§2. Распределение Пуассона

(закон распределения редких событий)

Распределение Пуассона является предельным для биномиального в случае, когда , , при этом np=a –постоянная величина.

Определение. Дискретная случайная величина Х , которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностями

, где а=пр , называется распределенной по закону Пуассона с параметром а.

В отличие от биномиального распределения, случайная величина Х, распределенная по закону Пуассона, может принимать бесконечное множество значений, представляющее собой последовательность целых чисел 0,1,2,…,k,… .

Закон распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид:

2)

3)

	0	1	2	…	k	…
р				…		…

Числовые характеристики дискретной случайной величины X:

Замечание. Равенство значений и является отличительной особенностью распределения Пуассона. Если в результате какого-то опыта получены несколько значений случайной величины и на основании полученных данных найдены и , причем их значения близки между собой, то есть основание предположить, что случайная величина распределена по закону Пуассона. В противном случае оснований для таких предположений нет.

По закону Пуассона распределено число микробов в единице объема, число вылетевших электронов с накаленного катода за единицу времени, число опечаток в большом тексте и др.

Задача 3. В среднем в стаде из 1000 голов телят 3 теленка больны диспепсией. Дискретная случайная величина – число больных телят из 500 обследованных.

Найти:

– вероятность того, три теленка, отобранных наугад из пятисот больны диспепсией;

– числовые характеристики случайной величины Х.

Решение. 1) Вероятность того, что наугад взятый теленок болен диспепсией, По условию параметр распределения

2)M(X)=D(X)=a=1,5.

§3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины

(распределение Гаусса)

Нормальный закон распределения играет очень важную роль в теории вероятностей, т.к. он является предельным законом, к которому приближены, при определенных условиях, другие законы распределения, и наиболее часто встречается на практике.

Нормальному закону подчиняются ошибки измерений, физиологические параметры организмов (рост, вес), вес плодов определенного вида растения, колебания курсов акций и валют и др.

Определение. Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону, если функция плотности распределения вероятностей f(x) имеет вид: , где а и - постоянные величины, называемые параметрами нормального распределения.

Рис.17.

График функции f(x) – кривая распределения, называется нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис.17).

Если а=0 , , то функция плотности нормального распределения имеет вид: и нормальное распределение в этом случае называется стандартным (или нормированным).

График стандартного нормального распределения на рис. 18.

Рис.18.

Проследим, как преобразуется график функции при изменении параметров нормального распределения а и .

а) при изменении параметра а происходит смещение графика функции f(x) вдоль оси х (рис. 19)

Рис.19.

б) при изменении параметра происходит деформация графика функции f(x) (рис. 20)

Рис.20.

Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид:

.

Числовые характеристики нормально распределенной случайной величины: