1.1.4. Сравнение множеств

Определение. Говорят, что множество A содержится во множестве B (А – подмножество B, А включено в B, В содержит/включает A), если всякий элемент множества A принадлежит и множеству В. В этом случае пишут: . Таким образом, 

Можно сказать иначе: если , то .

Одновременно верно и такое утверждение: если и , то , ведь в противном случае обязан принадлежать . Значит, можно записать: если , то .

Определение. Говорят, что множество A есть собственное подмножество множества B (В строго включает А) и пишут A В, если и В А.

Таким образом, A В  и

Определение. Если (A В), то множества А и В называются сравнимыми между собой.

Ясно, что

 A для всякого множества A;

 Если и , то ; ( и , то ).

Исходя из определения подмножества, опишем необходимые и достаточные условия того, что множество А не является подмножеством множества В (обозначение: А  В).

Именно, АВ  Во множестве А должен существовать хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству В.

Утверждение. для всякого множества А.

Доказательство. Пусть . Тогда . Но данное условие противоречиво, пустое множество не содержит элементов.

Пример. Пусть В = {1, {2}, {1}, {2, 3}, {1, 3}} и А₁ = {1, 2};

А₂ = {1, {1}}; А₃ = {2, 3}; А₄ = {{2, 3}}; А₅ = {1, {2, 3}, {1, 3}};

А₆ = {1, }; А₇ = {{2}, {2, 3}, {1, 2, 3}}; А₈ = .

Тогда А₁  В (2  В); А₂  В; А₃  В (2  В и 3  В); А₄  В; А₅  В; А₆  В (  В); А₇  В ({1, 2, 3}  В); А₈  В.

Определение. Булеаном множества А (обозначается 2^А) называется семейство всех подмножеств данного множества А.

Значит, 2^А={B|B A}. В частности, и

Примеры булеанов.

Пусть . Тогда .

Пусть . Тогда .

Пусть А = . Тогда 2^А = {}.

Определение. Мощностью конечного множества А (обозначение: ) называют число его элементов.

Пример. || = 0; |{}| = |{x}| = 1; |{1, {1}, 2, {1, 2}}| = 4; |{{1, 2, 3, 4, 5}, }| = 2.

Утверждение. Если , то .

Доказательство. Число подмножеств множества А, содержащих k элементов, равно числу способов отобрать из n элементов множества А k элементов, образующих данное подмножество, т. е. равно . Отсюда

1.2.1. Операции над множествами

Определение 1. Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих двух множеств.

Еще будем писать так: .

В устной или письменной речи операцию объединения описывают союзом или.

Непосредственно из определения операции объединения следует справедливость и такого утверждения: если , то элемент принадлежит объединению множества со всяким другим множеством . Будем писать: .

Что же означает условие ? Из определения операции объединения следует, что если , этот элемент не может входить ни в одно из данных двух множеств, то есть

Пример. Пусть . Тогда

Пусть . Тогда

Определение. Пересечением (или , или АВ) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам.

По-другому: .

Но если , он не принадлежит и пересечению с любым другим множеством. Будем писать: .

В устной или письменной речи операции пересечения соответствует союз и.

Таким образом, чтобы элемент не принадлежал пересечению , необходимо и достаточно, чтобы он не принадлежал хотя бы одному из двух множеств, т.е.

Пример. , . Тогда

, . Тогда

Определение. Два множества называются непересекающимися, если АВ= .

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Иная запись: .

Из этого определения следует, что тогда и только тогда, когда или . Итак, .

Пример. , . Тогда

, . Тогда ,

Итак, если , то так как во множестве А нет ни одного элемента, который не ходил бы в множество В. Обратно, если , так как каждый элемент множества А принадлежит и В.

Определение. Симметрической разностью А В (или АВ) множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат ровно одному из данных множеств

Или так: .

Но тогда .

Пример. Тогда

, . Тогда

Таким образом,

Определение. Дополнением множества А до универсума U называют множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые не принадлежат А.

Иная запись: .

В устной речи операции дополнения соответствует частица не.

Пример. , . Тогда

Таким образом,

Утверждение.

Доказательство. Докажем, что множества и состоят из одних и тех же элементов. Используя понятие подмножества, можно сказать, что А = В  А  В и В  А (множества А и В состоят из одних и тех же элементов).

а. Пусть

б. Пусть