§ 1.4. Погрешности измерений

В § l.l было показано, что в процессе измерения получают неко­торую оценку значения физической величины в принятых единицах, а истинное значение физической величины всегда остается неиз­вестным, из-за чего нельзя определить истинное значение погреш­ности измерения. Для приближенной оценки погрешности исполь­зуют понятие действительного значения физической величины (см. § 1.1), которое находят более точными методами и средствами. Получаемую оценку погрешности, представляющую собой раз­ность Δ [см. (1.3)] между полученным при измерении и действи­тельным значениями физической величины (здесь и далее имеется в виду абсолютная погрешность), в зависимости от причин возник­новения, характера и условий проявления принято выражать суммой двух составляющих, называемых случайной ψ и систематиче­ской θ погрешностями измерений:

Δ = θ + ψ. (1.8)

Классификация погрешностей измерений приведена на рис. 1.7.

Р ис. 1.7. Классификация

Погрешностей измерений

.

Случайная погрешность измерения — составляющая погрешно­сти измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайная погрешность определяется факторами, проявляющи­мися нерегулярно с изменяющейся интенсивностью. Значение и знак случайной погрешности определить невозможно, так как в каждом опыте причины, вызывающие погрешность, действуют не­одинаково. Случайная погрешность не может быть исключена из результата измерений. Однако проведением ряда повторных изме­рений и использованием для их обработки методов математической статистики определяют значение измеряемой величины со случай­ной погрешностью, меньшей, чем для одного измерения.

При организации статистических измерений (см. § 1.2), для которых и определяется случайная погрешность, создаются усло­вия, характеризующиеся тем, что интенсивность всех действующих факторов доводится до некоторого уровня, обеспечивающего более или менее равное влияние на формирование погрешности. В этом случае говорят об ожидаемой погрешности (рис. 1.7). Кроме этой погрешности могут иметь место грубые погрешности и промахи.

Грубой погрешностью называют погрешность измерения, суще­ственно превышающую ожидаемую при данных условиях. Причи­нами грубых погрешностей могут являться неисправность средств измерений, резкое изменение условий измерений и влияющих ве­личин.

Промах — погрешность измерения, которая явно и резко иска­жает результат. Промах является случайной субъективной ошиб­кой. Его появление — следствие неправильных действий экспери­ментатора.

Грубые погрешности и промахи обычно исключаются из экспе­риментальных данных, подлежащих обработке.

Отдельное значение случайной погрешности предсказать невоз­можно. Совокупность же случайных погрешностей какого-то изме­рения одной и той же величины подчиняется определенным зако­номерностям, которые являются вероятностными. Они описываются в метрологии с помощью методов теории вероятностей и математи­ческой статистики. При этом физическую величину, результат из­мерения которой содержит случайную погрешность, и саму случай­ную погрешность рассматривают как случайную величину.

Для количественной оценки объективной возможности появле­ния того или иного значения случайной величины служит понятие вероятности, которую выражают в долях единицы (вероятность до­стоверного события равна 1, а вероятность невозможного собы­тия — 0).

Математическое описание непрерывных случайных величин осу­ществляется обычно с помощью дифференциальных законов рас­пределения случайной величины. Эти законы определяют связь между возможными значениями случайной величины (погрешно­сти) и соответствующими им плотностями вероятностей (непре­рывной считают случайную величину, имеющую бесчисленное мно­жество значений, получить которое можно только при бесконечном числе измерений).

Наиболее распространенным при измерениях является нормаль­ный закон распределения. Для некоторой измеряемой величины X кривая 1распределения плотности вероятности р(Х) для закона нормального

Рис. 1.8. Кривые нормального распределения случайных величин и их случайных погрешностей

распределения имеет вид, показанный на рис. 1.8, а. При этом плотность вероятности (или плотность распределения) характеризует плотность, с которой распределяются значения слу­чайной погрешности в данной точке. Плотность вероятности для закона нормального распределения описывается уравнением

(1.9.)

где М[Х] и — характеристики нормального распределения.

Кривую 1 (рис. 1.8, а) можно рассматривать как кривую 1 рас­пределения случайной погрешности (рис. 1.8, б), перенеся начало координат в точку Х=М[Х], В этом случае плотность вероятности

(1.10)

где =Х— М[Х] — случайная погрешность.

Характеристики М[Х] и называют соответственно математиче­ским ожиданием и среднеквадратическим отклонением. Они явля­ются важными числовыми характеристиками случайной величины.

Математическое ожидание является тем значением величины, вокруг которого группируются результаты отдельных наблюдений (см. рис. 1.8), а среднеквадратическое отклонение характеризует рассеяние результатов отдельных наблюдений относительно мате­матического ожидания, т, е. форму кривой распределения плотности вероятности, площадь под которой всегда равна единице. На рисунке показаны кривые закона нормального распределения (кри­вые Гаусса) случайной величины X (рис. 1.8, а) и ее случайной погрешности (рис. 1.8, б) при различных значениях среднеквадратического отклонения; рассеяние для кривой 3, больше, чем рас­сеяние для кривой 2, а рассеяние для кривой 2 — больше, чем кри­вой 1.

Геометрически определяется как расстояние от оси симмет­рии нормального распределения до точки А перегиба кривой рас­пределения (рис. 1.8, а, б).

