Добавил:

Uman Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

Физика

Файл:

kv_sv_atomov

.pdf

Источник:

https://studizba.com

Скачиваний:

146

Добавлен:

04.03.2014

Размер:

328.82 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

(1.4)

МГТУ им. Н.Э. Баумана Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В.

Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Раздел «Квантовые свойства атомов».

Москва, 2003.

В методических указаниях содержится краткий обзор основных понятий и соотношений квантовой теории атомов, необходимых для решения задач. Изложена методика решения типовых задач и приведены условия задач для самостоятельного решения. Представленный материал предполагает проработку раздела курса общей физики «Элементы квантовой механики».

Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана.

1.КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ.

Кчислу важных физических объектов относятся атомные системы. Наиболее простыми из таких систем являются водородоподобные атомы, т. е. атомы или ионы, в которых один единственный электрон движется в кулоновском поле ядра с зарядом +Ze, где е - элементарный

электрический заряд, Ζ - атомный номер элемента. Для атома водорода Z=1, для однократно ионизированного атома гелия Не+ Ζ=2, для двукратно ионизированного атома лития Li++ Z=3.

В 1913 г. Η. Бор предложил теорию, которая позволила рассчитать полную энергию электрона в водородоподобных атомах. Одним из постулатов этой теории является тот, согласно которому электрон может двигаться вокруг ядра только по таким стационарным орбитам,

для которых момент импульса электрона имеет определенные дискретные значения L = n! , где n=1, 2, 3, … - номер стационарной орбиты, ! - рационализированная постоянная Планка. Теория Бора не является законченной теорией атомных систем и не может описать всех их свойств, так как она не учитывает наличия у электрона волновых свойств.

Полностью описать свойства водородоподобных атомов смогла только квантовая механика. В этой теории для того, чтобы найти волновые функции, описывающие квантовые состояния электрона в водородоподобном атоме, необходимо решить стационарное уравнение Шредингера

ˆ	(1.1)
Hψ = Eψ

где H - оператор полной энергии (гамильтониан), а Е - полная энергия электрона.

Так как потенциальная энергия электрона, находящегося в электрическом поле ядра на расстоянии r от него,

U(r)= -		Ze2		(1.2)
			,
		4πε0r	,
ˆ
то гамильтониан H в рассматриваемой задаче
ˆ	!2
H = -		+U(r),
H = -	2m	+U(r),
	0

где m0 - масса электрона.

Уравнение Шредингера (1.1) может быть представлено в виде

	2m				Ze2		(1.3)
Δψ +			0	E +		ψ = 0
	!	2
					4πε0r

Уравнение (1.3) удобнее решать в сферической системе координат (r, θ, φ), центр которой совпадает с центром ядра атома. Будем считать ядро неподвижным. В такой системе координат волновая функция имеет вид ψ=ψ (r, θ, φ), а оператор Лапласа

= r + r2 θ,ϕ

содержит радиальную часть

∂

2 ∂

(1.5)

∂

и угловую часть

∆

∂

sinθ

∂

(1.6)

θ,ϕ

sinθ ∂θ

∂θ

sin

∂θ

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (1.3), зависит от трех квантовых чисел.

1. Главное квантовое число n принимает значения n=1, 2, 3, …

и определяет полную энергию электрона в заданном квантовом состоянии
En = -	m e4				Z	2	= -13,6	Z	2	эВ.	(1.7)
	0										(1.7)
	2	2	!	2	n	2		n	2
	32π ε	0	!		n			n

В связанном состоянии электрон в атоме имеет дискретный энергетический спектр, лежащий в области отрицательных значений. На рис. 1 приведен энергетический спектр электрона в атоме водорода (Ζ=1). Положительные значения энергии на этом рисунке соответствуют свободному электрону, поэтому изображенный на рисунке переход 2 соответствует отрыву электрона от ядра, т. е. ионизации атома. Из (1.7) следует, что величина энергии ионизации

атома водорода Ei= Е1 =13,6 эВ.

