Идентификация законов распределения случайных погрешностей. Критерии согласия.

Поскольку порядок обработки результатов измерений зависит от вида законов распределения их погрешностей, на практике часто возникает задача определить, можно ли считать экспериментально полученные данные подчиняющимися тому или иному закону распределения. Для этой цели служат так называемые критерии согласия. Одним из наиболее распространённых среди них является критерий ² Пирсона.

Допустим, что было получено n значений некоторой случайной величины x. Весь полученный диапазон этих значений разбивают на k интервалов, после чего подсчитывают количество попаданий l_i значений x в каждый из них. (Число интервалов зависит от количества исходных данных, и может быть рассчитано по эмпирической формуле Старджеса

, (2.17)

или

, (2.18)

однако следует учитывать, что для корректного применения данного критерия число интервалов должно быть не менее 8.)

По полученным данным рекомендуется построить гистограмму распределения – столбчатую диаграмму, у которой по горизонтальной оси откладываются интервалы, а высота столбцов пропорциональна относительной частоте попаданий в каждый из них:

. (2.19)

Гистограмма позволяет сделать предварительное суждение о законе распределения, которому подчиняются данные.

Мерой расхождения между экспериментально полученными данными и теоретическим законом распределения, которым они предположительно описываются, является статистика ²:

, (2.20)

где p_i – теоретическая вероятность попадания величины x в i-й интервал для принятого закона распределения.

Для того, чтобы исключить возможные ошибки, ход расчётов удобно свести в таблицу (табл. 2.1).

Таблица 2.1. Расчёты по критерию ²

Границы интервалов	x1 x2	x2 x3	…	xk xk+1
Количество попаданий li	l1	l2	…	lk
Относительная частота попаданий			…
Теоретическая вероятность попадания pi	p1	p2	…	pk
pin	p1n	p2n	…	pkn
li – pin	l1 – p1n	l2 – p2n	…	lk – pkn
(li – pin)2	(l1 – p1n)2	(l2 – p2n)2	…	(lk – pkn)2
			…

Полученное значение статистики ² сравнивается с теоретическим значением распределения ²

,

где  – уровень значимости критерия,

 = 1 – P_д (2.21)

(рекомендуется принимать  = 0,02 ÷ 0,1);

r – число степеней свободы,

r = k – s – 1; (2.22)

s – число наложенных связей, то есть параметров теоретического закона распределения, определяемых по экспериментальным данным (например, для нормального закона распределения связями будут являться оценки математического ожидания и СКО, используемые для расчёта теоретической вероятности p_i).

Если выполняется неравенство

, (2.23)

то проверяемая гипотеза (о соответствии экспериментальных данных принятому теоретическому закону распределения) может быть принята. В противном случае, то есть, если

, (2.24)

гипотеза должна быть отвергнута.

Следует отметить, что при помощи критериев согласия можно однозначно только отвергнуть рассматриваемую гипотезу, вопрос же о её принятии только на их основе решён быть не может.

Кроме критерия ², в метрологии также достаточно широко применяются критерий ² Мизеса-Смирнова, составной критерий, критерий Колмогорова и другие.