Билет №1. Доказать теорему Ролля.

Пусть дана функция .

1. Определена и непрерывна на отрезке .

2. Дифференцируема на интервале .

3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения. .

Тогда найдется, по крайней мере, 1 , принадлежащая интервалу.

Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке, то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.

,,

,.

Случаи:

1. ,- любое из интервала

2. в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке интервала.

Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале в любой точке, то по теореме Ферма существует.

Доказать теорему о предельном переходе в неравенстве.

Пусть приимеет конечный предел А₁,приимеет конечный предел А₂, и существует:для, тогда.

Доказательство:

,

,

Пусть

Это неравенство выполняется для любого ,отсюда

Билет №2.

Доказать теорему Лагранжа.

Пусть функция .

4. Определена и непрерывна на отрезке .

5. Дифференцируема на интервале .

Тогда существует из интервала.

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию , где- константа.

1. Она непрерывна на

2. дифференцируема на .

Все условия теоремы Ролля выполняются существуетиз

Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.

, где

1)Пеано

2) где - Лагранж

3) - Коши

,,,

, т.к.sinx- нечет., то вып. усл.:

Билет №3.

Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.

, где

1)Пеано

2) где - Лагранж

3) - Коши

,,;

Сравнение на бесконечности роста показательной, степенной и логарифмических функций.

1), гдеs>0,x>0;.

2) ;;=;.

3) (по транзитивности)

Билет №4.

Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку Xиз указанной окрестности, тогда:

1. на - непрерывна.

2. на - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где, т.к., то

на :где,

Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.

Для того, чтобы функция , определённая вимела конечный предел при, необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и б.м.ф. при(, где- б.м.ф. при).

Доказательство: IНеобходимость:

Дано:

Доказать: , где- б.м.ф. при.

Пусть по определению б.м.ф- б.м.ф. при.

IIДостаточность:

Дано: , где- б.м.ф. при.

Доказать:

Билет №5.

Доказать второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция определена и имеет в окрестности точки с производную доn-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, аn-ая производная в точке С отлична от нуля. Еслиn– четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если, тоx=c– локальный минимум, если, тоx=c– локальный максимум.

Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С.

, где- б.м.ф. при. Пустьn– четное, тогдане меняет знак при переходе через С.в которой функция сохраняет знак своего предела.,.., если- точка локального экстремума.