Глава II. Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах

Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно производной, если производную выразить через отношение дифференциалов, следующий:

. (1)

Рассмотрим основные типы уравнений вида (1), интегрируемых в квадратурах.

§ 1. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение (1) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция представляет собой произведение функции переменной на функцию переменной :

. (2)

Предполагая и непрерывными в промежутках и соответственно и в , деля на и умножая на , мы добиваемся разделения переменных:

. (3)

Функции и непрерывны, а, следовательно, имеют первообразные: и . Поэтому (3) может быть переписано в виде:

. (4)

Из равенства дифференциалов двух функций (здесь рассматривается как функция от , определяемая дифференциальным уравнением) заключаем, что сами функции отличаются на постоянную:

, (5)

или

. (6)

Соотношение (5), или (6) и представляет собой общий интеграл уравнения (3), так как это соотношение, переписанное в виде

, (7)

удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции; производные и непрерывны в области и . Поэтому уравнение (7) определяет как функцию от , непрерывную и дифференцируемую, причем

,

т. е. функции, определяемые уравнением (7), а, следовательно, и (6), являются решениями данного дифференциального уравнения.

Замечание 1. При различных значениях получаются различные функции. При фиксированном (выбор определяется начальными условиями ) решение единственное.

Замечание 2. Всякая функция , являющаяся решением данного уравнения (2), тождественно ему удовлетворяющая, должна удовлетворять и вытекающему из него соотношению (5) или (6). Таким образом, (6) действительно является общим интегралом. Кроме того, из (4) видно, что любые начальные условия из Q однозначным образом определяют надлежащее значение и, следовательно, соответствующее единственное решение.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема. Если в уравнении с разделяющимися переменными функции и непрерывны в интервалах и соответственно и , то общий интеграл этого уравнения выражается в квадратурах:

.

причем заданием начальных условий , где ‑ любая точка прямоугольника определяется единственное решение этого уравнения.

Интеграл (7) дифференциального уравнения, определяющий решение, удовлетворяющее начальным условиям, можно переписать в виде: или

Замечание. Если при некотором , то дифференциальное уравнение (2) имеет решение . Но так как интеграл при не существует (по крайней мере, как собственный), то это решение не входит в состав общего интеграла (6). Поэтому, если в дифференциальном уравнении , то уравнение, кроме общего интеграла, имеет еще решение , не получающееся из общего. Будет ли при этом решение особым? Этот вопрос требует специального рассмотрения.

Уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме имеет вид:

. (8)

Разделяя в нем переменные и интегрируя, получаем общий интеграл:

.

При этом, если или , то, кроме общего интеграла, будут еще решения: и , не получаемые из общего; соответствующие им интегральные кривые – прямые, параллельные осям координат.

Интеграл, удовлетворяющий начальным условиям , запишется в виде:

.