Добавил:

Uman Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

Физика

Файл:

shred2

.pdf

Источник:

https://studizba.com

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2014

Размер:

258.05 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана

Л. К. Мартинсон, Е. В. Смирнов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ.

РАЗДЕЛ «ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ».

Москва, 2002

Содержится краткий обзор основных понятий и соотношений теории, необходимых для решения задач по одному из разделов квантовой механики. Изложена методика решения типовых задач.

ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Квантовая механика принципиально отличается от классической механики в подходе к вопросу о результатах измерения физических величин в квантовых системах. Прежде всего, в квантовой механике физическая величина может иметь дискретный спектр значений, тогда как в классической механике все физические величины изменяются непрерывно. Кроме того, результаты измерения физических величин в квантовой системе имеют вероятностный характер. Это означает, что в общем случае в процессе измерения наблюдаемой физической величины в квантовой системе с определённой вероятностью может реализовываться одно из нескольких возможных значений этой величины. Говорят, что в таком квантовом состоянии физическая величина не имеет определённого значения. В этом случае, зная волновую функцию, мы должны уметь предсказывать среднее значение наблюдаемой физической величины, полученной из ряда измерений.

Такой подход к вопросу о результатах измерения наблюдаемых физических величин в квантовой механике базируется на представлении физических величин операторами и разработке адекватного математического аппарата.

Сформулируем основные постулаты квантовой механики.

I. Каждому состоянию квантовой системы соответствует волновая функция Ψ(x,y,z,t), определяющая это состояние. Волновая функция находится из решения уравнения Шредингера.

II. Каждой наблюдаемой физической величине ƒ в квантовой механике ставится в

соответствие некоторый линейный самосопряжённый (эрмитов) оператор Φˆ , действие которого на волновую функцию задаётся при его определении. Соотношения между квантово-механическими операторами аналогичны соотношениям, связывающим в классической механике соответствующие физические величины.

III. Единственным возможным результатом измерения наблюдаемой физической величины ƒ может быть только собственное значение ƒn соответствующего ей

оператора Φˆ .

Собственные значения оператора Φ ˆ находятся из решения уравнения
ΦΨˆ	n = Ψ fn n .	(1.1)

Это уравнение имеет набор собственных функций Ψn и собственных значений ƒn. Вслучае дискретного спектра физической величины этот набор представляет собой счётное множество (n = 1, 2, …).

Система собственных функций оператора любой физической величины предстовляет собой полную ортонормированную систему функций. Поэтому любую волновую функцию Ψ всегда можно разложить в ряд по этим собственным функциям:

Ψ n =	∑	CnΨ	n ,	(1.2)
	n
причём коэффициенты этого разложения определяются по формуле:				(1.3)
Cn =	∫ Ψ	*	dV .	(1.3)
Cn =	∫ Ψ	Ψn	dV .

Здесь интегрирование ведётся по всей области RN изменения пространственных переменных разности N. При использовании декартовой системы координат в одномерных задачах dV=dx для N=1, в двумерных задачах dV=dxdy для N=2 и в трёхмерных задачах dV=dxdydz для N=3.

Если для некоторого квантового состояния волновая функция Ψ не является

собственной функцией оператора Φˆ , то в этом квантовом состоянии физическая величина ƒ не имеет определенного значения. Вероятность Рn того, что при измерении физической величины ƒ в этом квантовом состоянии будет получено численное значение ƒn, находится по формуле

Pn =		Cn		2 ,	(1.4)

а среднее значение (математическое ожидание) физической величины по результатам большого числа измерений можно определить как

f = ∑ Pn fn=	∫ Ψ *ΦΨ( ˆ )dV .	(1.5)
n	RN

Необходимым и достаточным условием возможности одновременного точного

измерения двух физических				величин		а и	b является коммутативность
соответствующих им операторов				ˆ	ˆ
соответствующих им операторов				A и	B , т. е. выполнение равенства			(1.6)
			ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ	0.	(1.6)
			A, B ≡		AB−	BA=	0.
Если же коммутатор	ˆ ˆ
Если же коммутатор	ˆ ˆ	двух операторов не равен нулю, то соответствующие

им две физические величины не могут быть измерены одновременно точно. Для таких физических величин справедливы соотношения неопределенностей вида ∆ a∆ b>0 утверждающие, что обе неопределенности ∆ a и ∆ b не могут одновременно стремиться к нулю.