2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число l в квантовых состояниях с заданным значением главного квантового числа n может иметь следующие значения:

l=0, 1, ..., (n - 1).

Это квантовое число определяет орбитальный угловой момент импульса электрона

L = ! l(l +1)

(1.8)

и соответствующий магнитный момент

pM = µ Б l(l +1) .

(1.9)

Здесь универсальная постоянная

Б =	e!	= 0,927 10-23	Дж
			Тл
	2m0

служит единицей измерения магнитных моментов атомов и называется м а г н е т о н о м Б о р а . 3. Магнитное квантовое число m в квантовых состояниях с заданным значением орбитального квантового числа может принимать (2l + 1) различных значений:

m=0, ± 1, ± 2, ... , ± l.

Магнитное квантовое число определяет проекции механического и магнитного моментов на выделенное внешним полем направление z:

Lz = m! ,	(1.10)
pzM = m Б .	(1.11)

Для обозначения квантовых состояний электрона в атоме используют спектроскопические символы (табл. 1).

					Таблица 1

Квантовое число l	0	1	2	3	…
Символ состояния	s	p	d	f	…

Следующие квантовые числа обозначают буквами g, h и далее по латинскому алфавиту. Перед спектроскопическим символом указывают значение главного квантового числа n.

Поэтому электрон в квантовом состоянии с n=1 и l=0 обозначается символом 1s, а в состоянии с n=2 и l=1 - символом 2р и т. д.

Приведем выражения для нормированных волновых функций ψ nlm(r, θ, φ) в некоторых квантовых состояниях электрона в водородоподобных атомах (табл. 2). В качестве характерного размера выберем первый боровский радиус

									a =			4πε 0!2		= 0,529 10-10 м ,
									a =					= 0,529 10-10 м ,
													m e2
													0			r
а в качестве безразмерной радиальной координаты – величину ρ															=	r	Z .
															=	a	Z .
																a		Таблица 2
																		Таблица 2

n	l	m											ψ	nlm				Состояние
1	0	0	1			Z 3 2		exp (-ρ)										1s


				π		a
2	0	0	1				Z 3	2 (2 - ρ) exp					- ρ					2s
2	0	0						2 (2 - ρ) exp					- ρ					2s
			4
			4		π		a						2
			1				Z 3	2			ρ
2	1	0							ρ exp	-			cosθ					2р
2	1	0	4						ρ exp	-			cosθ					2р
			4		π		a				2
2	1	+1	1				Z 3	2	ρ exp	-	ρ		sinθ exp (iϕ )					2р
2	1	+1							ρ exp	-			sinθ exp (iϕ )					2р
			8
			8		π		a				2
2	1	-1	1				Z 3	2	ρ exp	-	ρ		sinθ exp (-iϕ )					2р
2	1	-1							ρ exp	-			sinθ exp (-iϕ )					2р
			8
			8		π		a				2

Состояние с наименьшей полной энергией электрона (1s - состояние) называется основным состоянием атома, а все остальные - возбужденными состояниями. Переход 1 на рис. 1 соответствует возбуждению атома водорода.

Возбужденный атом самопроизвольно переходит в состояние с меньшей энергией, испуская при таком переходе квант энергии излучения. Поэтому, если переход осуществляется из

(1.19)

состояния с главным квантовым числом n1 в состояние с главным квантовым числом n2, то

	!ω12	= En - En						(1.12)
					1	2
С учетом (1.7) отсюда находим частоту излучения при таком переходе
ω	= Z 2 R		1	-	1	, n > n	,	(1.13)
ω	= Z 2 R	2		-	2	, n > n	,	(1.13)
12		2			2	1 2
			n2		n1

где постоянная Ридберга

	m e4	16		-1
	0
R =		= 2,07 10	c		.
	32π2ε0!3

Согласно (1.13), оптический спектр излучения водородоподобного атома состоит из спектральных серий, каждая из которых задается номером n2 нижнего энергетического уровня, на который происходят переходы. Спектральные серии имеют следующие названия: n2=1 - серия Л ай м ан а (ультрафиолетовое излучение); n2=2 - серия Бал ь мера (видимый свет); n2=3 - серия Пашен а (инфракрасное излучение) и т. д. Для атома водорода (Ζ=1) на рис. 1 изображены переходы, соответствующие линиям излучения серий Лаймана и Бальмера.

