
- •Глава 2. Электрические цепи однофазного синусоидального тока.
- •2.1. Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины.
- •2.2. Среднее и действующее значение синусоидальных тока и эдс.
- •2.3. Сложение синусоидальных функций времени. Векторные диаграммы. Основы символического метода расчета.
- •2.4. Пассивные элементы электрической цепи.
- •2.5. Резистивный элемент.
- •2.9 Параллельные соединения элементов r, l, c.
- •2.9.1. Мощность в цепи синусоидального тока. Комплексная мощность.
- •2.10. Законы Кирхгофа и уравнение энергетического баланса в комплексной форме.
- •2.11. Резонанс в цепях синусоидального тока.
- •2.11.1. Резонанс напряжений.
- •2.11.2. Резонанс токов.
- •2.12. Резонанс напряжений и токов в разветвленных цепях.
2.10. Законы Кирхгофа и уравнение энергетического баланса в комплексной форме.
Первый закон Кирхгофа:
Второй закон Кирхгофа:
Уравнение энергетического баланса:
.
.
.
2.11. Резонанс в цепях синусоидального тока.
Реактивные
сопротивления и проводимость являются
частотно-зависимыми величинами.
Следовательно, при последовательном
или параллельном соединении элементов
L
и C
возможна на какой-то частоте полная
компенсация реактивных сопротивлений
или проводимостей. Режим, при котором
наступает компенсация, называют
резонансом. При резонансе входное
сопротивление цепи становится активным,
входное напряжение совпадает по фазе
с входным током, а полная мощность будет
активной. Угловая частота,
,
при которой наступает резонанс, называется
резонансной или собственной угловой
частотой цепи. Различают две разновидности
резонанса: резонанс напряжений и резонанс
токов.
2.11.1. Резонанс напряжений.
Может возникнуть в цепи с последовательным соединением L и C, рис. 2.20а.
Для
этой цепи запишем:
.
Условие резонанса:
или
,
откуда
резонансная частота
.
Настройку цепи в резонанс, изменение параметров цепи при частотах , отличных от резонансной можно увидеть, если построить частотные характеристики сопротивлений, тока в цепи и напряжений на r, L, C.
На
рис. 2.20б,в,г приведены частотные
характеристики реактивных сопротивлений
и
,
суммарного реактивного сопротивления
,
модуля полного сопротивления
,
модуля входного тока
,
а также амплитудно-частотные характеристики
напряжений:
,
,
.
По
графику
определена резонансная частота
,
по графику
можно увидеть, что сопротивление цепи
при резонансе минимально и равно
активному сопротивлению, по графику
- что ток в цепи при резонансе максимален.
Графики
,
,
имеют ярко выраженный избирательный
характер, т.е. имеют максимальные значения
на резонансной частоте или вблизи нее.
Можно также отметить, что напряжения
и
при резонансе могут превышать значение
входного напряжения. Это хорошо
иллюстрируется с помощью векторных
диаграмм напряжения приведенных на
рис. 2.20д,е,ж при частотах
,
и
.Обратите
также внимание на значения угла
на этих частотах и сопоставьте эти
значения с характером реактивных
сопротивлений на соответствующих
частотах. Так при частотах
,
реактивное сопротивление носит емкостной
характер и
и
т.д.
2.11.2. Резонанс токов.
Возможен в цепях с параллельным соединением L и C элементов, рис. 2.21а.
Для
этой цепи запишем уравнение по первому
закону Кирхгофа:
Компенсация реактивных проводимостей и реактивных токов:
,
произойдет
на резонансной частоте
Для
анализа явления резонанса токов построим
частотные характеристики реактивных
проводимостей рис.2.21б, модуля полной
проводимости
,
рис.2.21в, модуля полного тока
,
рис. 2.21г. Здесь отмечена резонансная
частота, полная проводимость цепи при
резонансе минимальна и полный ток
минимален. Векторные диаграммы токов,
построенные для частот
,
,
,
рис. 2.21д,е,ж, позволяют убедиться, что
токи в катушке и конденсаторе могут
значительно превышать полный ток.
2.12. Резонанс напряжений и токов в разветвленных цепях.
Мы рассмотрели резонанс в последовательном и параллельном контурах с идеальными элементами L и C. Рассмотрим другие более сложные примеры. Для цепи рис. 2.22 запишем условие резонанса, определим резонансную частоту и ток в цепи.
Входные сопротивления цепи:
Выделим действительные и мнимые части сопротивлений:
Компенсация
реактивных сопротивлений произойдет
на частоте
:
Входное сопротивление при резонансе минимально и равно:
Входной
ток при резонансе максимален и равен
Для цепи, приведенной на рис. 2.23, возможен резонанс токов. Запишем входную проводимость цепи
Выделим действительные и мнимые части проводимостей:
Условие резонанса:
Входной ток:
В разветвленных цепях с L и C возможны несколько резонансов. Так в цепи рис. 2.24 возможны и резонанс токов в ветвях L , C и резонанс напряжений для всей цепи.
Пример.
Цепь,
рис 2.25 настроена в резонанс. Определить
и
,
если задано:
,
,
,
.
Решение:
Входное сопротивление цепи равно:
Условие резонанса напряжений:
Решая
квадратное уравнение относительно
,
получим
Ток при резонансе равен: