2. Закон количества движения

Общие законы динамики материальной точки устанавливают зависимость между изменением динамических мер движения материальной точки и мерами действия сил, приложенных к этой точке.

Количеством движения материальной точки называется вектор, равный произведению массы точки на ее скорость и имеющий направление скорости, т.е.

Единица измерения количества движения:

Количество движения можно спроектировать на координатные оси, т.е.

Импульсом постоянной силы называется вектор, равный произведению силы на время ее действия и имеющий направление силы, т.е.

где t₂ и t₁ - конечный и начальный моменты времени. Единица измерения импульса силы:

т.е. импульс силы измеряется в тех же единицах, что и количество движения. Закон изменения количества движения формулируется так: изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу приложенной к ней силы за тот же промежуток времени..

Рис. 3.

При прямолинейном движении точки А (рис. 3) под действием постоянной силы, согласно основному закону динамики, ускорение точки есть величина постоянная и она движется равнопеременно. Скорость точки А в произвольный момент времени определяется по формуле равнопеременного движения, т.е.

Умножив обе части основного закона динамики на время t = t₂ - t₁ , получим

Выразив из формулы равнопеременного движения at = V₂ - V₁ и подставив его в последнюю формулу, получим:

Исходя из того, что произведение Р∙t является импульсом силы S = Pt, окончательно имеем:

Если к материальной точке приложено несколько постоянных сил, то изменение количества движения будет равно сумме (алгебраической, если силы действуют по одной прямой или векторной, если силы действуют под углом друг к другу) импульсов данных сил, т.е.

Пример 1.

Тело движется по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а = 30° из состояния покоя (рис. 4). Определить время t, в течение которого скорость движения достигнет 13,9 м/с, если коэффициент трения f = 0,25.

Решение.

1. Рассматриваемое тело движется под действием силы тяжести G, силы трения Т и нормальной реакции N.

Рис. 4.

2. Разложим силу тяжести G на две составляющие G₁ и G₂ перпендикулярно и параллельно наклонной плоскости и применим закон изменения количества энергии

3. Проектируя данное векторное уравнение на наклонную плоскость, получим:

4. Применяя основной закон трения, находим составляющую G₂ и силу трения Т, т.е.

5. Подставляя найденные значения G₂ и Т учитывая, что V₁ = 0, получим:

6. Решая данное уравнение относительно времени t и учитывая, что

получим:

3. Потенциальная и кинетическая энергия

Механической энергией называется энергия перемещения и взаимодействия тел. Она бывает двух видов: потенциальная или энергия положения, и кинетическая, или энергия движения.

Потенциальной энергией силы тяжести материальной точки или •тела называется .способность тела или тонки совершать работу при опускании с некоторой высоты до нулевого уровня (уровня моря). Она численно равна работе силы тяжести, произведенной при перемещении с нулевого уровня в данное положение. Потенциальная энергия П определяется по формуле

П = G ∙ Н

где G - сила тяжести тела или точки;

Н - высота центра тяжести тела.

Потенциальная энергия измеряется в единицах работы.

Кинетической энергией называется энергия, которой обладает всякая материальная точка при движении. Она равна половине произведения массы точки на квадрат ее скорости и обозначается буквой Е, т.е.

Кинетическая энергия - величина скалярная и всегда имеет положительное значение.

Единица измерения кинетической энергии:

т.е. имеет размерность работы.

Поскольку твердое тело или механическая система представляет собой n -ое количество материальных точек, поэтому кинетическую энергию твердого тела можно представить как сумму кинетических энергий всех точек этого тела или системы, т.е.

При поступательном движении твердого тела кинетическая энергия определяется по формуле

где V_c — скорость центра тяжести тела или любой точки тела;

М - масса всего твердого тела.

Таким образом, кинетическая энергия поступательно двигающегося тела равна половине произведения массы всего тела на квадрат скорости любой точки этого тела.

При вращательном движении, когда скорость произвольной точки тела пропорциональна расстоянию от оси вращения до точки, т.е. V_i = ω_i r_i , кинетическая энергия будет равна

Величина Σ m_i r²_i называется моментом инерции массы тела относительно оси и обозначается буквой I

Единица измерения момента инерции:

Момент инерции массы тела относительно оси есть сумма произведений масс материальных точек, составляющих это тело, на квадрат их расстояний до этой оси.

Следовательно, кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения квадрата угловой скорости на момент инерции массы тела относительно оси его вращения, т.е.

При плоскопараллельном движении твердое тело совершает сложное движение: поступательное вместе с полюсом (полюс — это точка, вокруг которой происходит относительное вращательное движение) и вращательное вокруг полюса. В этом случае кинетическая энергия твердого тела при плоскопараллельном движении равна сумме кинетических энергий в поступа-

тельном движении вместе с центром тяжести и вращательном движении вокруг центральной оси перпендикулярной основной плоскости, т.е.