Индивидуальные задания для внеаудиторной работы.

Задание 1.

Тема: Элементы комбинаторики. Классическое определение

вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Задание 2.

Тема: Повторные независимые испытания.

Задание 3.

Тема: Случайные величины.

Задание 4.

Тема. Законы распределения случайных величин.

Задание 1.

(Решение одной из задач № 1-30 можно заменить на выполнение творческого задания из № 31-45)

1. а) группа обучающихся ветеринарных врачей состоит из 22 человек. Группа для отправки на практику в Омскую область должна состоять из 11 человек. Сколькими способами можно выбрать эту группу людей?

б) решите уравнение .

в) в городе находятся 30 продовольственных и 10 непродовольственных магазинов. Случайным образом для приватизации отобрано 5 магазинов. Какова вероятность того, что среди отобранных магазинов хотя бы один непродовольственный?

г) имеется 10 одинаковых бидонов с молоком. В 3 бидонах жирность молока составляет 3,4%, в 2 – 3,6%, в 2 – 3,8%, а в остальных – 4%. Какова вероятность того, что молоко из бидона, выбранного случайно, имеет жирность не ниже 3,5%?

2. а) в группе 12 районов, каждые 2 района связаны договором о взаимной торговле. Сколько договоров обеспечивают торговлю между этими районами?

б) докажите справедливость равенства: .

в) в коробке лежат 5 близких по диаметру сверл. Случайным образом сверла извлекают из коробки. Какова вероятность того, что они будут извлечены в порядке возрастания их диаметра?

г) вероятность того, что футболист №1 забьет гол с пенальти, равна 0,9, вероятность того, что футболист №2 забьет гол в пенальти, – 0,85. Найти вероятность того, что хотя бы один из этих футболистов забьет гол с пенальти.

3. а) в библиотеке 6 книг одного автора, из них надо выбрать 3 для обзора произведений. Сколькими способами это можно сделать?

б) решите уравнение .

в) в районе 100 поселков. В пяти из них находятся пункты проката сельхозтехники. Случайным образом отобраны два поселка. Какова вероятность того, что в одном из них окажется пункт проката?

г) в начале шахматной партии ход делают белые. Какова вероятность того, что ход сделан пешкой?

4. а) сколькими различными способами можно разместить в ряд на вешалке 5 пальто?

б) докажите, что .

в) предприятие обеспечивает регулярный выпуск продукции при безотказной поставке комплектующих от двух производителей. Вероятность отказа в поставке продукции от первого из производителей равна 0,07, второго – 0,02. Найти вероятность сбоя в работе предприятия.

г) в книге 155 страниц. Какова вероятность того, что номер открытой наугад страницы, является кратным 3?

5. а) сколько можно составить сигналов с помощью 6 флажков разного цвета, используя для одного сигнала 2 флажка?

б) решите уравнение: .

в) на карточках написаны буквы алфавита А, Б, В, Г, К Л, О, У. Какова вероятность того, что, составив карточки наугад в ряд, получили фамилию известного писателя?

г) в магазине имеются 15 женских и 7мужских шуб. Для анализа качества отобрали 4 шубы случайным образом. Какова вероятность того, что среди отобранных шуб хотя бы одна мужская?

6. а) сколькими различными способами можно разместить в ряд на прилавке 7 арбузов?

б) докажите, что .

в) комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество продуктов в двух из 20 магазинов, среди которых находятся и два известных вам магазина. Какова вероятность того, что в течение месяца они оба будут проверены?

г) в книге 250 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

7. а) в экзаменационные билеты включены 16 вопросов по математическому анализу и 16 вопросов по теории вероятностей. Сколько билетов можно составить из этих вопросов, если каждый билет содержит два вопроса по математическому анализу и два вопроса по теории вероятностей, причем каждый из вопросов включен только в один из билетов?

б) проверьте равенство .

в) вероятность того, что студент Иванов опоздает на занятие равно 0,6, а вероятность опоздания студента Петрова - 0,7. Найти вероятность того, что только один студент из двух названных опоздает на занятие.

г) в библиотеке на полке расставлено 18 учебников по математике, причем только 4 из них рекомендовано для студентов биологических специальностей. Студент наугад берет 2 учебника. Какова вероятность того, что оба учебника ему нужны?

8. а) в кондитерской имеется 15 разных видов пирожных. Сколькими способами можно составить набор из 5 пирожных разного вида?

б) вычислите .