В релятивистской квантовой механике (П. Дирак, 1928 г.) состояние электрона в атоме характеризуют уже заданием четырех квантовых чисел. Четвертое квантовое число принимает два значения: ms=± s и называется спиновым квантовым числом, причем для электрона спин s=1/2. Спин электрона характеризует собственные, т. е. не связанные с движением в атоме, ме-

ханический LS и магнитный pSM моменты электрона, которые определяются выражениями:

	3			(1.14)
LS = !	s(s+1) =		! ;
		2		(1.15)
pSM = 2μБ	s(s+1) =		3μБ .
Проекции этих моментов на выделенное в пространстве направление:
	!			(1.16)
LSZ = mS ! = ± 2 ;
				(1.17)
pSZM = 2mS μБ = ±μБ
Следовательно, электрон в атоме обладает как орбитальным моментом импульса L, так и
спиновым (собственным) моментом импульса LS. Сумма этих двух моментов дает полный мо-
мент импульса электрона в атоме, величина которого определяется выражением
Lj = ! j ( j+1) .				(1.18)

Здесь j - квантовое число полного момента. Оно принимает значения в нашем случае j=l + s и j= l - s ,

j=l + 1/2 и j= l – 1/2 ,

Примеры решения задач.

Задача 1.1. Определите для водородоподобного атома радиус n-й боровской орбиты, скорость электрона на ней v и его полную энергию Е.

Решение. В теории Бора электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным орбитам, для которых выполнено условие квантования момента импульса:

L = n! , где n=1,2, … - номер орбиты. Для круговых орбит L=m0vr·и условие вращения электро-

на по стационарной орбите можно записать в виде
	m v2	=	Ze2		,
	0
	0		4πε0r	2
	r		4πε0r
	m vr = nh.
	0

Решая эту систему уравнений, находим радиус n-й орбиты

= n2 .

r =	4πε0!2		n2	=	a		n2 .
r =			n2	=	Z		n2 .
n	m e2		Z		Z
	0
Для скорости электрона на n-й орбите получаем значение
	vn =		Ze2		.
	vn =	4πε0		!n	.
		4πε0		!n
Полная энергия электрона, движущегося по n-й стационарной орбите, равна сумме кине-
тической и потенциальной энергий:
			m v2				Ze2
E = EK +U =			0	n -				.
E = EK +U =			0	n -				.
			2			4πε0rn

Подставляя сюда найденные значения rn и vn, находим полную энергию электрона в водородоподобном атоме

	m e4	Z 2
E = -	0	n2 .
E = -	32π2ε02!2	n2 .

Задача 1.2. Определите кратность вырождения энергетических уровней водородоподобного атома.

Решение. Кратностью вырождения энергетического уровня называется число возможных квантовых состояний с одинаковым значением полной энергии электрона, равным энергии этого уровня.

Полная энергия электрона в атоме определяется (см. 1.7) значением главного квантового числа n. В нерелятивистской квантовой механике Шредингера квантовое состояние электрона в атоме задается тремя квантовыми числами, причем для заданного значения n орбитальное квантовое число l может принимать n значений от 0 до n-1, а каждому значению соответствует (2l+1) значений магнитного квантового числа m.

Поэтому кратность вырождения энергетического уровня N в этой теории подсчитаем, найдя число возможных комбинаций чисел l и m для заданного значения квантового числа n. Следовательно, без учета спина электрона, кратность вырождения энергетического уровня

n-1	(2l +1) .
N = ∑

l=0

Для этой арифметической прогрессии, содержащей n слагаемых, значения первого и последнего членов прогрессии

a1=1, an=2n-1.

