14. Неявно задані функції багатьох змінних та їх диференціювання. Екстремуми, найбільше і найменше значення функції багатьох змінних в області Якщо задане рівняння

,

то воно може визначати змінну як функцію незалежних змінних , задану неявно.

Наприклад : рівняння можна розв’язати відносно змінної , що приводить до виразу .

Але не завжди можна перейти від неявного задання функції кількох змінних до її явного задання.

Говорять, що функція змінних задана неявно, існує в області , якщо для довільної точки існує одне й тільки одне значення , що задовольняє рівняння

.

Розглянемо умови існування неявно заданої функції багатьох змінних на прикладі функції двох змінних , яка неявно задана рівнянням .

Теорема. Якщо функції визначені та неперервні при , ,

то існує такий окіл точки , в якому рівняння визначає функцію , що є неперервною та диференційовною в цьому околі, причому .

Частинні похідні неявно заданої функції двох змінних можна знайти за формулами

.

Приклад 1. Знайти частинні похідні функції, заданої неявно рівнянням

,

в точці .

Розв’язання. У нашому випадку . Знайдемо частинні похідні цієї функції за змінними :

Звідси

Підставляючи в ці рівняння координати даної точки, маємо

Відповідь. .

Говорять, що функція має максимум /мінімум/ у точці , якщо існує такий окіл точки , що для будь – яких , що входять до цього околу,

.

Максимуми та мінімуми функції називають її екстремумами.

Розглянемо питання про знаходження точок екстремуму функцій багатьох змінних на прикладі функції двох змінних.

Необхідною умовою того, що функція має екстремум у точці , є умова : кожна з похідних та або дорівнює нулю, або не існує.

Точки , в яких

,

називають стаціонарними точками функції.

Не всі стаціонарні точки є точками екстремуму функції.

Введемо позначення

і сформулюємо теорему про достатні умови екстремуму.

Теорема. Нехай - стаціонарна точка функції . Тоді

а/ якщо , то при точка є точкою максимуму функції , а при - точкою мінімуму;

б/ якщо , то точка не є точкою екстремуму функції;

в/ якщо , то необхідне подальше дослідження.

Приклад 2. Дослідити на екстремум функцію

.

Розв’язання. Знайдемо спочатку стаціонарні точки для даної функції :

Звідси .

Маємо дві стаціонарні точки .

Обчислимо вираз і знайдемо його значення в стаціонарних точках :

у точці екстемуму немає.

у точці має місце екстремум. Оскільки при

то -точка мінімуму.

Відповідь. Дана функція має одну точку екстремуму - точку мінімуму, .

Функція має в точці умовний максимум /мінімум/, якщо для будь – якої точки , що належать деякому околу точки , а координати її задовольняють рівняння :

Задачу знаходження умовного екстремуму можна звести до задачі знаходження звичайного /безумовного/ екстремуму функції Лагранжа :

Приклад 3. Знайти умовний екстремум функції за умови .

Розв’язання. Зазначимо спершу, що з геометричного погляду мова тут йтиме про найбільше і найменше значення даної функції за умови, що її аргументами будуть координати точок кола .

Складемо функцію Лагранжа для даної задачі :

.

Обчислимо її частинні похідні та зрівняємо їх до нуля :

З першого рівняння , з другого .

Підставляючи ці значення в третє рівняння, маємо

, звідки . Знаходячи відповідні значення , дістанемо дві точки

.

Для визначення того, чи є вказані точки точками екстремуму, і якщо є, то якими саме, обчислимо значення другого диференціала функції у цих точках, вважаючи параметром.

Оскільки

.

то .

Оскільки при , то у точці маємо умовний мінімум, рівний . Відповідно при , у точці маємо умовний екстремум;

.

Відповідь. Точка умовного мінімуму , умовний мінімум ; точка умовного максимуму , умовний максимум .

Як вже зазначалося, для функції двох змінних задача про знаходження умовного екстремуму може інтерпретуватися як задача знаходження екстремумів функції на деякій лінії. Об’єднуючи методи пошуку умовного та безумовного екстремумів, можна знаходити найбільші та найменші значення функції двох змінних у замкнених областях.

Приклад 4. Знайти найбільше та найменше значення функції у трикутнику, обмеженому прямими .

Розв’язання. Знайдемо спочатку стаціонарні точки для данної функції :

Віднімаючи від першого рівняння друге, маємо , звідки . Отже, або . Підставляючи у перше рівняння системи .

Підставляючи в те саме рівняння , маємо , звідки , відповідно . Остаточно маємо чотири точки . Враховуючи, що нас цікавить лише значення функцій при вказаних обмеженнях на значення її аргументів, відкидаємо точки , що не належать цій області /рис. 9/.

Щоб визначити характер точок, обчислимо другі похідні функції і відповідно значення виразу у цих точках :

Рис. 9

Оскільки , а другі похідні ,

то - точка максимуму;

.

Обчислимо значення в точці :

,

отже, в цій точці екстремуму функція не має.

Перейдемо до дослідження функції на границі області. Як видно з рисунка, границя складається з трьох частин : відрізка І - ,

відрізка ІІ - , відрізка ІІІ - .

Найбільше і найменше значення функції на відрізках І і ІІ визначимо через просту підстановку відповідних значень одного з аргументів у функцію і дослідження здобутих функцій однієї змінної. Так, на відрізку І звідки . Отже, найбільше і найменше значення функції на цьому відрізку збігаються і дорівнюють нулю. На відрізку ІІ , звідки . Дослідимо цю функцію однієї змінної на інтервалі :

Отже, точка, що має ординату 1,5, є точкою максимуму /на відрізку І/. Легко побачити, що на кінцях відрізка функція набуває значення . Отже, на відрізку ІІ функція має найбільше значення 2,25, якщо , і найменше значення –7, що досягається в точці з ординатою 5. На відрізку ІІІ скористаємося функцією Лагранжа :

.

Знайдемо її частинні похідні :

Зрівнюючи їх до нуля, маємо систему рівнянь

З першого рівняння визначимо