Метод найменших квадратів обробки експериментальних даних
На
практиці часто постає задача про
відтворення функціональної залежності
між двома величинами за експериментальними
даними. Нехай
- значення аргумента,
-
здобуті в результаті експерименту
значення функції. Як правило, значення
зазнають впливу випадкових факторів
/похибок вимірювання/. До того ж функція
може мати складний вигляд. Постає питання
про наближене відображення функціональної
залежності між величинами
і
за
допомогою функції
,
яка в якомусь сенсі є “близькою” до
.
У найпростішому випадку
,
а коефіцієнти
a і b вибираються так, щоб вираз
набував найменшого значення.
Розв’язуючи
задачу про знаходження мінімуму функції
двох змінних
,
дістаємо систему рівнянь :
з
якої і знаходимо значення
і
.
Приклад. У результаті проведення експерименту здобуто такі значення і :
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
y |
-1 |
2 |
5 |
6 |
9 |
Знайти
функцію
,
що наближає цю експериментальну
залежність за методом найменших
квадратів, накреслити графік цієї
функції та нанести на координатну
площину результати експерименту.
Обчислимо
коефіцієнти системи для знаходження
і
.
У нашому випадку
.
Звідси
.
Система має вигляд
Розв’язуючи
систему, знаходимо :
/рис.10/.
y = 2,4x – 0,6
90