Задания / Лаба_3

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

«АНАЛИЗ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРЕМЫ ГИПОТЕЗ (ФОРМУЛЫ БЕЙЕСА)»

Цель лабораторной работы: приобрести навыки анализа информационных процессов о состоянии сложных систем с применением формулы Бейеса (теоремы гипотез).

Методические указания к выполнению лабораторной работы.

Основные понятия теории информационных процессов и систем применяются для получения количественных описаний процессов передачи информации с установлением математических закономерностей, отражающих их сущность. В частности, следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Бейеса.

Сформулируем следующую задачу. Имеется полная группа несовместимых гипотез: H₁, H₂, …, H_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны, соответственно, P(H₁), P(H₂,), …, P(H_n). Произведен опыт исходом которого является реализация некоторого события А. Вопрос: как следует изменить вероятности гипотез в связи реализацией этого события?

По сути, в данном случае необходимо найти условную вероятность P(H_i|A), для каждой гипотезы.

По теореме умножения имеем:

Преобразуя далее, получим:

Выражая P(А) по теореме о полной вероятности получим формулу Бейеса или теорему гипотез:

Пример

Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества; вообще около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, тот его надежность (вероятность безотказной работы) за время t составляет 0,95, а из деталей обычного качества 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

Решение

Возможны две гипотезы.

H₁ – прибор собран из высококачественных деталей,

H₂ – прибор собран из деталей обычного качества.

Вероятности гипотез до опыта:

P (H₁)=0,4; P (H₂)=0,6.

Из опыта установлено событие А – прибор испытывался в течении времени t и работал безотказно. Условные вероятности этого события при гипотезах H₁ и H₂ равны:

P(A|H₁)= 0,95 и P(A|H₂)=0,7.

По формуле Бейеса находим вероятность гипотезы H₁ после опыта:

P (H₁)=0,4·0,95/(0,4·0,95+0,7·0,6)=0,475.

Порядок выполнения работы

1. Из 30 стрелков 12 попадает в цель с вероятностью 0,6, 8 - с вероятностью 0,5 и 10 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

2. В первой и в третьей группах одинаковое число студентов, а во второй – в 1,5 раза меньше, чем в первой. Количество отличников составляет 9% в первой, 4% во второй и 6% в третьей группе. 

а) Найти вероятность того, что случайно вызванный студент – отличник.

б) Случайно вызванный студент оказался отличником. Найти вероятность того, что студент учится в третьей группе.

3. Проводится модернизация выпуска приборной и программной части информационных систем длительное время, находящихся в эксплуатации. На первом этапе выпускается 10% модернизированных информационных систем. Установлено, что вероятность безотказной работы модернизированных систем за время t равна 0,90. Находящиеся в эксплуатации системы характеризуются вероятностью безотказной работы равной 0,8. Информационная система испытывалась в течение времени t и работала безотказно. Определить вероятность того, что информационная система относится к модернизированным системам.

4. Определить, как изменяется вероятность того, что информационная система относится к модернизированным системам со следующим увеличением их количества в процентах: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Полученные результаты свести в таблицу и отразить графически.

5. Определить, как изменяется вероятность того, что информационная система относится к модернизированным системам, если выпускается 40% от общего объема систем, а вероятность безотказной работы модернизированных систем за время t равна 0, 91; 0,93; 0,95; 0,97; 0,99 Полученные результаты свести в таблицу и отразить графически.

6. Оформить отчет и сдать его преподавателю.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение структуры системы, приведите примеры.

2. В чем заключается системный подход при анализе информационных процессов.

3. Перечислите известные методы описания систем.

4. Дайте определение сигналу и приведите их классификацию.

5. В чем особенность дискретных информационных сообщений?

6. Приведите примеры непрерывных сообщений.

7. Дайте определение теоремы умножения вероятностей наступления событий.

8. Что такое независимые события?

9. Что такое условная вероятность наступления события?

10. В чем особенность случайных событий?

11. Что понимается под полной группой событий.

Список использованных источников

1. Душин В.К.Теоретические основы информационных процессов и систем: Учебник.-2-е изд. Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»,2006-348 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа,1969. – 576 с.