§4. Плотность распределения вероятностей случайной величины

Плотность распределения вероятностей (или дифференциальная функция распределения) – еще один способ задания НСВ.

Определение. Плотность распределения вероятностей (плотность вероятности ) НСВ – функция, равная первой производной интегральной функции распределения F(x): , где f(x) – плотность распределения вероятностей.

По определению производной функции ,

где – вероятность попадания НСВ в промежуток , - средняя вероятность, которая приходится на единицу длины отрезка .

Плотность вероятности аналогична таким понятиям, как плотность распределения масс вдоль оси Оx или плотность тока в теории электричества.

Свойства функции f(x).

1.

Это означает, что график функции f(x) – кривая распределения, расположен в системе координат не ниже оси абсцисс.

2. Вероятность того, что НСВ X примет значение, принадлежащее интервалу (a;b), вычисляется по формуле:

.

Геометрически это означает: вероятность того, что НСВ примет значение, принадлежащее интервалу (a;b) равна площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x) , прямыми х=а, х=b, y=0(рис. 12).

y

y=f(x) а b x

Рис.12.

3. Функция распределения вероятностей НСВ может быть выражена через плотность вероятности по формуле

4. Несобственный интеграл от плотности вероятности НСВ с бесконечными пределами равен 1, т.е.

.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции S, ограниченной графиком функции ,

равна 1(рис. 13).

Рис.13.

В частности, если все возможные значения НСВ принадлежат интервалу , то

Задача 4. Плотность вероятности НСВ Х задана на интервале функцией . Вне этого интервала Найти:

1) параметр C;

2) вероятность попадания НСВ Х в интервал ;

3) функцию распределения вероятностей F(x).

Решение.

По условию,

1) По свойству (4):

Функция

2) По свойству (2):

3) Воспользовавшись свойством (3), определим на каждом из заданных промежутков:

если , то

если , то ;

если , то ;

Таким образом:

Графики функций и изображены на рис.14.

y=f(x)

Рис.14.

Задача 5. Задана функция распределения вероятностей некоторой НСВ X:

Найти .

Решение. По определению

Найдем производную функции на каждом из промежутков.

Т.к. , , то

§5. Числовые характеристики случайных величин

При решении ряда задач нет необходимости подробно описывать случайную величину, достаточно указать некоторые числовые параметры случайной величины, которые характеризуют отдельные существенные ее свойства и отражают их в компактной форме. Их называют числовыми характеристиками случайной величины. Назначение числовых характеристик – в сжатой форме выразить наиболее важные особенности распределения СВ.