Решение типовых примеров
Пример 1.
Решить уравнение
.
Решение:
Преобразуем данное уравнение:
Разделив обе части последнего уравнения
на
,
получим:
или
.
Случаю
соответствуют два дополнительных
решения
.
Отметим,
что уравнение
можно упростить, взяв синус от обеих
его частей:
или
Ответ:
,
.
Пример 2.
Решить уравнение
.
Решение:
Разделив данное уравнение на
,
получим
.
Тогда
.
Дополнительные
решения
,
определяемые
из условия
,
получаются
из общего интеграла при
.
Ответ:
.
Пример 3.
Найти решение уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
.
Решение:
(подставили в общий интеграл начальные
условия
),
.
Ответ:
.
Пример 4.
Решить уравнение
.
Решение:
(
),
,
.
Ответ:
.
Пример 5.
Решить уравнение
.
Решение:
,
.
При
,
.
Так как
– решения, то
.
Ответ: .
Пример 6.
Решить уравнение
Решение:
где
;
или
а так как
– решение, то
Ответ:
.
Пример 7.
Решить уравнение
.
Решение:
.
Но
–
решение, поэтому
или
.
Ответ:
.
Пример 8.
Решить уравнение
Решение:
Ответ:
.
Пример 9.
Решить уравнение
Решение:
.
Ответ:
Пример 10.
Решить уравнение
Решение:
Ответ:
Пример 11.
Решить уравнение
Решение:
Ответ:
Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения:
1.
,
. 2.
.
3.
.
4.
5.
. 6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
при
.
11.
при
.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
.
21.
22.
23.
24.
.
25.
Ответы: 1.
.
2. 
3. 
.
4. 
,
.
5. 
.
6. 
7. 
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
12. 
.
13. 
.
14. x
15. 
16. 
17. 
. 18. 
19. 
20. 
.
21. 
22. 
23. 
24. 
.
25. 
§ 2. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
К уравнениям с
разделяющимися переменными после
надлежащей подстановки приводятся
однородные дифференциальные уравнения
n-го
порядка. Под однородным дифференциальным
уравнением 1-го порядка мы понимаем
уравнение
,
когда в нем функция
представляет собой однородную функцию
переменных
и
нулевой степени однородности и,
следовательно, зависит от их отношения.
Функция
называется однородной
степени
,
если она удовлетворяет тождеству
при любом
.
Полагая
,
получаем:
или
.
Обе переменные равноправны; поэтому
также
.
Таким образом, рассматриваемые уравнения будут иметь вид:
. (1)
Подстановкой
мы добиваемся разделения переменных.
Так как
,
то
,
то подставляя в уравнение (1), получаем:
,
или
(2)
предполагая, что
и
,
разделяем
переменные и интегрируем:
,
Обозначая
через
,
получаем общий интеграл уравнения (1) в
виде:
. (3)
Так как подстановка
привела нас к уравнению с разделяющимися
переменными, то, опираясь на теорему об
этих уравнениях, можем утверждать, что,
если на некотором интервале
непрерывна [для этого достаточно
непрерывности
]
и не обращается в нуль, то в области
,
такой, что
,
,
уравнение (2) имеет общий интеграл,
выражаемый в квадратурах, и через каждую
точку
области
проходит единственная интегральная
кривая. Это же справедливо и для данного
уравнения (1), из которого уравнение (2)
получено подстановкой. При этом область
(
,
или
,
),
представляет внутреннюю часть двух
вертикальных углов, ограниченных прямыми
и
,
причем берутся те два угла, которые не
содержат оси
,
поскольку
.
Таким образом, является справедливой следующая теорема 1-го порядка.
Теорема.
Однородное
дифференциальное уравнение
при
условии, что
непрерывна и
на интервале
,
имеет общий интеграл, выражаемый в
квадратурах. При этом через каждую точку
области
,
лежащей внутри вертикальных углов,
ограниченных прямыми
и
,
не содержащей прямой
,
проходит единственная интегральная
кривая.
В случае же, если
найдутся такие значения
,
при которых
,
каждому такому
,
будет отвечать решение
,
или
,
не вытекающее из общего интеграла.
Следует отметить,
что в том случае, когда
,
дифференциальное уравнение является
уравнением с разделяющимися переменными.
Для этого уравнения, как и вообще для
уравнения (1), начало координат
является особой точкой.
Уравнение в симметрическом виде
(4)
является однородным,
когда
– однородные функции одной и той же
степени однородности:
,
.
В этом случае
подстановка
приводит к разделению переменных.