Чтобы определить вероятность Р попадания результата измере­ния или случайной погрешности в некоторый наперед заданный интервал от — _д до + _д (рис. 1.8, в), необходимо найти площадь под кривой распределения, ограниченную вертикалями на границе интервала. Для нормального распределения

(1.11.)

Решить интеграл (1.11) аналитически невозможно. Обычно он приводится в виде таблиц, позволяющих определить его значение приближенно в долях единицы. Чаще решается обратная задача, состоящая в определении доверительного интервала.

Доверительным интервалом с границами (или доверительными границами от — _д до + _д, (рис. 1.8, в) называют интервал, кото­рый с заданной вероятностью Р_д, называемой доверительной, на­крывает истинное значение измеряемой величины.

Наиболее часто применяемым в практике обработки результа­том измерений для нормального закона распределения является значение доверительной вероятности для значений доверительного интервала, равных ,2 и 3 . Значения доверительных вероятностей для них соответственно равны 0,500; 0,950; 0,997. Физически это означает, что появление случайных погрешностей за пределами интервала ± равновероятно, т. е. составляет 50 % вероятности появления случайных погрешностей, меньших по значениям , и 50 % — больших . При интервалах, равных 2 и ±3 , вероятность появления случайных погрешностей, больших 2 и 3 , составляет соответственно 5 и 0,3 % .

Часто встречающимся в измерительной практике законом рас­пределения случайной погрешности является равномерный закон (рис. 1.9, а), когда непрерывная случайная величина имеет возможные значения в пределах некоторого конечного интервала, при­чем в пределах этого интервала все значения случайной величины обладают одной и той же плотностью вероятности:

(1.12)

Примером равномерного распределения погрешности может служить погрешность от трения в приборах с механическими по­движными элементами.

Графическая интерпретация закона распределения, называемого двухмодальным, показана на рис. 1.9, б, В соответствии с этим за коном

Рис. 1.9. Виды дифференциальных законов распределения случайной по­грешности

малые случайные погрешности встречаются реже, чем боль­шие. Середина кривой распределения плотности вероятности ока­зывается прогнутой вниз. В пределе такое двухмодальное распре­деление может превратиться в распределение, показанное на рис. 1.9, в, когда единственно наблюдаемыми погрешностями будут погрешности ± с. Такое распределение называют дискретным. Двух­модальное распределение обычно представляют как композицию дискретного и нормального распределений со среднеквадратическим отклонением _м и аналитически описывается выражением

(1.13.)

Появление двухмодального распределения обычно вызвано яв­лениями люфта и гистерезиса в кинематических цепях средств из­мерений.

Систематическая погрешность — составляющая погрешности из­мерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины (см. рис. 1.7).

Выявление и оценка систематических погрешностей являются наиболее трудным моментом любого измерения и часто связаны с необходимостью проведения исследований. Обнаруженная и оце­ненная систематическая погрешность исключается из результата введением поправки. В зависимости от причины возникновения раз­личают следующие систематические погрешности.

Погрешность метода (теоретическая погрешность) измерений — составляющая погрешности измерения, обусловленная несовершен­ством метода измерений. Здесь необходимо учитывать тот факт, что метод измерения, по определению, включает в себя и принцип из­мерения. Рассматриваемая погрешность определяется в основном несовершенством принципа измерения и, в частности, недостаточ­ной изученностью явления, положенного в основу измерения.

Инструментальная погрешность измерения — составляющая по­грешность измерения, зависящая от погрешности применяемых средств измерений. Данная погрешность имеет несколько состав­ляющих, наиболее важные из которых определяются несовершен­ством конструкции (или схемы), технологии изготовления средств измерений, постепенным их износом и старением материалов, из которых эти средства измерений изготовлены.

Погрешность установки является следствием неправильности установки средств измерений.

Погрешность от влияющих величин является следствием воздей­ствия на объект и средством измерений внешних факторов (тепло­вых и воздушных потоков, магнитных, электрических, гравитаци­онных и других полей, атмосферного давления, влажности возду­ха, ионизирующего излучения).

Субъективная погрешность обусловлена индивидуальными свой­ствами человека, выполняющего измерения. Причиной ее являются укоренившиеся неправильные навыки выполнения измерений. К этой систематической погрешности относятся, например, погреш­ность из-за неправильного отсчитывания десятых долей делений шкалы прибора, погрешности из-за различной для различных лю­дей скорости реакции и т. п.

По характеру проявления систематические погрешности подраз­деляют на постоянные и переменные (см. рис. 1.7).

Постоянные погрешности не изменяют своего значения при по­вторных измерениях. Причинами этих погрешностей являются: не­правильная градуировка или юстировка средств измерений, непра­вильная установка начала отсчета и т. д.

Переменные погрешности при повторных измерениях могут при­нимать различные значения. Если переменная погрешность при по­вторных измерениях возрастает или убывает, то ее называют про­грессивной. Переменная погрешность может изменяться при повтор­ных измерениях периодически или по сложному закону.

Причинами возникновения переменной систематической погреш­ности являются: действие внешних факторов и особенности конст­рукций средств измерений.

Погрешности, приведенные на рис. 1.7, могут иметь место как при статических, так и при динамических измерениях (см. § 1.2). Погрешности, возникающие при этих измерениях, принято назы­вать соответственно статическими или динамическими.

22