Поэтому по формуле суммы арифметической прогрессии находим

N = Sn = (a1 + an ) n = (1+ 2n -1) n

2 2

С учетом спина электрона и двух возможных значений спинового квантового числа mS=± 1/2, кратность вырождения уровней удваивается. Поэтому окончательно, для кратности вырождения n -го энергетического уровня в водородоподобном атоме, получаем значение

N = 2n2 .

Задача 1.3. Определите разность длин волн между головными линиями серий Бальмера λБ и Лаймана λЛ в спектре излучения иона Li++ (Z=3).

Решение. Го л о в н о й линией спектральной серии излучения водородоподобного атома называется спектральная линия, соответствующая переходу на уровень с главным квантовым числом n2 с ближайшего энергетического уровня, т. е. с уровня, для которого n1=n2 + 1. Так как для линий серии Лаймана n2=1, а для линий серии Бальмера n2=2, то для частот головных линий этих серий из (1.13) получаем следующие значения:

	2		1					1			3			2
ωЛ = Z		R				-				=		Z			R;
ωЛ = Z		R		2		-		2	2	=	4	Z			R;
			1					2			4
	2		1					1			5				2
ωБ = Z		R					-			=			Z			R.
ωБ = Z		R	2		2		-		2	=	36		Z			R.
			2					3			36

Длины волн излучений для этих линий	8πс				72πс
λЛ = 2πс =		; λБ = 2πс =				.
	3Z 2 R
ωЛ			ωБ		5Z 2 R
Отсюда находим искомую разность этих длин волн
Δλ = λБ - λЛ = 176			πс	.

		15 Z 2 R

Подставляя числовые значения, находим Δλ=5,93 10-8 м = 59,3 нм.

Задача 1.4. Найдите наиболее вероятное расстояние rB электрона от ядра в водородоподобном атоме, находящемся в 1s - состоянии. Определите вероятность нахождения электрона в области

r≤rB.

Решение. В основном 1s - состоянии (n=1, l=0, m=0) волновая функция электрона в водородоподобном атоме

		1	Z 3 2			r
ψ100	=			exp	-Z

		π	a			a

не зависит от угловых координат.

Поэтому по смыслу волновой функции вероятность dP обнаружить электрон в тонком шаровом слое радиуса r и толщины dr в сферически симметричном квантовом состоянии

dP =

2 dV.

100

Здесь dV=4π r2dr - объем рассматриваемого шарового слоя. Следовательно,

dP =

2 4πr2dr = ω(r )dr,

100

где радиальная плотность вероятности

ω(r )= 4

Z 3

r2exp

-2Z

Наиболее вероятным расстоянием электрона от ядра будет расстояние rB, для которого

радиальная плотность вероятности ω(r) будет максимальна.

Приравняв производную ω(r) по r к нулю, получим, что при r=rB

2r exp

-2Z

- r

exp -2Z

= 2r exp -2Z

1- r

= 0 .

Отсюда находим, что

r = Z .

Вероятность того, что электрон находится в шаровой области r≤rB,

a Z

-2Z

P (r ≤ rB )= ∫

ψ100

4πr

dr =

∫e

4πr

dr =

1 a Z

r 2

-2Z

-x

∫

2 0

x e dx.

Интегрируя по частям, получаем

P (r ≤ r ) =

1 e-x (-x2 - 2x -

=1- 5e-2 = 0,323.

Задача 1.5. Вычислите вероятность нахождения электрона в основном состоянии в атоме водорода вне границ классической области движения.

Решение. Полную энергию электрона в основном состоянии в атоме водорода найдем из (1.7) при Z=1 и n=1. Имеем

	m e4
E = -	0	.
	32π2ε02!2

Так как по классическим представлениям полная энергия Ε движущейся частицы не может быть меньше ее потенциальной энергии U, то в границах классической области движения E≥U. Потенциальная энергия электрона в поле ядра

U(r)= - e2 .

4πε0r

Поэтому классическая теория допускает движение электрона, находящегося в основном состоянии, лишь в области пространства, для которой

	m e4	≥-	e2
-	0			.
	32π2ε02!2		4πε0r

Отсюда находим границу шаровой области, в которой может двигаться электрон с точки зрения классической теории:

rКЛ = 8πε0!2 2 = 2a, m0e

где а - первый боровский радиус.