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ Приведем выражения для операторов основных физических величин квантовой механики:

Операторы координат. Действие этих операторов на волновую функцию сводится к умножению ее на координату. В операторной форме это можно записать в виде равенств

xˆ = x, ˆy= y,zˆ= z.

(2.1)

Отметим, что операторами умножения на соответствующие координаты являются также операторы координат в цилиндрической и сферической системах координат.

Операторы проекций импульса. Эти операторы связаны с

дифференцированием по соответствующим координатам, причем

∂

(2.2)

∂ x

i!∂

z .

px = −

, py= −

y , =p−z

Используя известное соотношение классической механики, можно построить оператор квадрата импульса по правилу

	2		(		x )	2		( y )	2	(		z )	2			2	∂	2			∂	2		∂	2			(2.3)
	2					2							2			2	∂		2		∂		2	∂		2		(2.3)
																			2				2			2
p		=		p			+	p	+		p	= −			!		+			+							,
ˆ				ˆ				ˆ			ˆ						∂ x			∂ y				∂ z
или, используя оператор Лапласа,																	∂ x			∂ y				∂ z
или, используя оператор Лапласа,										ˆ 2				2	∆													(2.4)
										ˆ 2		= −		2														(2.4)
										p		= −		!

Операторы проекций момента импульса. Используя классическую формулу для

момента импульса материальной точки

можно построить операторы

L = [ r , p ],

проекций момента импульса по правилам

ˆ ˆ

∂

L x =

i ! y

−

yp z −

zp y= −

∂

(2.5)

L y =

zp x −

xp z= −

i ! z

−

ˆ ˆ

∂ x

∂

ˆ ˆ

∂

Lz =

i ! x

−

xp y −

yp x= −

∂

В сферической системе координат

∂

ctgθ

cosϕ

∂

= −

sin ϕ

∂

(2.6)

= −

cos ϕ

∂ θ

−

ctgθ

sinϕ

∂

Lz = −

∂

Оператор Lz имеет дискретный спектр собственных значений:

m!, где m = 0,±

1±, 2,...,

(2.7)

каждому из которых соответствует собственная функция

называются шаровыми (или сферическими) функциями.

Ψ m ϕ( ) =	1	e imϕ .
	2π

Эти собственные функции ортонормированы, так что

2π			1,	если n =	m
∫Ψ	m* ϕ( Ψ ) ϕ n (ϕ	)d =
			0 ,	если n ≠	m .
0

Оператор квадрата момента импульса ˆ2 определяется выражением

ˆ2

∂

Lx+

L+y

L=z−

z−

−x

−

∂

x ∂

∂ y

∂ z

∂

В сферической системе координат оператор Лапласа

(2.8)

2	(2.9)
.	(2.9)

∆ = ∆ r +	1∆	θ ,ϕ
	r 2

может быть записан с выделением его радиальной части:

∆ r =

∂

2 ∂

∂

и угловой части:

∂

∆ θ ϕ,

sinθ

∂θ

sinθ

∂ ϕ

В таких обозначениях оператор квадрата момента импульса в сферической системе координат преобразуется к виду

ˆ	2	= −	!	2	∆	θ ,ϕ .	(2.10)
L
				ˆ2		является дискретным
Спектр собственных значений оператора L							(2.11)
L2 = !2 l( l+			1 ),l=			0 ,1,2, ...,

причем каждому собственному значению с заданным значением l соответствует (2l+1) собственных функций Ψ l ,m = Yl ,m (θ ϕ,ϕ ) , отличающихся значениями

целочисленного параметра m=0, ±1,±2, ..., ±l. Каждому значению т соответствуют определенные значения проекции момента импульса Lz, которые выражаются формулой (2.7).

