Глава I введение

1.Предмет теории колебаний

Пусть состояние системы в каждый момент времени t описывается некоторым набором параметров: u(t), x(t), y(t) и т. д. Они могут иметь различную физическую или иную природу; например, отклонение массы, т емпература в данной точке среды, напряжение в заданной точке твёрдого тела, угол поворота маховика. Нередко ситуация такова, что известны начальное состояние системы и внешние воздействия . И далее задача состоит в том, чтобы предсказать дальнейшую эволюцию системы во времени: (рис. 1).

П усть одной из изменяющихся характеристик системы будет u , t . Могут быть различные характерные разновидности его изменения во времени: монотонный (рис. 2), немонотонный (рис. 3), существенно немонотонный (рис.4).

Процесс изменения параметра, который характеризуется многократным поочередным возрастанием и убыванием параметра во времени, называется колебательным процессом или просто колебаниями. Колебания широко распространены в природе, технике и человеческой деятельности: ритмы головного мозга, колебания маятника, биение сердца, колебания звезд, колебания атомов и молекул, колебания силы тока в электрической цепи, колебания температуры воздуха, колебания цен на продукты питания, вибрация звука, вибрация струны музыкального инструмента.

Предметом изучения данного курса являются механические колебания, т. е. колебания в механических системах.

2. Классификация колебательных систем1

Пусть u(х, t) – вектор состояния системы, f(х, t) – вектор воздействий на систему со стороны окружающей среды (рис. 1). Динамика системы описывается операторным уравнением

L u(х, t) = f(х, t), (1)

где оператор L задаётся уравнениями колебаний и дополнительными условиями (граничными, начальными). В таком уравнении u и f могут быть и скалярными величинами.

Наиболее простая классификация колебательных систем может быть произведена по их числу степеней свободы. Число степеней свободы – это количество независимых числовых параметров, однозначно определяющих конфигурацию системы в любой момент времени t. По этому признаку колебательные системы можно относить к одному из трёх классов:

1)Системы с одной степенью свободы.

2)Системы с конечным числом степеней свободы. Они часто называются также дискретными системами.

3)Системы с бесконечным несчётным числом степеней свободы (континуальные, распределённые системы).

Н а рис. 2 приведён ряд иллюстрирующих примеров по каждому их классов. Для каждой схемы в кружочках указано число степеней свободы. На последней схеме представлена распределённая система в виде упругой деформируемой балки. Для описания её конфигурации требуется функция u(x, t), т. е. бесконечное множество значений u.

Каждому классу колебательных систем соответствует своя математическая модель. Например, система с одной степенью свободы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, системы с конечным числом степеней свободы – системой обыкновенных дифференциальных уравнений, распределённые системы – дифференциальными уравнениями в частных производных.

В зависимости от типа оператора L в модели (1) колебательные системы делятся на линейные и нелинейные. Система считается линейной, если соответствующий ей оператор является линейной, т. е. удовлетворяет условию

(2)

при любых числовых множителях α₁ и α₂. Если условие (2) не выполняется, то система называется нелинейной.

Д ля линейных систем справедлив принцип суперпозиции (принцип независимости действия сил). Суть его на примере (рис. 3) двух внешних воздействий f₁(t) и f₂(t) состоит в следующем. Автономно каждому из воздействий соответствуют реакции u₁(t) и u₂(t). Суммарному же воздействию f₁(t) + f₂(t) отвечает состояние системы u₁(t) + u₂(t).

С тационарные и нестационарные системы. У стационарных систем на рассматриваемом отрезке времени , свойства во времени не изменяются. В противном случае системы называется нестационарными. Следующие два рисунка наглядно демонстрируют колебания в таких системах. На рис. 4 показаны колебания в стационарной системе при установившемся режиме, на рис. 5 - колебания в нестационарной системе.

Процессы в стационарных системах описываются дифференциальными уравнениями с коэффициентами, постоянными во времени, в нестационарных системах – с переменными коэффициентами.

Автономные и неавтономные системы. В автономных системах внешние воздействия отсутствуют. Колебательные процессы в них могут происходить лишь за счёт внутренних источников энергии или же за счёт энергии, сообщённой системе в начальный момент времени. В операторном уравнении (1) тогда правая часть не зависит от времени, т. е. f(x, t) = f(x). Остальные системы являются неавтономными.

Консервативные и неконсервативные системы. С истема называется консервативной, если её полная механическая энергия (сумма потенциальной и кинетической энергий) остаётся постоянной в процессе колебаний, в противном случае - неконсервативной. В реальных системах рассеяние энергии всегда имеет место. Однако во многих случаях оно происходит так медленно и степень его влияния на колебания столь незначительна, что рассеянием энергии можно пренебречь. Тогда мы приходим к идеализированной колебательной системе в виде консервативной системы. Система, состоящая из массы и упругой пружины, при пренебрежении силами трения представляет консервативную систему (рис. 6), а с учётом сил трения – неконсервативную систему (рис. 7).