та її застосування. ТР 2006 рік.pdf
#
06.06.2019887.48 Кб16Диференціальні рівняння. Дреков В.М..pdf
#
06.06.2019553.63 Кб11Застосування Визначеного Інтегралу - Дреков В.М. - 2005.pdf
#
06.06.2019431.19 Кб5кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
06.06.20193.67 Mб60Лекции для ЗО.doc