3.11 Статично невизначувані системи при крученні

Статично невизначуваною називається кінематично незмінна система, у якої число невідомих зусиль, включаючи реакції опор і внутрішні силові фактори (крутні моменти), більше числа рівнянь статики, які можна скласти для даної задачі.

Ступінь статичної невизначеності показує, скільки рівнянь спільності переміщень у геометричному аналізі деформування необхідно скласти, щоб можна було вирішити задачу. План рішення задачі такий же, як при рішенні статично невизначуваних систем при розтяганні – стисканні.

Отже рішення статично невизначених задач розглянемо на прикладах.

3.11.1 Розкриття статичної невизначуваності при послідовному з`єднанні ділянок стержня

Розкрити статичну невизначеність вала (рис. 31), побудувати епюру крутних моментів та визначити розміри поперечного перерізу стержня, якщо допустиме дотичне напруження .

Рис. 31

Статична сторона задачі.

Складемо рівняння рівноваги:

(2.37)

Система є один раз статично невизначеною.

Геометрична сторона задачі.

Для розкриття статичної невизначуваності необхідно скласти одне рівняння спільності переміщень.

Відкинемо праве затиснення і його дію замінимо моментом . Цей момент визначається з умови, що поворот правого торцевого перерізу щодо лівого дорівнює нулю:

(2.38)

Фізична сторона задачі.

Скористаємося законом Гука при крученні для кутів закручування:

(2.39)

Спільне рішення рівнянь.

Підставимо (2.39) в (2.38):

(2.40)

З обліком того, що ,

, , та виконавши відповідні перетворення, одержимо:

відкіля: .

З (2.37):

.

Побудова епюри крутних моментів.

По ділянках, показаних на рис. 31, обчислюємо значення крутного моменту:

Перевіряємо правильність рішення задачі, для чого обчислимо кут повороту :

Визначення розмірів поперечного перерізу.

Попередньо визначимо, на якій ділянці вала виникають найбільші напруження.

Полярні моменти опору окремих ділянок вала:

, .

Одержимо наступне:

1-а ділянка діаметром –

2-я ділянка діаметром –

3-я ділянка діаметром – ;

4-а ділянка діаметром –

Таким чином, найбільш навантажений стержень на другій ділянці діаметром .

З умови міцності , одержимо:

.

3.11.2Розкриття статичної невизначуваності при паралельному з`єднанні ділянок стержня

Сталевий стержень 1 квадратного перерізу ( см) і алюмінієва трубка 2 ( см, см) з'єднані жорстким диском, до якого прикладений момент (рис. 32). Модуль зсуву сталі , алюмінію .

Визначити максимальні дотичні напруження в перерізах сталевого й алюмінієвого стержнів та кут повороту перерізу А.

Рис. 32

Статична сторона задачі.

Зовнішній момент розподіляється на два стержні, і рівняння статики прийме вид:

чи (2.41)

Геометрична сторона задачі.

Так як диск, що скріплює алюмінієву трубку і сталевий стержень, є абсолютно жорстким тілом, то кут повороту перерізу А для обох стержнів однаковий. Рівняння спільності переміщень:

. (2.42)

Фізична сторона задачі. За законом Гука при крученні: , одержимо:

,

відкіля:

(2.43)

Обчислюємо полярний момент інерції для кільцевого перерізу алюмінієвої трубки:

см⁴.

Момент інерції при крученні для сталевого стержня квадратного перерізу дорівнює:

см⁴,

де при відношенні .

Підставивши в рівняння (2.43) значення , одержимо:

. (2.44)

Вирішуючи спільно рівняння (2.44) і (2.41), одержимо значення моментів, діючих в перерізах трубки і стержня:

,

.

Обчислюємо полярний момент опору для стержня кільцевого перерізу:

,

і полярний момент опору для стержня квадратного перерізу:

,

( при відношенні ).

Визначаємо максимальні дотичні напруження:

• в сталевому стержні:

МПа;

• в алюмінієвому стержні:

МПа.

Перевіряємо правильність рішення задачі.

Кут повороту диска (переріз А) дорівнює куту повороту крайнього правого перерізу квадратного сталевого стержня і кільцевого алюмінієвого стержня: