3.3 Розподіл дотичних напружень при крученні стержня круглого (кільцевого перерізу). Розрахунок на міцність

З рівняння (2.10) випливає, що дотичні напруження по радіусу перерізу розподіляються лінійно (рис. 19).

Як видно з приведених на рис.19 епюр дотичних напружень, максимальні дотичні напруження виникають у крайніх точках перерізу, де :

(2.12)

Рис. 19

З огляду на те, що величина є полярним моментом опору перерізу, умова міцності при крученні запишеться у вигляді:

(2.13)

де – допустиме дотичне напруження, обумовлене відношенням границі текучості матеріалу до коефіцієнту запасу міцності , тобто: .

З умови міцності полярний момент опору повинний бути обраний за формулою: .

Значення полярного моменту опору для вала круглого перерізу:

.

Значення полярного моменту опору для вала кільцевого перерізу:

.

Діаметр перерізу для круглого вала обчислюється за формулою:

для кільцевого вала:

3.4 Розрахунок на жорсткість

Крім розрахунку на міцність вали розраховуються на жорсткість:

(2.14)

У деяких випадках умова жорсткості при крученні складається в абсолютних кутах закручування ( в радіанах – допустимий абсолютний кут закручування):

. (2.15)

З формули (2.14) полярний момент інерції , що забезпечує жорсткість, визначається як:

Полярний момент інерції:

для круглого перерізу

,

для кільцевого

.

З умови жорсткості діаметр круглого перерізу:

зовнішній діаметр кільцевого перерізу:

.

Приклад 4

Рис. 20

З умов міцності та жорсткості визначити діаметр круглого суцільного вала (рис. 20) при таких значеннях моментів, які передаються шківами: ; ; ; .

Допустиме напруження , допустимий відносний кут закручування , або .

Модуль пружності сталі при зсуві .

Будуючи епюру крутних моментів, визначаємо, що найбільший момент діє на відрізку 2-3: .

Доберемо діаметр вала з умови міцності:

.

Тепер доберемо діаметр вала з умови жорсткості:

.

Із двох діаметрів слід вибрати більший, знайдений з умови жорсткості та округлити його в більшу сторону до найближчого стандартного. Стандартний діаметр повинен мати останню цифру 0,2,5,8, якщо діаметр обирається в міліметрах. Тому значення діаметру для вала обираємо:

При цьому максимальні дотичні напруження будуть на другій ділянці валу:

.

3.5 Потенційна енергія деформації при крученні

Потенційна енергія деформації , накопичена в пружному тілі, чисельно дорівнює роботі зовнішніх сил, виконаної в процесі деформування пружного тіла. Розглянемо стержень довжиною навантажений крутним моментом (рис. 21).

Рис. 21

Виріжмо елементарний відрізок і розглянемо його деформацію. Умовно закріпимо лівий переріз нескінченно малого елемента вала . При статичному навантаженні моментом правий переріз елемента повернеться на кут (рис. 21б). Елементарна робота моменту на куті закручування при навантаженні визначається площею трикутника (рис. 21в), тобто . Кут закручування визначається за формулою (2.11) і складе: . Підставивши значення у вираз для роботи , одержимо , де – полярний момент інерції при крученні. Але робота чисельно дорівнює потенційної енергії деформації , тобто . Повна потенційна енергія деформації визначається як інтеграл по довжині стержня:

(2.16)

Якщо стержень складається з декількох ділянок, потенційна енергія деформації обчислюється як сума інтегралів по ділянках:

(2.17)