04 семестр / Книги и методические указания / Архив методичек / shred2
.pdf
|
|
|
r |
= |
4πε 0 !2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
m0 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для полученных значений <U> и <EK> действительно имеет место равенство |
||||||||
U + |
EK = − |
e2 |
|
!2 |
m0 e4 |
|
E1 . |
|
4πε |
+ |
|
= − |
= |
!2 |
|||
|
|
0 r1 |
|
2m0 r12 |
32π ε 2 02 |
|
||
Задача 6. Определите возможные результаты измерений квадрата модуля момента импульса L2 и его проекции Lz на выделенное направление для частицы, находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией
Ψ (θ ,ϕ ) = A sinθ cosϕ , |
(3.6) |
где θ - полярный угол; ϕ - азимутальный угол; А - некоторая нормировочная постоянная.
Решение. В сферической системе координат уравнение Шредингера допускает разделение переменных. В этом случае оказывается возможным исследовать зависимость волновой функции от угловых переменных, отвлекаясь от ее зависимости от радиальной переменной. Именно такой случай рассматривается в этой задаче.
Условие нормировки для волновой функции Ψ (θ ,ϕ ) имеет вид
|
|
|
2∫π |
π∫Ψ *θ( ϕ |
,Ψ |
|
θ) ϕ |
( |
|
|
, θ |
)θsinϕ |
d |
d |
|
|
= 1. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя в эту формулу волновую функцию вида (3.6), получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A2 |
2∫π |
cos2 ϕ |
|
|
dϕ |
|
|
π∫ sinθ3 θ d |
|
|
= |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
∫ cos2 ϕ dϕ |
|
=π |
|
|
|
, |
|
|
|
a∫ sinθ 3θ |
d |
= |
|
, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
для константы А получаем A = |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя формулу Эйлера, представим cosϕ |
в комплексной форме: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ |
= |
|
|
|
|
1 |
( e iϕ + |
|
e − ϕi |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда нормированную волновую функцию |
(3.6) |
|
|
можно |
записать в виде |
||||||||||||||||||||||||||||||||
разложения в ряд по собственным функциям (2.12) оператора |
ˆ2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
iϕ |
|
|
|
1 |
|
− ϕi |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
ϕ i |
||||||
Ψ |
(θ ϕ,ϕ |
) = |
|
|
|
sinθ |
θ |
|
|
|
|
e |
|
+ |
|
|
e |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinθ θ |
e+ |
||||||
|
4π |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
8π |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ |
1 |
|
3 |
|
sinθ e− iϕ |
= |
|
1 |
|
|
|
Y |
|
(θ |
ϕ, |
+) |
|
|
1 |
|
Y |
|
θ (ϕ |
, |
). |
|
|||||||||||
2 |
|
8π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,+ 1 |
|
|
|
|
|
|
2 1−, 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Поскольку в этом разложении присутствуют только собственные функции
оператора ˆ2 , отвечающие значениям l=1, с учетом (2.11) это означает, что
L
результатом измерения квадрата момента импульса всегда будет одно и то же
значение L2 = 2!2 . Для модуля момента в результате измерения получим L = 2! . Однако два слагаемых в найденном разложении отличаются значениями m= +1 и m= − 1. Следовательно, при измерении проекции момента импульса частицы, находящейся в рассматриваемом квантовом состоянии, будут реализовываться два значения
Lz = + ! и Lz = − !.
Эти значения при измерениях будут получаться с вероятностями, которые
определяются |
квадратами модулей |
коэффициентов С1 и С2; |
в |
разложении |
|||||
волновой функции в ряд по собственным функциям оператора |
ˆ2 |
. Так как в |
|||||||
L |
|||||||||
нашем случае |
С1 = С2= |
1 |
, эти вероятности одинаковы и равны |
|
|
||||
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
P( + ! )= |
и P( − ! )= |
. |
|
|
||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Среднее значение результатов измерения Lz при этом будет равно нулю, так как
Lz = P(+ ! )!+ P(− |
!−)( =! ) − |
1 |
! |
= |
1 |
! 0. |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
Этот результат можно получить и формальным вычислением по формуле (1.5). Действительно,
|
|
|
|
|
ˆ |
|
i! |
∂ Ψ |
|
i!A sinθ |
|
|
|
|
поэтому |
|
|
|
|
LzΨ |
= − |
∂ ϕ |
= |
sinϕ , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
π |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Lz = |
∫ ∫Ψ |
* |
θ( |
|
ϕ ( |
, |
θ)} θsinϕ d |
d = |
|
|
||||
|
ϕ , ){Ψ Lθz |
|
|
|||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= i!A2 |
2∫π |
π∫ sin3 θ sinϕ |
cosϕ |
dθ |
dϕ |
= |
i!A2π |
∫ sin3 θ |
dθ |
π2∫ sin 2ϕ dϕ . |
||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
0 |
Второй интеграл в полученном соотношении |
равен |
нулю, следовательно, и |
||||||||||||
<Lz>=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 7. Покажите, что операторы проекций момента импульса связаны
коммутационным соотношением |
ˆ ˆ |
|
|
ˆ |
(3.7) |
|
|
|
|||
[ Lx , Ly ] = |
i!Lz . |
|
|||
Решение. Коммутатор операторов |
ˆ |
ˆ |
имеет вид |
||
Lx и |
Ly |
||||
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
[ Lx , Ly ] = |
Lx Ly− |
Ly Lz . |
|||
С учетом явного вида операторов (2.5) имеем
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
|||||||
[ Lx , Ly |
] = − |
! |
|
|
|
|
y |
|
|
− |
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
− |
|
x |
|
− |
|
|
|
z |
− |
|
|
x |
|
|
|
|
y− |
|
|
z |
= |
|
||||||||||||||
|
|
∂ |
|
∂ |
y |
|
|
|
∂ |
x |
∂ |
|
|
z∂ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
∂ |
|
x |
∂ |
z |
|
|
|
|
z |
∂ |
|
|
y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
2 |
|
|
|
2 ∂ |
2 |
|
|
|
∂ |
|
|
2 |
|
|
∂ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
= − |
! |
|
|
|
y |
|
∂ |
|
+ |
|
yz |
|
|
|
|
|
− |
|
|
yx |
|
− |
|
|
|
|
z |
|
|
+ |
|
|
|
zx |
|
− |
|
|
zy |
+ |
x z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
∂ ∂z x |
|
|
∂ |
|
z 2 |
|
|
∂ ∂ |
y x |
|
∂ ∂ |
|
y z |
∂ ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
+ z2 |
∂ |
2 |
|
|
|
|
|
xy |
∂ |
|
|
2 |
|
|
|
x∂ |
|
|
|
|
|
xz∂ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∂ x∂ |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ z2 |
|
|
|
∂ |
|
|
y |
|
|
∂ ∂ |
z y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= − |
! |
|
|
|
y |
|
∂ |
|
− |
|
x |
∂ |
|
|
y |
= |
|
|
|
|
i!Lz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Точно так же можно получить коммутационные соотношения для других пар операторов проекций момента импульса:
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
[ Ly , Lz ] = |
i!Lx , [ Lz , Lx ]= |
i!Ly . |
|
Отсюда следует вывод: три проекции момента импульса Lx , Ly , Lz не могут быть одновременно точно измерены.
Задача 8. Докажите, что оператор квадрата момента импульса ˆ2 коммутирует с
L
операторами |
ˆ ˆ |
и |
ˆ |
|
|
|
|
Lx , Ly |
Lz . |
|
ˆ2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
, |
|
|
Решение. По определению оператора L |
|
||||||
|
|
|
ˆ2 |
= |
ˆ2 |
ˆ2 |
ˆ2 |
|
|
|
L |
Lx+ |
L+y |
Lz . |
|
