Основные задачи, связанные с нормальным распределением
Вычисление вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины.
Вероятность
попадания нормально распределенной
случайной величины в интервал
вычисляется
по формуле:
,
где
– функция Лапласа.
Задача. Средняя масса плода яблони сорта Мелба равна 160г, отклонение массы плодов от средней величины составляет 40г. Найти:
а) вероятность того, что масса наугад взятого яблока этого сорта будет находиться в пределах от 190г до 220г;
б) процент яблок не превосходящих по массе 140г;
в) величину, которую не превзойдет масса яблок с вероятностью 0,78.
Решение.
а)
по условию
г,
220г,
а=160г,
=40г.
.
б)
вычислим вероятность того, что масса
яблок не превзойдет 140г. По условию
=0,
=140.
Следовательно, 31% яблок не превзойдет по массе 140г.
в)
по условию
.
т.к.
,
то
.
В таблице по значению функции
,
определили, что значение выражения
=0,77,
.
Следовательно, можно утверждать, что масса яблок не превзойдет 190,8г с вероятностью 0,78.
Вычисление вероятности отклонения абсолютного значения случайной величины от наперед заданного числа.
Напомним,
что разность х-а
называется отклонением случайной
величины от математического ожидания.
Зададим положительное число
.
Неравенство
равносильно двойному неравенству
.
Вероятность того, что отклонение абсолютного значения нормально распределенной случайной величины меньше положительного наперед заданного числа , вычисляется по формуле:
.
Замечание.
Очевидно, что события, описываемые
неравенствами
и
–
противоположные, следовательно, если
вероятность появления события,
описываемого неравенством
равна р,
то вероятность события, описываемого
неравенством
,
равна 1-р.
Если
две случайные величины распределены
нормально, то вероятность принять
значение, принадлежащее
,
больше у той величины, у которой меньше
.
Задача. Подшипники, изготавливаемые автоматом, считаются стандартными, если отклонение посадочного диаметра подшипника от проектного размера не превышает 0,2мм. Случайное отклонение посадочного диаметра подчинено нормальному закону с математическим ожиданием а =0 и средним квадратичным отклонением =0,08мм. Сколько процентов стандартных подшипников изготавливает автомат?
Решение.
Итак, 98,76% стандартных подшипников изготавливает автомат.
Правило «трех сигм»
Если случайная величина имеет нормальное распределение, то отклонение этой величины от математического ожидания по абсолютной величине не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения.
Таким
образом, если Х
– нормально распределенная случайная
величина, то с вероятностью, близкой к
1(т.е. практически достоверно) можно
утверждать, что все ее значения
принадлежат промежутку
или
.
Графическая иллюстрация:
Задача. Известно, что средний расход удобрений на один га пашни составляет 80кг, а среднее квадратическое отклонение расхода составляет 5кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который вносимая доза удобрений попадет с вероятностью 0,999.
Решение.
Т.к. вероятность
близка к 1, то для решения задачи применяем
правило «трех сигм»:
.
Следовательно, практически достоверно можно утверждать, что вносимая доза удобрений находится в диапазоне от 65кг до 95кг.