в) с разных позиций по мишени выпускают 4 выстрела. Вероятность попадания первым выстрелом 0,1, вторым – 0,2, третьим – 0,3, четвертым – 0,4. Какова вероятность того, что при всех четырех выстрелах допущены промахи?

г) четырехтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Найти вероятность того, что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо.

9. а) сколько музыкальных альбомов, каждый из которых содержит 15 песен, можно составить из 35 песен?

б) решите уравнение .

в) вероятность обнаружения туберкулезного заболевания при одной рентгеноскопии равна 0,75. Чему равна вероятность того, что заболевание будет раскрыто при двух рентгеноскопиях?

г) из партии, в которой 30 деталей без дефектов и 4 с дефектами, берут наудачу 2 детали. Найти вероятность того, что все они без дефектов.

10. а) в вагоне 12 свободных мест, сколькими способами можно разместить на этих местах 7 человек?

б) вычислите .

в) вероятность улучшения спортсменом личного достижения по прыжку с шестом равна 0,4. Чему равна вероятность того, что спортсмен улучшит свой результат, если ему предоставлены две попытки?

г) все натуральные числа от 1 до 20 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны наудачу взята одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется простым; не простым и не составным ?

11. а) сколько существует способов посадить за одну парту двух из 6 учеников?

б) решите уравнение: .

в) на станцию прибыли 10 вагонов продукции (вагоны пронумерованы от одного до десяти). Найти вероятность того, что среди отобранных для контрольного вскрытия пяти вагонов окажутся вагоны №6 и №8.

г) игральная кость бросается трижды. Пусть х – сумма очков, полученных при всех бросаниях. Что более вероятно: х = 12 или х = 11?

12. а) имеется 7 видов мороженого. Сколько различных видов десертов можно составить по 3 вида мороженого в каждом?

б) решите уравнение: .

в) в трамвайном парке имеются 10 трамваев маршрута №7 и 14 трамваев маршрута №5. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №7?

г) в команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?

13. а) в лесу 7260 берез и 1610 осин. Лесник срубил дерево. Какова вероятность того, что это была осина?

б) решите уравнение .

в) сколько различных групп по 5 человек можно составить из 25 детей, которые поедут в детский оздоровительный лагерь?

г) из колоды (36 карт) наугад достают две карты. Какова вероятность того, что обе карты красной масти?

14. а) в сентябре обычно 8 солнечных дней, остальные дождливые. Друзья выехали за город в воскресенье отдохнуть. Какова вероятность того, что погода будет солнечной?

б) решите уравнение .

в) 8 мужчин и 17 женщин в цехе заболели неизвестным заболеванием. Чтобы поставить диагноз, следует взять выборочный анализ у 5 женщин и 2 мужчин. Сколькими способами можно это сделать?

г) вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,2. Произведены 3 независимых измерения. Найдите вероятность того, что не более чем в одном измерении допущенная ошибка превысит заданную точность.

15. а) расписание одного учебного дня содержит различных 6 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из 20 дисциплин.

б) найти все натуральные п , удовлетворяющие условию .

в) в клетке 20 кроликов, из которых 4 самки и 16 самцов. Наугад из клетки достают 10 кроликов. Какова вероятность того, что среди них 2 самки?

г) детали проходят 3 операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02; на второй – 0,03; на третьей – 0,02. Найдите вероятность получения детали без брака после 3 операций, предполагая, что получение брака на отдельных операциях являются независимыми событиями.

16. а) сколько различных звукосочетаний можно взять на 7 выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать 4 звука?

б) упростить выражение .

в) трое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше выпадет герб. Определите вероятности выигрыша для каждого из игроков.

г) на карточках написаны буквы слова «РУКАВ». Какова вероятность того, что составив наугад 4 из них в ряд, слово «РУКА»?

17. а) тридцать человек разбиты на три группы по 10 человек в каждой. Сколько групп различного состава можно получить?

б) вычислить .

в) при перевозке 10 чайных пар 3 предмета разбили. Какова вероятность, что все разбитые предметы – блюдца?

г) вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р, а для второго – 0,7. Известно, что вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найдите р.

18. а) десять групп занимаются в 10 расположенных подряд аудиториях. Сколько вариантов расписания существует, при которых группы под номерами 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?

б) решите уравнение .

в) в загоне 100 коров, 15 из них ранее ставили уколы. Чтобы поставить уколы остальным, их стали выводить из загона партиями по 5 коров. Какова вероятность того, что пяти коровам первой партии ранее ставили укол?

г) среди изготовляемых рабочим деталей в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 5 деталей не найдется ни одной бракованной?

19. а) шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам?

б) решите уравнение .

в) продавец обслуживает в магазине два отдела. Вероятность того, что в течение часа ему придется отпустить товар из I отдела, равна 0,8, а из II – 0,9. Найти вероятность того, что в течение часа ему придется отпустить товар только из одного отдела?

г) имеется 10 дискет, из них 7 – отформатировано. Наугад берут 3 дискеты. Какова вероятность, что все они отформатированы?

20. а) из 10 теннисисток и 6 теннисистов составляют смешанные (2+2) пары. Сколькими способами это можно сделать?

б) найти все натуральные п , удовлетворяющие условию .

в) в качестве знаменателя обыкновенной дроби наудачу выбирается натуральное число от 30 до 39 включительно. Найдите вероятность того, что обращается в конечную десятичную дробь

г) разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что разрыва электрической сети не произойдет, если элементы выходят из строя с вероятностями 0,3; 0,2; 0,4.

21. а) необходимо распределить преподавание в 6 группах студентов между тремя преподавателями. Сколькими способами можно произвести это распределение, если каждый преподаватель должен вести занятия в двух группах?

б) найти все натуральные п , удовлетворяющие условию .

в) даны отрезки длиной 2, 5, 6, 10. Какова вероятность того, что из наудачу взятых 3 отрезков можно построить треугольник?

г) испытуемому предлагается два теста. Вероятности решения тестов соответственно равны 0,75 и 0,8. Определить вероятность того, что хотя бы один тест будет решен.

22. а) в коробке 7 белых и 5 красных карандашей. Наугад отбирают 3 карандаша, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что все 3 карандаша белые.

б) найти все натуральные п , удовлетворяющие условию .

в) сколькими способами можно составить туристическую группу из 10 туристов и 1 гида, если имеется 130 туристов и 7 гидов?

г) радист три раза вызывает корреспондента, причем последующий вызов происходит при условии, что предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,5; второй – 0,6; третий – 0,8. Определить вероятность вызова корреспондента радистом.

23. а) сколько различных правильных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23?

б) найти все натуральные п , удовлетворяющие условию .

в) в студии телевидения имеется 3 телекамеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена только одна камера.

г) какова вероятность отгадать все 6 номеров из 49 в тираже игры

«Спортлото»?

24. а) сколькими способами можно составить 2 группы из 40 студентов первого курса?

б) решите уравнение .

в) в ящике лежат 15 заклепок, отличающихся только материалом, из которого они изготовлены. Из них 6 медных, 7 латунных, а остальные – алюминиевые. Наугад берут 3 заклепки. Какова вероятность того, что они изготовлены из одного материала?

г) в барабане револьвера 7 гнезд, из них в 5 заложены патроны. Барабан приводится во вращение, а затем нажимается спусковой крючок. Какова вероятность того, что, повторив этот опыт два раза подряд, оба раза револьвер не выстрелит?

25. а) на железной дороге 25 станций. На каждом билете печатаются станция отправления и станция назначения. Сколько всего различных билетов нужно напечатать, если каждый билет действителен только в указанном направлении?

б) решите уравнение .

в) в клетке сидит 8 норок, 3 из них платиновой окраски. Какова вероятность того, что в выбранной наугад паре норок окажется 2 платиновой окраски?

г) прибор состоит из двух дублирующих друг друга элементов. Вероятность безотказной работы каждого равна 0,8. Определить вероятность безотказной работы прибора.

26. а) сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2,4,6,9, если все цифры в записи каждого из чисел различны?

б) найти все натуральные п , удовлетворяющие условию .

в) двое стреляют по мишени. Какова вероятность попадания каждого стрелка, если вероятность их совместного попадания 0,56, а совместного промаха – 0, 06?

г) купили 15 рулонов обоев, из них 6 рулонов партии А, остальные – партии Б. Для оклейки стен комнаты отложили 5 рулонов. Какова вероятность того, что отложены рулоны партии Б?

27. а) имеется 10 видов канцелярских принадлежностей. Сколько различных комплектов из них можно составить, если каждый комплект должен содержит 4 предмета?

б) вычислите .

в) наудачу выбрана кость домино из полного набора. Какова вероятность того, что сумма очков на выбранной кости равна 5?

г) на одной из ТЭЦ 16 сменных инженеров, из которых 4 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в смене все – мужчины.

28. а) буквы Е, В, Х, О, А,Ч написаны на карточках. Какова вероятность того, что, наугад выбрав и расположив 5 из них в ряд, мы получим фамилию известного русского писателя?

