3.5.3. Навчальні завдання для самостійної роботи студентів Питання для самоперевірки

1. Які моделі охоплює поняття «лінійні параметричні моделі часових рядів»?

2. Як виглядає загальна лінійна модель стаціонарного ряду.

3. Назвіть властивості загальної лінійної моделі стаціонарного ряду.

4. Яка умова обернення моделі ковзної середньої МА(q)?

5. Яка умова стаціонарності моделі авторегресії AR(p)?

6. Які кроки дій передбачає методика Бокса-Дженкінса?

7. Яка умова стаціонарності моделі ARМА(p,q)?

8. Як ідентифікувати модель ARМА(p,q)?

9. Як за графіками функцій вибіркової автокореляції й вибіркової часткової автокореляції визначити порядок моделі ARМА(p,q)?

10. Які методи застосовуються для оцінювання моделі ARМА(p,q)?

11. Які критерії вибору кращої моделі ARМА(p,q)?

12. Як у моделі ARІМА врахувати сезонність?

13. На якій підставі робиться висновок про адекватність моделі ARМА(p,q)?

14. Що означає ідентифікація моделі ARІМА(p,q)?

15. Як визначається критерій не стаціонарності у проявах автокореляційної функції?

16. Вибіркова автокореляційна функція процесу із лагом 1 має викид. Усі інші значення не значущі. Яка це модель?

17. Вибіркова часткова автокореляційна функція процесу із лагом 1 має викид. Усі інші значення не значущі. Яка це модель?

18. Якщо параметр ковзної середньої моделі МА(q) від’ємний, то як поводиться часткова автокореляційна функція?

19. Як виглядають залишки ряду, коли побудована модель є адекватною?

20. Як ви вважаєте, чи можна на короткій траєкторії ряду отримати більш точні оцінки параметрів моделі ARМА(p,q), ніж на довгій? Проведіть числовий експеримент у STATISTICA.

21. Чи діє таке правило визначення точності оцінок: чим сильніші коливання в траєкторії процесу ARМА(p,q, тим менш точною є оцінка? Проведіть числовий експеримент у STATISTICA.

22. Яка опція у STATISTICA додає прогнози до спостережень ряду?

23. Де задається інтервал надійності прогнозу?

24. Що станеться, якщо прогноз побудований за допомогою неадекватної моделі?

Вправи та завдання

1. Діяльність підприємства "Весна" була описана у темах 1-4 (вправа 1). Наступним кроком є спроба застосування методу Бокса-Дженкінса для прогнозування обсягів щомісячних доходів від прокату. Без сумніву, підприємець розуміє, що ця процедура набагато складніша за тих простих методів, які він вже випробував, і те, що використовуючи цей прогресивний метод, можна досягти більшої точності прогнозування. До того ж у нього є пакет STATISTICA, який дозволяє працювати із моделями ARIMA.

Підприємець вирішив використати увесь набір даних, які включають значення щомісячних доходів від прокату за 96 місяців. Він знав, що моделі ARIMA дозволяють враховувати сезонну структуру часового ряду, кореляцію між місяцями, тощо.

Для наявних даних була обчислена функція вибіркової автокореляції, графік якої наведений у завданні теми 2 на рис.3.2.2. Аналіз показав, що зібрані дані мають тренд і циклічні коливання із періодом 12 місяців. Тоді були розраховані перші різниці цих даних і коефіцієнти автокореляції для одержаних різниць (рис. 3.2.4). Істотна відмінність від нуля коефіцієнтів автокореляції на інтервалах 12 та 24 свідчила про наявність у даних сезонності, для усунення якої можливо, додатково знадобиться перейти до сезонних різниць. Функція вибіркової автокореляції після знаходження перших і сезонних різниць представлена на рис. 3.5.1. Функція вибіркової часткової автокореляції для тих самих різниць представлена на рис. 3.5.2.

Рис. 3.5.1. Функція автокореляції для перших різниць, обчислених для дан­их про доходи компанії "Весна"

Рис. 3.5.3. Функція автокореляції для перших різниць, обчислених для дан­их про доходи компанії "Весна"

питання

Проаналізуйте графіки автокореляції (рис.4.5.1) та часткової автокореляції (рис.4.5.2) та поясніть, які несезонні складові можна включити в модель ARIMA? Які сезонні складові можна включити у цю модель?

Скористайтеся комп’ютерною програмою, яка дозволяє працювати із моделлю ARIMA, для вибору та перевірки моделі, враховуючи усі особливості даних про обсяги доходів підприємства “Весна”. За допомогою цієї моделі розрахуйте прогноз доходів підприємства на наступні 12 місяців.

