Тема: Загальна лінійна економетрична модель

1. Множинна лінійна регресія

Рівняння множинної регресії – це рівняння такого вигляду, яке виражає лінійною залежністю умовне математичне сподівання регресанта y від декількох факторів x_і

М = f(x_1, x_2……. x_m), Y= f (A;Х)+ ,

де Х – матриця незалежних змінних, включає в себе змінні значення x_1, x_2.,.., x_m,

А – вектор невідомих параметрів моделі,

–випадковий (стохастичний) фактор.

Теоретично рівняння множинної лінійної регресії (РМЛР) записується в розгорнутому вигляді таким чином:

Y = а₀ + а₁ x₁ + а₂x₂ + … + а_mx_m + .

В цьому рівнянні кожен коефіцієнт a_j – це частинний коефіцієнт регресії, який характеризує чутливість величини у до зміни фактора х_j – вплив збільшення значення змінної x_j (на одну одиницю) на зміну умовного математичного сподівання Y (в певних одиницях вимірювання), коли всі інші змінні фактори вважаються сталими.

Частинні коефіцієнти еластичності: характеризують вплив окремих факторів: на скільки % зміниться регресант Y, якщо значення одного із факторів Х_j збільшиться на 1% за незмінності інших факторів.

Кількість спостережень n має бути m+1 , а число r = n-(m+1) називається кількістю ступенів свободи.

2. Передумови застосування метода найменших квадратів

– умови Гаусса-Маркова

1). Математичне сподівання випадкових відхилень дорівнює нулю. М( )=0

2). Наявність гомоскедастичності: дисперсія відхилень випадкових складових є сталою величиною

D = = const

3). Відсутність автокореляції: випадкове відхилення і є незалежними один від одного

4). Випадкові відхилення є незалежними від факторів x_j.

5). Відсутність мультиколінеарності: між самими пояснюючими змінними факторами x_j. відсутня строга лінійна залежність.

6). Самі випадкові відхилення мають нормальний закон розподілу.

Якщо всі ці умови виконуються, то розраховується емпіричне рівняння регресії:

Ŷ_р = â₀ + â₁ х₁+ â₂ х₂+ … + â_m х_m+ û,

де оцінки â_i – наближені значення теоретичних параметрів моделі (ці оцінки повинні бути ефективними, спроможними та незміщеними).

3. Дисперсійний і регресійний аналіз моделей

Y			Ŷр	û = y -yp	û 2
∑				0

Дисперсія залишків D_e =

Дисперсія змінної D_у = , = (фіксація F4)

Коефіцієнт детермінації R²=1- =

знаходиться для перевірки якості рівняння регресії і визначає характер лінійного впливу зміни значень факторів моделі на змінну Y , тобто на скільки відсотків рівняння регресії пояснює поведінку залежної змінної Y: R² є (0;1).

Крім того, показник R² може виявитися в ході розрахунків відємним :

• неякісна лінійна модель (звязок в моделі є нелінійним) ;

• коефіцієнт моделі а₀ є дуже і дуже малим;

• малий обсяг статистичних даних.

Коефіцієнт кореляції R =√ R² характеризує тісноту лінійного зв’язку :

чим тіснішим є лінійний звязок між Х і Y, тим ближче R 1,

чим слабшим є лінійний звязок між Х і Y ,тим ближче R 0.

Крім того, якщо R>0, то характер зміни Х і Y однаковий ,

якщо R<0, то характер зміни Х і Y протилежний.

Але фактори Х і Y можуть мати часовий тренд, не повязаний із причинно-наслідковою залежністю, наприклад, показник ВВП, рівень доходу і споживання, коли показник R може 1, а лінійний звязок може бути відсутнім.

Коваріаційна матриця Var  = D_e· (Х^т Х)^-1

Стандартні похибки оцінок параметрів моделі дорівнюють квадратному кореню з елементів головної діагоналі коваріаційної матриці S _â1 =√|| Var Â||₁₁

Інтервальні оцінки для оцінок параметрів моделі зі ймовірністю р = 1- α містять теоретичні параметри модепі a₁ є (â₁ - t_{α;( n-m )} ·S _â1 ; â₁ + t_{α;( n-m )}·S _â1 )