Вероятность нахождения электрона вне классической области движения

∞

P(r ≥rКЛ )

= ∫

ψ100

2 4πr2dr = ∫1

a 4πr2dr =

πa

= 1

∞

= 1

∞

x2e-xdx.

2 4∫

2∫a

Интегрируя по частям, находим

P (r ≥rКЛ ) =	1	e-x (-x2	- 2x - 2)	∞ =13e-4 = 0,238.

	2			4

Таким образом, искомая вероятность обнаружить электрон в основном состоянии атома водорода вне границ области, разрешенной для движения электрона в классической механике, оказалась равной 23,8 %.

Задача 1.6. Электрон в атоме водорода находится в квантовом состоянии, описываемой волновой функцией вида ψ=А(1 + α r )еβ r , где А, α и β - некоторые постоянные. Определите значения постоянных Α, α , β и полную энергию электрона Е.

Решение. Уравнение Шредингера для атома водорода (1.3) можно записать в следующем виде:

-	!2	Δψ -	e2			ψ = Eψ.
-	2m	Δψ -	4πε	0	r	ψ = Eψ.
	2m		4πε		r
	0

Поскольку заданная в условии задачи волновая функция зависит только от радиальной коорди-

наты r, то оператор Лапласа

содержит только радиальную часть (1.5), т. е.

∂

2 ∂

∂

2∂

∂

r∂

∂

Найдем первую и вторую производные волновой функции ψ по r:

∂ ψ

∂

( Aeβr

+ Aαreβr ) = A

(α + β) eβr + Aαβreβr ;

∂

∂ r

∂ 2ψ

= A(

α + β) βe

βr

= A( 2α + β) βe

βr

+ Aαβe

+ Aαβ

∂ r2

Подставляя производные в уравнение Шредингера, получим

β r

2 β r

β r

−

A(2α + β )β e

Aα β

(α + β ) e

α β re

−

2m0

β r

−

A(1+ α

r) e =

EA(+ α1 r)

4πε

Сокращая обе части равенства на Aeβ r

и собирая слагаемые с одинаковыми степенями r, при-

ходим к соотношению

2(α + β ) −

(α4 β + β 2 ) −

r− 1

−

r0 −

α −

E+

2m0

4πε

2m0

4πε

+ 1

−

αβ − α E=

2m0

Для того чтобы левая часть этого равенства обращалась в нуль при любых значениях r, необходимо, чтобы коэффициенты при всех степенях r были равны нулю. Это приводит к следующей системе уравнений

+ E=

(4α β + β

)

4πε

α + E= 0;

2m0

(α + β +)

4πε

Из первого уравнения этой системы находим

E = −

β 2 .

Подставляя это значение во второе уравнение, получаем

β = −

m e2

−

Теперь из третьего уравнения находим

8πε 0!2

m e2

α = β = −

= −

8πε

0!2

Следовательно, постоянные α и β найдены, а полная энергия электрона

E = −

m0e4

= −

2m0

128π ε

Теперь волновая функция может быть записана в виде

ψ =

−1

−

2a .

Коэффициент А найдем из условия нормировки волновой функции

∞		(r)	2 4π r2dr= 1.
∫	ψ

0

Подставляя в это соотношение найденную волновую функцию, получим

	∞		r	2	e−	r
4π A2		1−				a	r 2 dr= 1.

	∫0		2a

Вводя новую переменную интегрирования x=r/a, приводим это равенство к виду

∞

−

dx=

4π A

−

Вычисляя по частям интегралы

∫0

∞

∫

6, =I

∫

x2e− xdx= 2, I=

x3e− xdx=

x4e− x=dx 24,

находим, что

8πA2a3=1.