Функции Yl ,m (θ ,ϕ )

Приведем явный вид нескольких первых нормированных сферических функций:

Y0 ,0 =

,Y1 ,0

cosθ

,Y1 ,

sinθ

± iϕ

(2.12)

4π

8π

Эти функции нормированы условием

2∫π

π∫ Yl*,mYl ,m

sinθ

dθ dϕ

= 1.

Операторы энергий.

Оператор кинетической энергии определим, пользуясь классической формулой

связи кинетической энергии частицы массой m0 и ее квадрата импульса: Eκ =	p2	.

	2m0

Аналогичное соотношение связывает операторы в квантовой механике. Поэтому, с учетом (2.4), получаем

ˆ	ˆ 2		!	2
ˆ	p		!		∆ .
Eκ =		=				(2.13)
Eκ =	2m0	=	2m0			(2.13)
	2m0		2m0

Оператор потенциальной энергии представляет собой оператор умножения на функцию U=U(х,у,z), определяющую потенциальную энергию частицы в стационарном силовом поле, т. е.

ˆ	(2.14)
U = U ( x , y ,z ).

Оператор полной энергии в квантовой механике называют оператором функции

Гамильтона или просто гамильтонианом.					Гамильтониан	ˆ	определяется как
Гамильтона или просто гамильтонианом.					Гамильтониан	H	определяется как
сумма операторов кинетической и потенциальной энергий и имеет вид
ˆ	ˆ	ˆ	!2	∆
H =	Eκ+	U= −	+	∆	U( x, y,z ).		(2.15)
			2m0

Выражение (2.15) можно использовать и в случае нестационарных силовых полей,

ˆ
понимая под U = U( x , y, z ,t ) "силовую функцию, связанную с силой, действующей
на частицу, соотношением F = − U .
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.						ˆ
Задача 1. Докажите, что оператор проекции импульса						ˆ
Задача 1. Докажите, что оператор проекции импульса						px является линейньм
самосопряженным (эрмитовым) оператором.			∂	!	∂
Решение. Линейность оператора	ˆ		∂	!	∂	очевидна, поскольку
	ˆ	i! ∂ x≡		i ∂ x
	px = −	i! ∂ x≡		i ∂ x
						ˆ
дифференцирование является линейной операцией. Покажем, что оператор px

является эрмитовым оператором, т. е. для него выполняется условие самосопряженности

∫ Ψ	*	ˆ	2 )dV = Ψ ∫	ˆ	*	(3.1)
					) dV .
	1 ( pΨ x			2Ψ( px 1
RN			RN
Здесь Ψ 1 и Ψ 2 - две произвольные функции, для которых выполнены все условия,

накладываемые на волновые функции. В частности, эти функции должны обращаться в нуль вместе с производными на границе рассматриваемой области. Для упрощения выкладок ограничимся рассмотрением одномерного случая, когда

функции Ψ 1 и Ψ

2 зависят только от одной пространственной координаты х. Тогда

имеем

+∞

∂ Ψ 2

+∞

∂Ψ

I =

∫Ψ

(

2 )dx=

Ψ ∫

dx= Ψ

−∞+

Ψ i! ∫

dx.

pΨ x

∂ x

∂

−∞

Поскольку, согласно условию, Ψ

1(±∞ )=Ψ

2(±∞ )=0, то

+∞

∂

+∞

I =

∫

dx=

∂

dx=

∫

−

∂

dx= Ψ

∫

) dx.

∂ x

∫ 2

∂

∂ x

x 1

−∞

Таким образом, показано выполнение условия самосопряженности

+∞

∫Ψ

2 )dx = Ψ ∫

( pΨ x

2Ψ( px

1 ) dx

−∞

для оператора проекции импульса.