2. Якщо усі коефіцієнти автокореляції попадають в середину 95% інтервалу надійності і у них не спостерігається певної структури, то який висновок можна зробити про процес?

3. Якщо три перші коефіцієнти автокореляції додатні, суттєво відрізняються від нуля і у сукупності усі значення коефіцієнтів автокореляції поступово згасають до нуля, то про який процес іде мова?

4. Якщо для квартальних даних коефіцієнти автокореляції r₄, r₈ та r₁₂ значно перевищують нуль, то що можна сказати про процес?

5. За даними 30 місяців заданого часового ряду були одержані вибіркові коефіцієнти автокореляції рівнів цього ряду:

r₁ = 0.63; r₂ = 0.38; r₃ = 0.72; r₄ = 0.97; r₅ = 0.55; r₆ = 0.40; r₇ = 0.65.

а) Охарактеризувати структуру ряду, використовуючи графічне відображення.

б) Для прогнозування майбутніх значень пропонується побудувати авторегресійну модель. Обрати найкраще рівняння авторегресії, обґрунтувати вибір параметрів. Записати загальний вид цього рівняння.

2. Виразити нижченаведену модель за допомогою лагових поліномів, визначити, чи є вона стаціонарною та чи може бути оберненою?

.

2. Виразити нижченаведену модель за допомогою лагового поліному, визначити, чи є вона стаціонарною, знайти еквівалентний МА запис.

2. Відомі наступні значення рівнів безробіття у_t (%) за 8 місяців:

Місяць …. 1 2 3 4 5 6 7 8

y_t ………. 8,8 8,6 8,4 8,1 7,9 7,6 7,4 7,0

Визначити, до якого класу належить даний динамічний ряд (стаціонарний або нестаціонарний), у разі не стаціонарності сформувати стаціонарний процес та визначити ступінь його інтегрування.

2. Додайте пропущену інформацію в табл.. 3.6.3, зазначивши, коли коефіцієнти автокореляції й часткової автокореляції у цих моделях згасають або спадають миттєво.

Таблиця 3.5.3

Характеристики основних типів моделей

Модель	Автокореляції	Часткові автокореляції

2. У наступній таблиці наведені останні п’ять спостережень набору даних із 75 значень.

Період	Час (t)	Значення (Yt)	Прогнози ( )	Залишки (et)
t-4	71	90	76,1	13,9
t-3	72	78	69,1	8,9
t-2	73	87	75,3	11,7
t-1	74	99	72,0	27,0
t	75	72	64,3	7,7
t+1	76		80,6
t+2	77

Побудувати точковий та інтервальний прогнози на один крок випередження за допомогою моделі МА(2), використовуючи дані таблиці, якщо відомі наступні оцінки моделі: 75,4; -0,5667; 0,3560; 137,9.

2. Дві оцінені моделі ARIMA є адекватними. Перша – це модель AR(1) із параметрами (включаючи постійний член) та Другою є модель МA(2) із параметрами (включаючи постійний член) та Для обох моделей були розраховані критерії AIC та SIC, як показано нижче.

AR(1):

МA(2):

Зробіть висновок про кращу з двох моделей.

2. Використовуючи умову завдання 13, побудувати точковий та інтервальний прогнози на два кроки випередження за допомогою моделі МА(2).

3. Припустімо, до даних спостережень застосовується наступна модель часового ряду і адекватність її доведена.

.

Першими спостереженнями є Y₁=32,5; Y₂=36,6; Y₃=33,3; Y₄=31,9. Припустімо, що 35 та 0. Побудуйте прогноз для періодів 5,6, та 7, прийнявши за початкову точку прогнозування період 4.

2. Знайдіть інтервал надійності із 95% рівнем значущості для коефіцієнта автокореляції із запізненням на один період для часового ряду, що містить 80 значень.

3. У наступній таблиці наведені останні п’ять спостережень набору даних із 75 значень.

Період	Час (t)	Значення (Yt)	Прогнози ( )	Залишки (et)
t-4	71	90	76,1	13,6
t-3	72	78	67,5	10,5
t-2	73	87	74,0	13,0
t-1	74	99	69,1	29,9
t	75	72	62,7	9,3
t+1	76		77,2

Побудувати точковий та інтервальний прогнози на один крок випередження за допомогою моделі АR(2), використовуючи дані таблиці, якщо відомі наступні оцінки моделі: 115,2; -0,535; 0,0055; 150,9.

2. За даними завдання 17 побудувати точковий та інтервальний прогнози на два кроки випередження за допомогою моделі АR(2).