б) решите уравнение .

в) в 2 урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?

г) группа студентов изучает 15 дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на пятницу, если в этот день должно быть 4 различных дисциплины?

29. а) сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0,3,7,9, если все цифры в записи каждого из чисел различны?

б) докажите справедливость равенства: .

в) в пруду плавало 35 рыб. Из них 30 карасей, а остальные щуки. Рыбак поймал 3 рыбины. Какова вероятность того, что все пойманные рыбы - щуки?

г) вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4 независимых выстрелах равна 0,9984. Найдите вероятность попадания при одном выстреле.

30. а) имеются помидоры, огурцы, сладкий перец и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях 2 различных вида овощей?

б) решите уравнение .

в) в пачке с 15 лотерейными билетами 12 счастливых. Найти вероятность того, что среди 10 взятых наугад билетов 8 счастливых.

г) вероятность того, что при включении стартера мотор машины заработает, равна . Чему равна вероятность того, что мотор заработает только при повторном включении стартера?

Выполните одно из предложенных творческих заданий:

31. Придумайте событие, вероятность появления которого равна .

32. Придумайте событие, вероятность появления которого равна 0.

33. Придумайте событие, вероятность появления которого равна 1.

34. Придумайте событие, вероятность появления которого меньше .

35. Придумайте событие, вероятность появления которого больше .

36. Составьте задачу, для решения которой необходимо найти . Решите составленную задачу.

37. Составьте задачу, для решения которой необходимо найти . Решите составленную задачу.

38. Составьте задачу, для решения которой необходимо найти . Решите составленную задачу.

39. Составьте задачу на вычисление вероятности по формуле

p= . Решите составленную задачу.

40. Составьте задачу на вычисление вероятности по формуле p= . Решите составленную задачу.

40. Составьте задачу на вычисление вероятности по формуле p= . Решите составленную задачу.

41. Составьте задачу на вычисление вероятности по формуле p= . Решите составленную задачу.

42. В коробке 10 карандашей разного цвета. Придумать событие, вероятность появления которого равна .

43. Подбрасывается игральный кубик. Придумать событие, вероятность появления которого равна .

44. Подбрасываются два игральных кубика. Придумать событие, вероятность появления которого равна .

45. Подбрасываются два игральных кубика. Придумать событие, вероятность появления которого равна .

46. В колоде 36 карт. Придумать событие, вероятность появления которого равна .

47. Составить и решить задачу на вычисление вероятности по классическому определению.

48. Составить и решить задачу на вычисление вероятности по формуле .

49. Составить и решить задачу на вычисление вероятности по формуле .

50. Имеются карточки, на которых написаны числа от 1 до 50. Придумать событие, вероятность появления которого равна 0,2.

Задание 2.

1. Вероятность попадания в кольцо мяча у баскетболиста равна 0,9. Найти вероятность того, что из 3 бросков баскетболист попадет в кольцо только 2 раза?

2. Медиками установлено, что 94% лиц, которым сделаны прививки против туберкулеза, обладают иммунитетом против этого заболевания. Какова вероятность того, что среди 100 тысяч лиц, сделавших прививки, 5800 не защищены от заболевания туберкулезом?

3. Вероятность встретить на улице знакомого равна 0,2. Сколько знакомых среди первых 100 случайных прохожих можно надеяться встретить с вероятностью 0,95?

4. Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажется 32 женщины (исходя из предположения, что количество мужчин и женщин в городе одинаково)?

5. Вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,8. Сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью 0,75?

6. Доля огурцов сорта «Вяземский» из поступивших в продажу составляет 31%. Чему равно наивероятнейшее число огурцов этого сорта в случайно отобранной партии из 150 огурцов и вероятность, соответствующая этому числу.

7. По статистическим данным в некотором районе в течение летнего сезона вероятность выпадения дождя равна 0,2. Найти наиболее вероятное число дождей в сезоне, в течение которых не будет дождя, если длительность летнего сезона считать равной 90 дням. Вычислить вероятность появления этого события.

8. При обмолоте зерна повреждается одно зерно из тысячи. Определить вероятность того, что в одном килограмме зерна будет не более 4 поврежденных зерен (считать средний вес одного зерна равным 50 мг).

9. Посажено 400 деревьев. Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев составит от 360 до 375, если вероятность того, что дерево приживется, составляет 0,8.

10. Учебник по математике издан тиражом 100000 экз. Вероятность бракованного экземпляра 0,00004. Найти вероятность того, что в тираже будет ровно 3 бракованные книги.

