Підставляючи цей вираз у друге рівняння, здобудемо

З третього рівняння , підставляючи цей вираз у попередню рівність, маємо

звідки . Обчислюючи значення функції в точці , маємо

Оскільки кінці відрізка ІІІ збігаються з кінцями відрізків І і ІІ, то обчислювати значення функції в цих точках немає потреби /вони вже обчислені під час дослідження відрізків І і ІІ, виявилися рівними нулю/.

Підведемо підсумки. У внутрішній частині даної області функція має одну точку екстремуму , що є точкою максимуму, . При дослідженні функції на границі області виявилося, що найбільше її значення на границі досягається у точці з абсцисою 1 і ординатою 1,5, воно дорівнює 2,25 і менше, ніж . Найменше ж значення на границі дорівнює –18 і досягається у точці з абсцисою 3 і ординатою 3.

Відповідь. Найбільше значення функції в області досягається в точці , найменше , досягається в точці .

Градієнт та похідна в напрямі

Якщо задана функція багатьох змінних , де - точка

n – вимірного простору, то цій точці може бути поставлений у відповідність вектор, координатами якого є значення відповідних частинних похідних функцій у точці . Такий вектор називається градієнтом функції :

Приклад 1. Знайти градієнт функції у точці .

Розв’язання. Обчислимо частинні похідні функції :

Підставимо координати даної точки :

Отже,

Відповідь. .

Якщо з кожною точкою простору пов’язане число /скалярна величина/, то говорять, що задане скалярне поле. Прикладами поля можуть бути поле температур у різних точках тіла, поле густин маси в різних точках цього тіла, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску та ін. Градієнт показує напрям максимального зростання скалярного поля при переміщенні з даної точки.

Очевидно, що скалярне поле визначається скалярною функцією трьох змінних x, y, z /якщо простір 3 – вимірний/, яка може залежати також від часу t /нестаціонарне скалярне поле/.

Якщо з кожною точкою простору пов’язаний вектор, то говорять, що задане векторне поле, яке визначається векторною функцією /стаціонарне векторне поле/ чи функцією /нестаціонарне поле/.

Якщо у скалярному полі задана точка і вказано деякий промінь, що виходить з цієї точки, то можна ввести поняття похідної в напрямі даного променя від даного скалярного поля /від функції / у цій точці.

Нехай точка лежить на відстані від точки на даному промені, а промінь утворює з додатними напрямами осей координат відповідно кути . Тоді вектор , як відомо має, має координати / /, а похідною у напрямі променя , обчисленою в точці , називається границя