методички / 4041 ЭИ

x( p) W1( p) W2 ( p) W3 ( p) y( p) W1( p) W2 ( p) W4 ( p) y( p) W2 ( p) W3 ( p) W5 ( p) .

Перегруппировка приводит к равенству:

Из формулы (40) получается окончательное выражение для передаточной функции системы их двух связных контуров с разным типом ОС:

Сравнение результата (41) с формулой (33) обнаруживает смену знака перед произведением передаточных функций звеньев, входящих в контур с отрицательной обратной связью.

Предлагается самостоятельно убедиться, что в случае отрицательной ОС в обоих связных контурах, запись передаточной функции системы принимает следующий вид:

Можно обобщить правило записи передаточной функции для системы, состоящей из двух связных контуров ОС.

Правило 4. Передаточная функция системы из двух связных контуров записывается в виде дроби, в числителе – произведение передаточных функций прямой цепи системы от входа к выходу, в знаменателе – единица, которая алгебраически суммируется с двумя произведениями, составленными из передаточных функций звеньев

11

каждого контура. Знак перед произведениями противоположен знаку обратной связи в контуре.

Примечание. Следует отметить, что Правило 4 справедливо только для систем с двумя связными контурами ОС. При большем числе контуров оно неприменимо. В качестве подтверждения можно представить запись передаточной функции для системы из трех связных контуров, изображенной на рис. 6.

W6(p)

Рис. 6. Структура системы с тремя связными контурами

Передаточная функция системы имеет следующий вид:

Предлагается самостоятельно убедиться в справедливости формулы (43). Рекомендация: воспользуйтесь классическим подходом к составлению передаточной функции, продемонстрированным на примере двух связных контуров.

Преобразование структуры систем путем переноса обратных связей

Перенос обратной связи позволяет изменять структуру системы, сохраняя неизменной ее передаточную функцию. Как правило, изменение структуры системы делается с целью облегчить решение задач, связанных с разработкой и анализом системы. Например, в результате переноса ОС можно существенно упростить запись передаточной функции для многосвязной системы управления.

С помощью переноса ОС разработчик системы может вывести некоторое звено за пределы контура, или наоборот, внести звено в контур, руководствуясь интересами дела.

12

Вывод звена за пределы контура ОС

Пусть система управления имеет структуру, представленную на рис. 7.

Требуется перенести место начала обратной связи из точки «A» в точку «B», исключив из прямой цепи контура звено W2(p). При этом передаточная функция системы в целом должна сохраниться прежней.

W3(p)

Рис. 7

Согласно Правилу 3 передаточная функция системы, изображенной на рис. 7, записывается следующим образом:

Осуществим намеченный перенос ОС, при котором звено W2(p) оказывается за пределами контура. Для компенсации последствий этого действия необходимо предусмотреть установку дополнительного звена WХ(p) в цепь обратной связи. В результате получается система с видоизмененной структурой, представленная на рис. 8.

Рис. 8

Чтобы записать передаточную функцию видоизмененной системы Wʹ(p), нужно воспользоваться Правилами 1 и 3:

13

Перенос ОС не должен изменять передаточную функцию системы. Это означает выполнение равенства:

Подстановка в равенство (46) выражений для передаточных функций (44) и (45) приводит к соотношению, из которого можно выразить передаточную функцию дополнительного звена Wx(p), обеспечивающего эквивалентность систем до и после переноса ОС.

Из соотношения (47) следует очевидный результат:

Равенство (48) позволяет сформулировать Правило 5. Перенос ОС с целью выведения звена прямой цепи контура за пределы контура требует включения в обратную цепь дополнительного звена, аналогичного выведенному.

Включение звена в контур ОС

Пусть система управления имеет структуру, представленную на рис. 9.

Аналогично перенесем место начала обратной связи из точки «A» в точку «B», включив в прямую цепь контура звено W2(p). Передаточная функция системы в целом должна сохраниться прежней.

W3(p)

Рис. 9

Согласно Правилу 3 передаточная функция системы, изображенной на рис. 9, записывается следующим образом:

14

Осуществим намеченный перенос ОС, при котором звено W2(p) оказывается в пределах контура. Для компенсации последствий этого действия необходимо предусмотреть установку дополнительного звена Wx(p) в цепь обратной связи. В результате получается система с видоизмененной структурой, представленная на рис. 10.

Подставив в (51) выражения для передаточных функций (49) и (50), получим соотношение, из которого можно выразить передаточную функцию дополнительного звена Wx(p), обеспечивающего эквивалентность систем до и после переноса ОС.

Равенство (54) позволяет сформулировать Правило 6. Перенос ОС с целью ввести звено в прямую цепь контура ОС, требует включения в обратную цепь дополнительного звена, с передаточной функцией обратной введенному.

15

Задания для самостоятельного выполнения

В каждом приведенном ниже варианте задания содержится структурная схема системы управления. Требуется записать передаточные функции систем при условии, что известны передаточные функции всех составляющих звеньев.

Системы первого уровня сложности

Вариант 1:

W3(p) W4(p)

Вариант 3:

W3(p) W4(p)

Вариант 4:

y(p)

x(p)

W1(p) W2(p)

W4(p) W3(p)

16

Вариант 5:

x(p)

W1(p)

Вариант 6:

x(p)

W1(p)

Вариант 7:

W5(p) W4(p) W3(p)

W6(p)

17

Системы второго уровня сложности

Вариант 8:

x(p) W1(p) W2(p) W3(p)

Вариант 9:

W5(p) W4(p)

Вариант 10:

W5(p)

W6(p)

18

Вариант 11:

W4(p)

W5(p)

Вариант 12:

19

Вопросы для самоконтроля

1.Приведите примеры ситуаций, требующих знания передаточной функции динамического звена или системы.

2.Дайте определение понятия «передаточная функция».

3.Перечислите типовые способы соединения звеньев.

4.Сформулируйте правила записи передаточной функции системы в случае последовательного и параллельного соединения составляющих звеньев.

5.Поясните порядок действий при классическом подходе к составлению передаточной функции для системы произвольной структуры.

6.Что означает понятие «контур обратной связи»? В чем отличие контуров с положительной и отрицательной обратной связью?

7.Сформулируйте правила записи передаточной функции системы в виде контура

сположительной и отрицательной обратной связью.

8.Как записать передаточную функцию двухконтурной системы, один из контуров которой является вложенным?

9.Дайте определение понятию «связные контура». Как применить классический подход для записи передаточной функции системы из двух связных контуров?

10.Сформулируйте правила записи передаточной функции для системы в виде двух связных контуров. Поясните влияние знака обратных связей на форму записи передаточной функции системы.

11.Для чего применяется прием переноса обратной связи? Поясните перенос ОС на примерах.

12.Сформулируйте правила переноса ОС при введении звена в контур и при удалении звена из контура.

20