![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •12. Математические модели прикладных задач
- •12.1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
- •Решение типовых примеров
- •Примеры для самостоятельного решения
- •12.2. Моделирование электрических цепей
- •Решение типовых примеров
- •Примеры для самостоятельного решения
- •12.3. Истечение жидкости из резервуара
- •Примеры для самостоятельного решения
- •12.4. Распространение теплоты
- •Решение типовых примеров
- •Примеры для самостоятельного решения
- •12.5. Движение материальной точки
- •Решение типовых примеров
- •Примеры для самостоятельного решения
- •12.6. Растворение веществ
- •Решение типовых примеров
- •Примеры для самостоятельного решения
- •12.7. Математическая модель биологической популяции
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Литература
- •Содержание
Решение типовых примеров
Пример
6.
Полый железный шар (
,
внутренний
радиус которого 6 см, а внешний 10 см,
находится в стационарном
тепловом состоянии, причем температура
на внутренней его
поверхности 200 °С, а на внешней 20 °С.
Найти температуру на
расстоянии r
(6 см < r
<
10 см) от центра шара и количество теплоты,
которое шар отдает в окружающую среду
за 1 с.
Решение.
Температура тела на поверхности А,
представляющей
собой
сферу радиусом r,
где 6 см < r
< 10 см, зависит только от r,
Т=Т(r).
Площадь
поверхности А
равна
4
r2.
Количество теплоты, проходящее через
поверхность А,
определяется
законом Ньютона
Поскольку
источников теплоты между поверхностями
шара нет, приходим
к следующему выводу: через поверхность
А
для
любого r
проходит
одно и то же количество теплоты, т. е. Q
= const.
Интегрируя записанное выше уравнение,
получаем 4
Подставляя
сюда
Т=
С,
и
,
находим: С=-1000
,
Q=10800
,
Т=2700/r
— 250. Тогда Q
= 108
=
19892,77 Дж/с.
Примеры для самостоятельного решения
12.4.1.
Паропроводная труба диаметром 20
см
защищена слоем
магнезии толщиной 10
см.
Теплопроводность магнезии
.
Допустив, что температура трубы
160°
С,
а внешней поверхности слоя магнезии 30
°С,
найти
распределение температуры внутри
покрытия, а
также количество теплоты, отдаваемое
трубой в окружающую
среду в течение суток на протяжении
трубы в
1
м.
12.4.2.
Толщина кирпичной стены 30
см;
.
Установить, как зависит температура
от расстояния от точки до наружного
края стены, если
температура равна 20
°С
на внутренней и 0°С
на внешней
поверхности стены. Найти также количество
теплоты,
которое стена площадью 1
м2
отдает в окружающую
среду в течение суток.
12.4.3. Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20°С и тело в течение 20 мин охлаждается от 100 до 60°С, то через какое время температура его понизится до 30 °С?
12.4.4. Определить время совершения преступления, если в момент обнаружения температура тела равнялась 31 °С, а час спустя составляла 29 °С (считать, что в момент смерти человека температура его тела равна 37 °С, а температура воздуха 21 °С).
12.4.5. Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин понижается от 100 до 60°С. Температура окружающего воздуха 25 °С. Через какое время с момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 30 °С?
12.5. Движение материальной точки
При
решении задач динамики
материальной точки используют второй
закон
Ньютона
Решение типовых примеров
Пример
7.
Материальная точка массой m
с начальной скоростью
движется прямолинейно. На точку действует
сила сопротивления
направленная
в сторону, противоположную направлению
движения,
и по модулю равная
(k-размерный
постоянный коэффициент).
Определить
время
от
начала движения точки до остановки и
путь s
-
пройденный точкой.
Решение.
Примем за ось Ох
прямую,
вдоль которой происходит
движение, а за начало координат -
начальное положение точки. На точку
действует только одна сила
следовательно,
дифференциальное уравнение
движения точки имеет вид
.
Так
как точка движется по прямой, то
и уравнение принимает вид
Его общее решение
Поскольку
при t=0
то
Следовательно,
Так
как в момент t
(остановки
точки)
= 0, то
отсюда следует, что
Для
того чтобы найти х
как
функцию
t,
полученное
частное решение исходного уравнения
перепишем
в виде
Проинтегрировав его, будем иметь
.
Так
как при
то
Таким образом,
Следовательно,
в момент остановки
пройденный путь
.