11. В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входные двери домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0003. Найти вероятность того, что за месяц откажут 4 замка.

12. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматических касс для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одной кассы в течение дня равна 0,005. Какова вероятность того, что в течение дня выйдут из строя 7 касс?

13. Бутерброд с маслом падает маслом вниз с вероятностью . Вычислите вероятность того, что из пяти падений он ровно три раза упадет маслом вниз.

14. (Задача шевалье де Мере). Какова вероятность того, что при 24-кратном подбрасывании двух игральных костей хотя бы один раз появятся две шестерки?

15. На лекции по теории вероятностей присутствуют 86 студентов. Какова вероятность того, что среди них есть 4 студента, которые родились в один день.

16. Кинотеатр вмещает 730 зрителей. Найдите вероятность того, что не более 3-х зрителей родились в один день.

17. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

18. Радиоаппаратура состоит из 1000 микроэлементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение суток равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Найдите вероятность отказа не менее 2-х элементов за сутки.

19. Птицеферма отправила на базу 8000 доброкачественных яиц. Вероятность того, что в пути яйцо повредится, равна 0,0005. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 поврежденных яйца.

20. На телефонной станции неправильное соединение абонентов происходит с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что среди 400 соединений неправильных будет меньше 3-х.

21. По данным технического контроля 2% изготовленных станков нуждаются в дополнительной регулировке. Найдите вероятность того, что из шести изготовленных станков четыре нуждаются в дополнительной регулировке.

22. Найдите наиболее вероятное число выпадений шестерки при 46 бросаниях игральной кости и соответствующую этому числу вероятность.

23. Контрольное задание состоит из 10 вопросов, каждый из которых предусматривает ответ «да» или «нет». Найдите наиболее вероятное число правильных ответов, которые даст учащийся, если он станет выбирать ответ по каждому вопросу наудачу. Найдите вероятность наиболее вероятного числа правильных ответов.

24. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найдите вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не меньше 8 автомашин.

25. Вероятность того, что денежный приемник автомата при опускании монеты сработает неправильно, равна 0,03. Найдите наиболее вероятное число случаев правильной работы автомата, если будет опущено 150 монет и соответствующую этому числу вероятность.

26. При передаче сообщения вероятность искажения для каждого знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 5 знаков содержит не более 3 искажений?

27. В круг вписан квадрат. Найдите вероятность того, что среди 4 точек, наудачу брошенных в круг, ровно одна попадет внутрь квадрата.

28. Опыт состоит в делении заданного отрезка случайным образом на 3 части. Предположим, что производится 6 независимых опытов такого рода. Какова вероятность того, что в 2 случаях из полученных частей отрезка можно составить треугольник?

29. Игра состоит в набрасывании колец на колышек. Игрок получает 6 колец и бросает их до первого попадания или до полного израсходования колец. Найдите вероятность того, что хотя бы одно кольцо останется не израсходованным, если вероятность попадания при каждом броске равна 0,1.

30. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найдите вероятность того, что из 500 высеянных семян взойдет от 425 до 450 семян.

Задание 3.а)

(Задание б) для каждой из задач – подобрать функцию, являющуюся функцией распределения (или плотностью распределения) вероятностей некоторой непрерывной случайной величины. Обосновать правильность выбора функции. Придумать и решить задачу на вычисление вероятности попадания НСВ в некоторый промежуток).

1. а) вероятность появления на рынке зараженного свиным цепнем мяса равна 0,3. Составить закон распределения числа зараженных туш мяса из 3 завезенных, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

2. а) В группе из трех цыплят, подвергнутых экспериментальным воздействиям, вероятность погибания для каждого цыпленка равна 0,1. Составить закон распределения Х – числа погибших цыплят, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

3. а) вероятность наворачивания верхнего века на роговицу глаза, связанная с породными особенностями, у шарпея равна 0,73, у лабрадора равна 0,16. Берут одного лабрадора и одного шарпея. Составить закон распределения случайной величины Х – число собак, у которых веко может быть завернуто, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

4. а) в коробке 1000 разных тетрадей. Из них 100 имеют 48 листов, 50 – 24 листа, 30 – 12 листов. Составить закон распределения случайной величины Х – количества тетрадей с разным числом листов, если отбирают 3 тетради, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

5. а) вероятность того, что студентка сдаст экзамен на «хорошо» или «отлично» равно 0,6. Составить закон распределения случайной величины Х – число оценок «хорошо» и «отлично» после четырех экзаменов, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

