4. Лабораторная работа № 4. Совместные измерения.

Цель работы. Изучение методик обработки результатов совместных и совокупных измерений.

4.1. Теоретическая часть Обработка результатов совместных измерений

Совместные измерения – одновременные измерения двух или более разноимённых величин для установления зависимости между ними. Чаще всего требуется определить зависимость y = f(x) между двумя величинами x и y. Наибольшее применение для этой цели получил метод наименьших квадратов. Суть данного метода заключается в следующем: параметры исходной зависимости должны быть подобраны таким образом, чтобы сумма квадратов невязок (отклонений экспериментально полученных значений функции от расчётных значений y_i = f(x_i)) должна быть минимальной (принцип Лежандра):

(4.1)

(4.2)

Строгое математическое обоснование метода наименьших квадратов, дающего «наилучшие» оценки искомых параметров (в смысле их состоятельности, несмещённости и эффективности) возможно при выполнении некоторых допущений: 1) значения x должны быть известны точно; 2) результаты измерений y должны быть независимы, их систематические погрешности полностью исключены, а случайные подчиняться нормальному закону распределения с одинаковыми дисперсиями. Однако на практике данный метод даёт хорошие результаты и при отступлении от этих строгих требований. Например, вместо первого условия достаточно выполнить измерения x с большей точностью, чем y.

Допустим, что искомая зависимость имеет линейный характер:

. (4.3)

В этом случае выражения для получения оценок параметров a и b будут иметь вид:

; (4.4)

, (4.5)

где n – количество пар наблюдений величин x и y, по которым вычисляются оценки

СКО случайных погрешностей найденных значений определяют по выражениям:

; (4.6)

, (4.7)

где _y – СКО погрешностей измерения величины y, определяемое либо по методу обработки прямых измерений с многократными наблюдениями, либо по выражению

; (4.8)

m – число искомых параметров.

Доверительные границы погрешностей оценок искомых параметров рассчитываются по формулам:

; (4.9)

; (4.10)

где t_q;n–m – q-квантиль распределения Cтьюдента c n–m степенями свободы, квантильная вероятность q определяется по (2.8).

4.2. Порядок выполнения работы.

1. Собрать схему, изображённую на рис. 4.1.

Рис. 4.1

2. В окнах настроек блоков ramp, constant, gaussian установить значения параметров согласно своему варианту (табл. 4.2).

3. В окне Simulation Properties (меню Simulate → Simulation Properties…) на вкладке Range установить параметры Start 1, Step Size 1, End 10. На вкладке Preferences в поле Random Seed ввести любое целое число, отличное от 0.

4. Запустить модель (Go или F5).

5. Запуская модель 10 раз в пошаговом режиме (Single Step (F10)), получить 10 измеренных значений Y, занести их в таблицу (табл. 4.1).

Таблица 4.1

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y

6. По результатам опыта найти параметры линейной зависимости вида Y = aX + b между величинами X и Y (с доверительными границами погрешностей параметров a и b). Начертить график полученной зависимости в виде прямой линии, указав на этом же графике в виде точек результаты эксперимента.