Задача 2. Стационарное квантовое состояние частицы массой m0, движущейся в одномерной потенциальной яме шириной а с абсолютно непроницаемыми стенками, описывается волновой функцией

		2			nπ	x		< x <
Ψ	n ( x ) =			sin			, 0		a
			a	sin	a		, 0		a
			a		a				(3.2)
		0 ,					x < 0 , x > a ,
		0 ,					x < 0 , x > a ,

где n=1, 2,... - квантовое число, определяющее состояние частицы.

Определите: а) среднее значение координаты частицы <x>; б) среднее значение проекции импульса <px> и в) среднее значение квадрата импульса частицы <p2>.

Решение. а) Согласно (1.5), учитывая, что Ψ

= Ψ

n , находим

+∞

∫

( x )}dx Ψ

( x )Ψ

( x )dx .

( x ){Ψx

−∞

Подставляя выражение для волновой функции частицы (3.2), получаем

x =

2 a

nπ

dx=

1 a

1− cos

2nπ

dx=

x sin

a ∫0

∫0

Этот результат физически достаточно очевиден. Частица движется в пространстве между непроницаемыми стенками ямы (х = 0 и х = а), отражаясь от них. Поэтому среднее значение координаты частицы должно соответствовать центру ямы.

б) Аналогично, используя выражение (2.2) для оператора ˆpx , находим среднее значение проекции импульса

+∞		ˆ	a		! ∂ Ψ	n
px = ∫Ψ	*		n ( x )}dx= Ψ ∫
	n	( x ){ pΨ x		n ( x )	i ∂	dx=
−∞			0			x

		a		2		sin2 nπ	x	a
=	!	∫ ∂ Ψ		n dx=	!	sin2 nπ	x	= 0
	2i	0	∂ x		ia	a		0

Отметим, что значение <px>=0 для частицы в яме получается и в классической механике. Для классической частицы этот результат очевиден, так как частица движется вдоль оси х, отражаясь от стенок ямы, а ее импульс направлен то в одну, то в другую, противоположную, сторону. Поэтому среднее значение проекции импульса частицы на ось х оказывается равным нулю.

в) Найдем теперь среднее значение квадрата импульса <p2>. Поскольку мы имеем дело с одномерным случаем, из (2.3) следует, что

ˆ 2		ˆ 2			2	∂ 2
	=		= −	!		∂ x 2 .
p		p x

Очевидно, что, хотя среднее значение проекции импульса <px> равно нулю, среднее значение квадрата импульса <p2> у движущейся частицы должно быть отличным от нуля. Какое же в среднем значение квадрата импульса будет получено в серии измерений? Согласно (1.5),

+∞

ˆ 2

n( x )}dx= −

nπ x ∂ 2

sin

nπ

dx=

∫Ψ

( x ){ pΨ

∫ sin

a ∂ x

−∞

2!2

n2π 2

2 nπ

dx=

2!2

nπ2 2 a

∫ sin

Таким образом, в состоянии частицы с квантовым числом n

π 2 !2

n2 .

В том, что значение <p2> найдено правильно, можно убедиться и другим способом. Действительно, покажем, что волновая функция (3.2) является

собственной функцией оператора ˆp2 . Подействовав на неё оператором квадрата импульса

ˆ 2

∂ 2

nπ

2 !2 n2

πn x π

2 !2 n2

sin

2 Ψ n ( x ),

pxΨ n ( x ) = − !

∂ x

мы получим в результате такого действия ту же волновую функцию, умноженную

на некоторое число	π 2 !2 n2	, которое является собственным значением оператора
	a2

квадрата импульса.

Согласно общим положениям квантовой механики, этот результат показывает, что в квантовых состояниях, описываемых волновыми функциями (3.2), при любых значениях n квадрат импульса частицы имеет определенное значение, равное соответствующему собственному значению оператора ˆp2 .

Поэтому при измерении ˆp2 всегда будет получаться одно и то же значение

p2 = π 2 !2n2 .