6. а) в группе студентов 10 человек, у четырех из которых день рождения летом. Наугад троим дали заполнить анкету. Составить закон распределения случайной величины Х – число студентов, у которых день рождения летом, среди заполняющих анкету. Найти числовые характеристики случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

7. а) в аквариуме 10 рыбок, из них 6 гуппи. Наугад берут 2 рыбки. Составить закон распределения случайной величины Х – число гуппи среди отобранных рыбок. Построить график функции распределения, многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

8. а) в отдел «Товары для детей» поступило 20 мягких игрушек, из которых 8 мишек. Купили 3 игрушки. Составить закон распределения случайной величины Х – число купленных мишек. Найти числовые характеристики этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

9. а) на факультете ветеринарной медицины успеваемость студентов составляет 90%. На удачу выбирают 4 студента для проверки остаточных знаний. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа успевающих студентов в выбранной группе. Построить функцию распределения и многоугольник распределения.

10. а) в молочном гурту работают 6 женщин и 4 мужчины, из них решили отобрать в родильный гурт 3 человека. Составить закон распределения случайной величины Х – число женщин среди отобранных лиц. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения и многоугольник распределения.

11. а) вероятность заражения собаки вирусом при укусе клещом равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины Х - числа заболевших собак из 4 укушенных клещом, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

12. а) вычислительное устройство состоит из 3-х независимо функционирующих блоков. Вероятности безотказной работы блоков в течение месяца равны 0,9, 0,8, 0,7 соответственно. Составить

закон распределения случайной величины Х – число блоков, вышедших из строя в течение месяца, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

13. а) на пути движения автомобиля 3 светофора, каждый из которых либо разрешает, либо запрещает движение с вероятностью 0,5. Составить закон распределения случайной величины Х – число пройденных автомобилем до первой остановки светофоров, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

14. а) мишень состоит из круга и кольца. Попадание в круг дает 10 очков, а попадание в кольцо – 5 очков. Вероятности попадания в круг и кольцо равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить закон распределения случайной величины Х – число выбитых очков в результате двух бросков, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

15. а) производится несколько попыток включить двигатель. Вероятность того, что двигатель заработает, постоянна и равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х – число попыток предпринятых до того, как двигатель заработает, если всего планируют произвести 3 попытки. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

16. а) в цепи последовательно соединены 4 электрические лампочки. Вероятности их перегорания одинаковы и равны 0,3. Одна из лампочек перегорела. Составить закон распределения случайной величины Х – число проверенных лампочек до обнаружения перегоревшей, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

17. а) дважды брошена игральная кость. Случайная величина Х равна разности между числом очков при первом бросании и числом очков при втором бросании, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

18. а) игральная кость бросается 4 раза. Случайная величина Х – число выпадений 6 очков . Найдите закон распределения этой случайной величины, ее числовые характеристики. Построить функцию распределения и многоугольник распределения.

19. а) вероятность изготовления нестандартной детали 0,1. Из партии контролер берет деталь и проверяет ее на стандартность. Если деталь оказывается нестандартной, то дальнейшие испытания прекращаются, а партия вся задерживается. Если же деталь окажется стандартной, то контролер берет следующую и т.д., но всего он проверяет не более 5 деталей. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной числу стандартных деталей среди проверенных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

20. а) мишень состоит из круга № 1 и двух концентрических колец с номерами 2 и 3. Попадание в круг № 1 дает 10 очков, в кольцо № 2 – 5 очков, в кольцо № 3 – (-1) очко. Вероятности попадания в круг № 1 и кольца № 2 и № 3 соответственно равны 0,5; 0,3; 0,2. Найдите закон распределения суммы очков в результате 3 попаданий в мишень. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

21. а) у 5 животных имеется некоторое заболевание. Вероятность выздоровления каждого из животных – 0,8. Составить закон распределения ДСВ Х- число выздоровевших животных из 5 заболевших, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

22. а) эффективность некоторой вакцины в формировании иммунитета составляет 75%. Составить закон распределения ДСВ Х – число животных, которые приобрели иммунитет среди 4-х отобранных случайным образом, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

23. а) вероятность выполнения дневной нормы для одной бригады равна 0,8, а для другой – 0,9. Составить закон распределения ДСВ Х – число бригад, выполнивших норму, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

24. а) в городе имеется 3 оптовые базы. Вероятность того, что товар требуемого сорта отсутствует на этих базах, одинакова и равна 0,2. Составить закон распределения ДСВ Х – число баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