Отсюда

A =

8π

Итак, волновая функция электрона

2π

ψ (r)=

−

−1

2π a3

точно соответствует волновой функции ψ200, описывающей квантовое состояние 2s - электрона (см. табл. 2). Найденная полная энергия электрона также соответствует формуле (1.7) для n=2. Задача 1.7. Для основного состояния электрона в атоме водорода определите средние значения следующих величин: а) расстояния электрона от ядра r, б) модуля силы взаимодействия электрона и ядра; в) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром.

Решение. В соответствии с основными положениями квантовой механики среднее значение

физической величины f, которой соответствует квантово-механический оператор Φˆ , определятся соотношением

<	∫	ˆ	dV .
	f >= ψ Φ ψ

" N

1. Так как оператор радиальной координаты rˆ = r есть оператор умножения на эту координату, а в основном состоянии электрона в атоме водорода волновая функция

−

a ,

ψ = ψ = ψ

100

то

π a3

∞

< r>= ψ

100

ψ(rˆ

π ) 4

r=2dr

r3e−

=a dr

∫

100

∫

a ∞

3 e− 2ar d

= a ∞ x3e− xdx=

a =6

3 a.

4 0∫

4 ∫0

2. Кулоновская сила взаимодействия электрона с ядром

FK (r) = 4πεe2 r2

зависит только от радиальной координаты. Поэтому оператор этой физической величины

ˆ = ( ) ( )

FK FK r есть оператор умножения на функцию FK r . Следовательно, среднее значение кулоновской силы взаимодействия

∞

−

< F

>= ψ

100

(ψF

π ) 4 r=

∫

e π

4 = r

∫

100

π a

0 4πε

e2 ∞

−

∞

−

dx=

2πε 0a2

πε2

0a2

2πε 0a2 ∫0

0∫

Можно отметить, что с такой силой электрон взаимодействует с ядром, находясь от него на

расстоянии r =	a	.
расстоянии r =	2	.	ˆ		(r) есть оператор умножения на функцию
	2

3. Поскольку оператор потенциальной энергии U = U
		U (r) = −		e2		,
		U (r) = −		4πε 0r		,

то среднее значение потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром в рассматриваемом квантовом состоянии равно

∞

100 ) 4π r

< U>= ∫ψ

dr= −

100 (Uψ

= −

∞ 2r

−

= −

Отсюда

4πε 0a ∫0

U>= −

4πε

−

1		∞	∫e	2		e−	2r
							a	π4 r2dr=
π a	3				0r
		0	4πε

e2 ∞∫ − x

4πε 0a 0 xe dx.

m0e4 .

16π ε 2 02!2

Задача 1.8. Определите среднее значение кинетической энергии <EK> и среднюю квадратическую скорость vКВ, электрона, находящегося в основном состоянии в атоме водорода. Решение. Оператор кинетической энергии в квантовой механике имеет вид

ˆ	!2
EK = −	∆	.
	2m0

Учитывая, что атом находится в основном состоянии (n=1, l=0) и ψ =ψ 100 , где

ψ	=	1		−	r
		1	e	−	a ,
			e		a ,
	100	π a3
		π a3

запишем формулу для расчета среднего значения кинетической энергии электрона в виде

∞

(

4 r

Eψ

∫ 100

100 )

на волновую функцию ψ

100:

Определим действие оператора EK

∂ 2

2 ∂

∂ 2ψ

100

2∂ψ

100

EK ψ 100= −

∆ψ

= 1−00

−

100

∂

r ∂

2m0

Вычислив первую и вторую производные ψ

100 по r,

∂ψ 100

= −

e−

;

∂ r

∂ ψ 100

= −

e−

π a7

∂ r2

находим, что

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Архив методичек

#
04.03.2014211.56 Кб97boze-gaz.pdf
#
04.03.2014301.8 Кб132kvantsrc.pdf
#
04.03.2014328.82 Кб146kv_sv_atomov.pdf
#
04.03.2014249.3 Кб42marsm2003.pdf
#
04.03.2014225.45 Кб52posob.pdf
#
04.03.201486.7 Кб48primer_reshenia.pdf
#
04.03.2014336.5 Кб40shred1.pdf
#
04.03.2014258.05 Кб40shred2.pdf