3. Среднее квадратическое отклонение

Определение. Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) случайной величины называют корень квадратный из ее дисперсии.

Обозначение. .

Среднее квадратическое отклонение случайной величины имеет ту же размерность, что и сама величина (в отличие от дисперсии, размерность которой представлена в квадратных единицах размерности случайной величины).

Задание. Самостоятельно вычислите средние квадратические отклонения случайных величин в задачах 9 и 10.

3. Мода случайной величины

Определение. Модой дискретной случайной величины называют наиболее вероятное ее значение.

Определение. Модой непрерывной случайной величины называют такое ее значение, которому соответствует наибольшая плотность вероятности.

Обозначение. .

Пример 1 . Мода дискретной случайной величины Х , заданной законом распределения,

Х	2	3	5	7	9
Р	0,1	0,3	0,2	0,1	0,2

равна 3, т.к. .

Пример 2. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности распределения вероятностей f(x), график которой изображен на рис 15.

, т.к. - max.

y=f(x)

Рис.15.

5. Медиана непрерывной случайной величины

Определение. Медианой непрерывной случайной величины называют такое ее значение, для которого выполняется равенство:

, где – медиана непрерывной случайной величины Х.

Геометрическая иллюстрация:

, где – площади заштрихованных на рис.16 фигур.

Рис.16.

Глава 5. Некоторые законы распределения случайных величин

§1. Биномиальное распределение

Предположим, что в одинаковых условиях проводятся n независимых испытаний, в результате каждого из испытаний может появиться либо событие А с вероятностью р, либо событие, противоположное событию А ( ) с вероятностью q (q=1-p), т.е. имеет место (п,р) схема Бернулли.

Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х – число появлений события А в этих испытаниях. Составим закон распределения вероятностей величины Х. Вероятность того, что величина Х примет значение вычисляется по формуле Бернулли:

.

Определение. Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностью:

, где p+q=1, 0<p<1, 0<q<1, m=0,1,2,…,n, называется распределенной по биномиальному закону, а n,p – параметры биномиального распределения.

Закон распределения вероятностей величины Х имеет вид:

1)

2)

3) ;

:

.

	0	1	2	…	k	…	n
				…		…

Функция распределения дискретной случайной величины Х:

Числовые характеристики ДСВ Х, распределенной по биномиальному закону:

1. математическое ожидание: ;

2. дисперсия: ;

3. среднее квадратическое отклонение: .

Задача 1. Самый правдивый человек на свете барон Мюнхаузен все же иногда любил приукрасить действительность и в одном случае из пяти подключал свою фантазию, излагая реальные факты. Составить закон распределения ДСВ Х – числа правдивых историй из трех рассказанных бароном. Найти числовые характеристики ДСВ Х.

Решение. Пусть р – вероятность того, что рассказанная история правдивая. По классическому определению вероятности:

Ряд распределения имеет вид:

	0	1	2	3
	0,008	0,096	0,384	0,512

Проверка. .

Числовые характеристики :

Задача 2. Вероятность попадания в цель стрелком при одном выстреле равна 0,7. Сколько необходимо произвести выстрелов, чтобы можно было с уверенностью ожидать 15 попаданий?

Решение. Дискретная случайная величина Х – число попаданий по мишени, распределена по биномиальному закону ( установите это самостоятельно).

По условию р=0,7, М(Х)=15.

Т.к. М(Х)=пр, то .

Необходимо произвести 22 выстрела.