25. а) в магазин привезли одинаковые партии арбузов из Ташкента и Астрахани. Вероятность покупки неспелого арбуза из Ташкента – 0,2, Астрахани – 0,1. Купили 4 арбуза. Составить закон распределения ДСВ Х – число неспелых арбузов из 4-х купленных, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

26. а) баскетболист делает 3 броска в корзину. Вероятность промаха при каждом броске равна 0,3. Составить закон распределения ДСВ Х – число попаданий в корзину, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

27. а) составить закон распределения ДСВ Х – число появлений «орла» при 4-х подбрасываниях симметричной монеты, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

28. а) вероятность того, что студент с первого раза сдаст коллоквиум по физике, равна 0,8. Составить закон распределения ДСВ Х – число студентов, сдавших коллоквиум с первого раза из 4-х выбранных наугад студентов. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

29. а) вероятность того, что при первичном определении диагноза заболевшего животного произойдет ошибка, равна 0,1. Составить закон распределения ДСВ Х – число ошибочно поставленных диагнозов у 3 первично обследованных животных, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

30. а) на колышек набрасывают 4 кольца. Вероятность попадания для каждого броска постоянна и равна 0,7. Составить закон распределения ДСВ Х – число колец, попавших на колышек, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

Задание 4.

1. При рождении вес ребенка в среднем составляет 3300 г. Фактически вес имеет отклонение 250 г. Определите вероятность того, что родившейся ребенок будет весить: а) от 3200 г до 3500 г; б) не менее 3600 г.

2. Среднегодовой приплод свиньи некоторой породы составляет 8 поросят. Величина приплода от конкретной свиньи является случайной и распределена по нормальному закону со средним квадратичным отклонением, равным 3. Вычислить вероятность того, что у данной свиньи в течение года будет: а) не менее 10 поросят; б) не более 7 поросят.

3. Случайные отклонения веса при рождении щенка некоторой породы распределены нормально. Математическое ожидание веса щенка равно 200 г. Среднее квадратическое отклонение равно 25 г. Найти вероятность того, что щенок при рождении будет весить: а) от 150 г до 250 г; б) не менее 220 г.

4. Вес собаки породы «лабрадор» в питомнике в среднем составляет 60 кг со средним квадратичным отклонением 7 кг. Найти вероятность того, что вес одного наугад взятого лабрадора составляет: а) от 50 кг до 70 кг; б) не более 55 кг.

5. Пусть вес шестинедельного котенка подчиняется нормальному закону с параметрами: а=475 г, d=30 г. Найти вероятность того, что вес шестинедельного котенка будет а) от 400 г до 450 г; б) не более 400 г.

6. Средний диаметр плечевой кости у определенного вида животных равен 9 см. Среднее квадратическое отклонение – 2 см. Диаметр плечевой кости является случайной величиной, распределенной нормально. Определить: а) вероятность того, что диаметр плечевой кости не менее 10 см; в) не превзойдет 7 см.

7. Комфортной для организма человека при температуре 18-20 С является влажность 50% с допустимым отклонением 10%. Определите: 1) сколько % людей будет чувствовать себя комфортно при влажности от 55% до 70%; 2) в каких границах показателей влажности большинство людей будут чувствовать себя комфортно?

8. Размеры простейших подчинены нормальному закону с математическим ожиданием 0,095 мм и средним квадратичным отклонением 0,045 мм. Сколько % простейших:1) имеют размеры более 0,1 мм; 2) менее 0,1 мм?

9. Масса бутонов гвоздики, собираемой ежегодно с гвоздичного дерева, подчинена нормальному закону. В среднем с одного дерева собирают 7 кг бутонов, со средним квадратичным отклонением 1 кг. Определить % деревьев, с которых можно собрать: 1) от 8 кг до 11 кг бутонов гвоздики; 2) более 10 кг бутонов гвоздики.

10. Длина волокон хлопка подчинена нормальному закону и равна в среднем 3см, имея среднее квадратичное отклонением 1см. Определить % волокон, имеющих: 1) длину более 3,5 см; 2) длину от 2,5 см до 3,5 см.

11. Расход бензина автомобиля ВАЗ – 2107 является случайной величиной, распределенной нормально со средним значением 9 л на 100 км со средним квадратичным отклонением 0,6 л. Определить процент автомобилей: а) имеющих расход бензина больше 9 л на 100 км; б) имеющих расход бензина меньше 7 л на 100 км.