Следовательно, эта же величина определит и среднее значение квадрата импульса в серии измерений, то есть

p2 =	π 2!2	n2 .
	a2

Задача 3. Частица в некоторый момент времени находится в состоянии, описываемом волновой функцией, координатная часть которой имеет вид

			x2						(3.3)
Ψ	( x ) =	Aexp −	a	2+	ikx	,	−∞ < <x+∞	,
			a

где А и а - некоторые постоянные; а k - заданный параметр, имеющий размерность обратной длины. Определите среднее значение проекции импульса <px> частицы в этом состоянии.

Решение. Так как для волновой функции (3.3)

ˆ			∂ Ψ				2	!
	= −	i!		=	k+!	i		2	xΨ	( x ),
pxΨ			∂ x				a

по правилу (1.5) нахождения среднего значения имеем

+∞

2!+∞

xΨ

( x ) ( x )dx=

k!+I1

I2 .

px = ∫

( x ){ pΨ x

( x )}dx= k!Ψ ∫

Ψ( x ) ( x )dx+

i Ψ2

∫

−∞

Из условия нормировки волновой функции

+∞

I1 =

∫ Ψ * ( xΨ ) ( x )dx=

−∞

Во втором интеграле подынтегральная функция является нечетной функцией координаты х, а интегрирование проводится в симметричных пределах от -∞ до +∞. Поэтому этот интеграл равен нулю, т. е.

+∞	+∞		2 x2	2
I2 = ∫ xΨ * ( xΨ ) ( x )dx=	A2 ∫			2	dx= 0.
I2 = ∫ xΨ * ( xΨ ) ( x )dx=	A2 ∫	x exp−			dx= 0.
−∞	−∞		a

Окончательно находим отличное от нуля среднее значение проекции импульса частицы

px = k!.

Задача 4. Найдите среднее значение потенциальной энергии квантового осциллятора с частотой ω 0 в первом возбужденном состоянии, описываемом волновой функцией

Ψ	( x ) =		m0ω 0 x2	,	−∞ < <x+∞ .
		Ax exp −	2!

Здесь А — некоторая нормировочная постоянная; m0 - масса частицы. Решение. Так как потенциальная энергия осциллятора

U( x ) =	kx2	=	m	ω	x2
U( x ) =	2	=	0	2	,
			0	0

в соответствии с (1.5) и (2.14) среднее значение потенциальной осциллятора находим по формуле

+∞

U = ∫ Ψ

	−∞
=	m0 ω	02
=	2
	2

	ˆ	+∞
*	ˆ	Ψ ∫ ( x )U Ψ( x ) ( x )dx=
	( x ){ UΨ ( x )}dx=	Ψ ∫ ( x )U Ψ( x ) ( x )dx=
		−∞

+∞	A2 x 4		−	mω	x 2	dx .
∫	A2 x 4	exp	−	0 0		dx .
−∞				!

(3.4)

энергии

Проинтегрировав один раз по частям, получаем

U =	2		+∞			mω0 0 x	2
U =	m0ω 0	!	3 ∫	A2 x2	exp −	mω0 0 x		dx.
	2	2m0 ω 0	−∞			!

Так как по условию нормировки волновой функции

+∞			+∞			m0ω	0 x	2
∫ Ψ	( x )	2	dx = ∫	A2 x2	exp −				dx= 1,
						!
−∞			−∞

для средней потенциальной энергии осциллятора окончательно получаем

U = 43 !ω 0 .

Правилъность полученного результата можно обосновать следующим образом. Как и при гармонических колебаниях классического осциллятора,

средняя потенциальная энергия квантового осциллятора равна его средней кинетической энергии, а их сумма составляет полную энергию осциллятора.

В квантовой механике полная энергия осциллятора определяется известной формулой

En =		n+	1	, n=	0 ,	1, 2, ...
	!ω 0
			2

Для первого возбужденного		состояния			(n=1)	полная энергия осциллятора

E1 = 23 !ω 0 . Тогда для средней потенциальной энергии такого квантового

осциллятора получаем значения

U = 21 E1= 43 !ω 0 .

