§2. Закон распределения дискретной случайной величины Многоугольник распределения

Пусть X – некоторая дискретная случайная величина, все значения которой , ,…, такие, что каждому значению соответствует вероятность , где .

Определение. Закон распределения (ряд распределения) – соответствие, устанавливающее связь между всеми значениями случайной величины и соответствующими вероятностями .

Способы задания закона распределения дискретной случайной величины:

1. Табличный.

В первой строке таблицы перечислены все возможные значения случайной величины (обычно – в порядке возрастания), во второй – соответствующие вероятности:

			…		…
			…		…

Т.к. в результате опыта случайная величина X принимает только одно из значений , ,…, , то события, состоящие в появлении каждого из этих значений, являются несовместными и образуют полную группу событий, следовательно:

или .

2. Формулой.

(Вспомните, какие формулы для вычисления вероятности применяли ранее)

3. Графически.

На плоскости введем прямоугольную систему координат. Пара чисел на плоскости изображает точку.

Рис.7.

Определение. Ломаная, вершины которой имеют координаты , где , называется многоугольником распределения вероятностей дискретной случайной величины X (полигоном ДСВ Х) (рис.7).

Задача 1. Вероятность правильного решения задачи по теории вероятностей первым студентом – 0,7 , вторым – 0,8 . Составить закон распределения дискретной случайной величины X – число студентов, правильно решивших задачу (с первого раза). Записать ряд распределения.

Решение. Возможные значения случайной величины X: , , .

Вычислим вероятность появления каждого из значений случайной величины, используя формулы сложения и умножения вероятностей.

1. , т.е. ни один из студентов не решит задачу.

– вероятность того, что первый студент не решит задачу.

– вероятность того, что второй студент не решит задачу.

.

2. , т.е. только один студент из двух решит задачу.

3. , т.е. оба студента решат задачу.

.

По результатам составим таблицу:

Х	0	1	2
Р	0,06	0,38	0,56

Графически изобразим полученный ряд распределения (построим многоугольник распределения, рис.8).

Рис. 8.

§3. Функция распределения вероятностей случайной величины

Функция распределения вероятностей используется как способ задания случайной величины и как средство описания случайной величины.

Определение. Функция распределения вероятностей случайной величины X – функция , определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем x, т.е.

.

называется также интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины X.

Эта формула выражает связь между двумя разделами математики: математическим анализом и теорией вероятностей, между функциями действительных переменных и случайными величинами, она дает возможность для вычисления вероятности появления случайной величины (вероятности появления события) применять аппарат математического анализа.

Геометрическая иллюстрация.

Х

х

Изобразим Х точкой на числовой оси, лежащей левее некоторой точки x. Очевидно, вероятность того, что некоторая точка будет находиться левее x, зависит от расположения точки x, т.е. является функцией аргумента x.

Замечание: Для дискретной случайной величины, которая может принимать значение , ,…, , функция распределения имеет вид

.

(эта запись означает, что суммируются вероятности всех тех значений , величина которых меньше x).

Задача.2. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

	-2	1	3	5
	0,1	0,2	0,4	0,3

Записать функцию распределения случайной величины X, построить ее график.

Решение.

При ,

При ,

При ,

При ,

При ,

На основании полученных результатов построим график функции

И

Рис. 10.

з рис. 10 видно, что – разрывная, имеет четыре скачка по числу принимаемых случайной величиной X значений. Если увеличивать число значений случайной величины с одновременным уменьшением интервалов между ними, то дискретная случайная величина будет приближаться к непрерывной, а ее функция распределения – к непрерывной функции (рис. 11).

1

0

Рис.11.

Свойства функции F(x).

1. .

2. F(x) – неубывающая функция, т.е., если , то

Из свойства 2 следует:

1. вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее полуинтервалу равна разности значений функции распределения на концах этого полуинтервала . Причем, если F(x) – непрерывная функция, то (т.е. вероятность того, что НСВ X примет значение, принадлежащее полуинтервалу, интервалу, отрезку с одними и теми же концами, одинакова;

2. вероятность того, что НСВ примет какое-либо наперед заданное значение, равна 0, т.е. P(X=x)=0.

3. Если все значения СВ принадлежат (a;b), то (т.е. ).

Задача 3. Задана функция распределения вероятностей непрерывной СВ X:

Найти: 1) ; 2) .

Решение. 1) По следствию из свойства 2:

=F(1,3)-F(1)=

2) =F (2)-F (0,5)=