12. Средняя длина морского угря, отлавливаемого в районах Средней Северной Атлантики, равна 120 см со средним квадратическим отклонением 5 см. Определить: а) процент отлавливаемой рыбы длиной от 90 до 110 см; б) процент отлавливаемой рыбы, длина которой более 130 см.

13. Средняя высота брокколи – 85 см со стандартным отклонением 8 см. Определить: а) вероятность вырастить на участке при обычных условиях брокколи высотой более 95 см; б) менее 70 см.

14. В листьях мяты в период массового ее цветения содержится 2,6% эфирного масла со стандартным отклонением 0,2%. Определить вероятность того, что содержание процента эфирного масла в листьях мяты, собранных на определенном участке: а) больше чем 2,7%; б) не более 2,5%.

15. Мясо серебристого хека содержит в среднем 17% белка со средним квадратическим отклонением 1%. Определить: а) процент отлавливаемой рыбы, мясо которой содержит более 17% белка; б) не больше скольких процентов белка в мясе следует ожидать с вероятностью 0,7.

16. Средний вес морского окуня, отлавливаемого в Северо-Западной Атлантике, равен 4 кг. Стандарт отклонения веса рыбы от среднего значения равен 0,6 кг. Определить: а) процент отлавливаемой рыбы весом более чем 4,5 кг; б) процент отлавливаемой рыбы весом меньше, чем 4 кг.

17. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины - количество сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов – равно 1кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 г до 1100 г. Определить среднее квадратичное отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.

18. Случайные значения веса зерна распределены по нормальному закону. Среднее значение веса зерна равно 0,15 г, стандарт отклонения – 0,03г. Нормальные всходы дают зерна, вес которых более 0,1г. Определить: а) процент семян, от которых следует ожидать нормальные всходы; б) величину, которая не превзойдет вес отдельного зерна с вероятностью, близкой к единице.

19. Средний диаметр стволов елей, предназначенных для вырубки к новому году, равен 0,08 м, среднее квадратическое отклонение – 0,01 м. Считая диаметр ствола случайной величиной, распределенной по нормальному закону, определить: а) размер, который не превзойдет средний диаметр ствола дерева с вероятностью 0,96; б) процент стволов, имеющих диаметр свыше 9 см.

20. Средняя глубина посева семян составляет 30 мм. Отдельные отклонения от этого значения случайны и распределены по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 5 мм. Определить: а) долю семян, посеянных на глубину менее 29 мм; б) долю не проросших семян (считая, что не прорастут те семена, что посажены на глубину более 45 мм).

21. При уборке урожая за один рейс автопоезд перевозит, в среднем, 20 т зерна. Фактический вес перевезенного в каждом рейсе зерна отклоняется от среднего и характеризуется кг. Определить вероятность того, что за рейс автопоезд перевезет: а) более 20,5 т зерна; б) менее 20 т зерна.

22. Средний вес месячного цыпленка, выращиваемого в некотором хозяйстве, равен 0,3 кг со средним квадратическим отклонением 0,06 кг. Найти: а) процент месячных цыплят весом не менее 0,35 кг; б) вероятность того, что каждый из двух наугад выбранных цыплят весит более 0,36 кг.

23. Случайное отклонение длины втулки от стандартного значения распределены нормально. Математическое ожидание длины втулки равно 50 мм, среднее квадратическое отклонение 0,5 мм. Стандартными считаются втулки, длина которых заключена между 49,8 мм и 50,2 мм. Найти процент стандартных втулок. Найти, сколько процентов втулок имеет длину более 50,25 мм.

24. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 10 км, а среднее квадратичное отклонение равно 500 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами: а) не менее 13 км; б) не более 9 км; в) не менее 11,7 км, но не более 12,3 км.

25. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 170 см, а дисперсия – 36. Найти плотность вероятностей и функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных четырех мужчин будет иметь рост от 168 см до 172 см.

26. Средняя величина массы яблока равна 150 г и является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратичным отклонением 20 г. Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах от 130 г до 180 г.

27. Норма высева семян на 1 га равна 200 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения со средним квадратичным отклонением 10 кг. Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100 га с гарантией 0,95.

28. Считается, что отклонение длины изготовляемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна 40 см и среднее квадратическое отклонение равно 0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?

29. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратичное отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и 200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется среднем квадратичным отклонением 0,4 мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

30. Масса яиц одной курицы распределена по нормальному закону с плотностью распределения вероятностей

Определить: а) математическое ожидание и дисперсию; б) процент яиц, имеющих массу от 58 г до 61 г.