Задача 5. В основном состоянии атома водорода волновая функция электрона имеет вид

			r		(3.5)
Ψ	( r ) =	Aexp −		, 0≤ r≤ ∞ ,
Ψ	( r ) =	Aexp −	r1	, 0≤ r≤ ∞ ,
			r1

где А - нормировочная константа; r1 - значение боровского радиуса. Найдите для этого состояния средние значения: а) модуля кулоновской силы, действующей на электрон; б) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром; в) кинетической энергии движущегося электрона.

Решение. Константу А найдем из условия нормировки волновой функции, которое в сферической системе координат запишется в виде

∞

∫ exp

−

4π

dr=

Отсюда

4π

3 ∞

−

dξ = 1.

Интегрируя по частям, находим

∫0

∞

I = ∫

− ξ

dξ=

−

ξ=

−

2∫ ξe

2∫ e d=ξ 2

и вычисляем нормировочную константу A = −

а) В сферической системе координат расстояния r электрона до ядра, причем

F ( r ) =

πr13

модуль кулоновской силы зависит от

e2 . 4πε 0 r2

Оператор модуля кулоновской силы	ˆ	есть оператор умножения на функцию
	FK

F ( r ) .

Среднее значение модуля кулоновской силы вычисляем по формуле (1.15):

∞

= ∫Ψ

( r )}4π

dr=Ψ

∫

( r )FΨ

( r ) π ( r )4 r

dr=

( r ){ FΨK

= e2

∞ A2 exp

−

dr=

∞ e− ξ d=ξ

e2 .

ε 0

∫0

πε

0 r13

∫0

πε2 0 r12

б) Потенциальная энергия электрона в поле ядра

U( r ) = −	e2
		,
	4πε 0 r

а оператор потенциальной энергии есть оператор умножения на функцию U(r). Поэтому

U =

∞

( r )UΨ

( r )

( r )dr= −

I1 .

∫Ψ

( r ){ UΨ ( r )}4π

dr=Ψ ∫

4πε

Здесь

∞

4π

2 ∞

= ∫

exp −

4π

r 2 dr=

∫ξ e− ξ dξ=

π r1

Таким образом, среднее значение потенциальной энергии электрона в основном состоянии атома водорода

U = −	e2		r .
	4πε	0
			1

в) В сферической системе координат для волновой функции (3.5)

1 d

dΨ

2 1

EKΨ

= −

∆Ψ

= −

−

Aexp−

2m0 r

2m0

2m0 r1

r r1

где m0 - масса электрона.

Поэтому, вычисляя среднее значение кинетической энергии электрона по формуле (1.15), получаем

∞

( r )}4π

dr=

∞

2 1

dr−

EK = ∫Ψ

( r ){ EΨκ

∫

exp−

m0 r1 0

−

!2 ∞ A2 exp

−

4π r2dr=

I−

2m0 r12 ∫0

m0 r1

2m0 r12

Первый интеграл I1 был вычислен в пункте б), причем I1=1/r1. Второй интеграл I2=1 в силу условия нормировки волновой функции (3.5). Следовательно, среднее значение кинетической энергии электрона

Eκ =	!2			−	!2		=	!2			.
	m	r 2			2m	0	r 2	2m	0	r 2
	0		1			0	1		0	1

Для проверки найденных значений <U> и <EK> заметим, что их сумма должна быть равна полной энергии электрона в основном состоянии атома водорода:

E1 = −	m e4				.
	0
	2	2	!	2
	32π ε	0	!

Если учесть, что боровский радиус

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Архив методичек

#
04.03.2014328.82 Кб146kv_sv_atomov.pdf
#
04.03.2014249.3 Кб42marsm2003.pdf
#
04.03.2014225.45 Кб52posob.pdf
#
04.03.201486.7 Кб48primer_reshenia.pdf
#
04.03.2014336.5 Кб40shred1.pdf
#
04.03.2014258.05 Кб40shred2.pdf