Следовательно,
ˆ2 ˆ |
ˆ2 ˆ |
ˆ2 ˆ |
ˆ2 |
ˆ |
[ L , Lx ] = |
[ Lx , Lx ]+ |
[ Ly , Lx +] [ Lz |
, Lx ]. |
|
Для первого слагаемого в (3.8) находим
ˆ2 ˆ |
ˆ2 ˆ |
ˆ ˆ2 |
ˆ3 |
ˆ3 |
0. |
[ Lx , Lx ] = |
Lx Lx− |
Lx Lx= |
L−x |
L= x |
Второе и третье слагаемые в (3.8) преобразуем, коммутационными соотношениями, полученными в задаче 7:
ˆ |
ˆ |
] = − |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
]= |
ˆ |
[ Ly |
, Lx |
i!Lz |
, [ Lz |
, Lx |
i!Ly . |
(3.8)
воспользовавшись
С учетом этих соотношений
|
ˆ2 ˆ |
|
ˆ2 ˆ |
|
ˆ ˆ2 |
ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ |
|||||
[ Ly , Lx ] = |
Ly Lx− |
Lx Ly= |
Ly Ly L−x |
Ly Lx +Ly |
Ly Lx−Ly |
||||||||
= |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
Ly [ Ly , Lx ]+ |
[ Ly , Lx |
|
] Ly= − |
i!( Ly+Lz |
|
Lz Ly ), |
|||||||
|
ˆ2 |
ˆ |
|
ˆ2 ˆ |
− |
ˆ ˆ2 |
|
ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ |
|||
[ L , L ] = |
L L |
L L= |
|
L L L− |
L L |
|
+L L L− L |
||||||
|
z |
x |
|
z x |
x z |
|
z z x |
z x |
z |
z x z |
|||
= |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
ˆ ˆ |
|
Lz [ Lz , Lx ]+ |
[ Lz , Lx |
] Lz = |
i!( Lz Ly+ |
Ly Lz ). |
|||||||||
Подставляя полученные выражения в (3.8), получаем
ˆ ˆ= ˆ Lx Ly Ly
ˆ ˆ= ˆ Lx Lz Lz
|
|
ˆ2 ˆ |
0 , |
|
|
|
|
|
[ L , Lx ] = |
|
|
|
|
т. е. оператор |
ˆ2 |
коммутирует с оператором |
ˆ |
|
|
|
L |
Lx . |
|
|
|
||
Аналогично доказывается коммутативность оператора |
ˆ2 |
с операторами |
ˆ |
|||
L |
Ly |
|||||
Таким образом, мы доказали, что квадрат момента импульса может одновременно точно измерен только с одной из его проекций.
ˆ
и Lz . быть
Задача 9. Докажите, что оператор квадрата
оператором квадрата момента импульса ˆ2
L .
Решение. В сферической системе координат
ˆ |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
||
|
= − |
! |
|
|
∆= − |
! |
|
∆+ r |
|
∆2 |
||
p |
|
|
|
|
r |
|||||||
ˆ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= − |
! |
2 |
∆ θ ϕ, |
, |
|
|
|
|
||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
импульса ˆp2 коммутирует с
|
, |
θ ϕ, |
|
|
|
поэтому
ˆ |
2 |
ˆ2 |
4 |
|
]+ |
1 |
|
|
|
|
|
[ ∆ r ∆, θ ϕ, |
r 2 ∆[ θ ϕ ∆, ,θ ϕ , |
] . |
|||
[ p , L ] = ! |
||||||||
В этом выражении коммутатор |
[ |
∆ θ ϕ, |
∆ |
θ |
ϕ , |
] |
=∆ |
θ ϕ |
, ∆− θ ϕ |
, = |
0. |
Равен нулю и коммутатор |
||||||||||
|
∆ r ∆ |
|
|
. Действительно, |
|
∆ r ∆ |
|
|
, |
∆ |
|
,∆ |
|
2 |
|
2 |
|
|
r и |
|||
[ |
θ ϕ, |
] |
[ |
θ |
ϕ, |
|
∆ |
r θ ϕ |
− |
∆θ ϕ |
, |
r |
поскольку операторы |
∆ |
||||||||
, |
|
|
, |
|
|
] = |
|
|
|
|
|
|
= 0 , |
|
|
|
||||||
∆ θ ,ϕ |
содержат дифференциальные операции по разным переменным, и результат |
|||||||||||||||||||||
их последовательного действия на волновую функцию не зависит от порядка их
следования. Тем самым мы доказали, что |
[ p |
2 |
ˆ2 |
. Равенство нулю этого |
|
, L ] = 0 |
|||
|
ˆ |
|
|
|
коммутатора означает, что квадрат импульса и квадрат момента импульса могут быть измерены одновременно точно.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Врунов П.А., Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Операторы в квантовой механике. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1994. 40с.
2.Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: Высш. шк., 1988. 527 с.
3.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: ЗАО «Изд-во БИНОМ». 1998. 448 с.
4.Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: Высш. шк., 1991. 175 с.
5.Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Высш. шк., 1961. 512 с.
6.Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики. Кн. 2; Квантовая механика. М.: Наука, 1972. 367 с.