Механическое взаимодействие.

1. Задача 9. Определение допустимой нагрузки на фундамент (внешней нагрузки на основание).

Постановка задач. Рассматриваются задачи расчета допустимой (максимальной) нагрузки, передаваемой на основание через нижний конец сваи или подошву столбчатого и ленточного фундамента. Максимальная нагрузка определяется произведением допускаемого давления на площадь торца сваи или подошвы столбчатого и ленточного фундамента. В свою очередь допускаемое давление принимается равной величине, которая находится в интервале между начальной критической и предельной критической нагрузками.

Под начальной критической нагрузкой понимается такая нагрузка на фундамент, при которой в грунте у края фундамента зарождается зона сдвигов (пластический шарнир) и заканчивается фаза уплотнения. Под предельной критической нагрузкой – нагрузка, при которой зона сдвигов образуется под всей подошвой фундамента и грунт переходит в неустойчивое состояние. Выведем расчетные формулы для начальной критической нагрузки и запишем для предельной, предварительно допустив:

- грунт является однородным;

- талый грунт представляет собой сыпуче-связанную среду ( (с - сцепление; - угол внутреннего трения грунта);

- мерзлый грунт представляет собой идеально связанную среду ( .

Теоретические основы метода решения задачи. В целях упрощения математических выкладок дадим вывод расчетных формул только для плоской задачи. Она соответствует случаю, когда длина фундамента во много раз превосходит его ширину ( ленточный фундамент). Вначале рассмотрим сыпуче-связанную среду (талый грунт).

Условие возникновения зон сдвигов в основании полосообразной нагрузки (ленточный фундамент) запишется (Цытович, 1973¹):

, (5.132)

где – главные напряжения в грунте, Па; - угол внутреннего трения талого грунта, рад; - сцепление талого грунта, Па.

В то же время главные напряжения в произвольной точке М, расположенной на глубине и характеризуемой углом видимости , (рис. 14.1) равны:

Рис. 5.9 Схема к расчету критических нагрузок на основание.

(5.133)

где – полезная нагрузка, Па; - пригрузка, равная , Па; - плотность талого грунта, кг/м³ ; - глубина заложения фундамента, м; - ускорение силы тяжести, 9.81 м/с²; - угол видимости полезной нагрузки из точки М, рад.

Подставив (5.133) в (5.132) найдем вертикальную координату зоны сдвигов:

. (5.134)

По известным правилам найдем максимальный размер зоны сдвигов .

Откуда или .

Таким образом (5.135)

Подставив (5.135) в (5.134) и решив полученное уравнение относительно будем иметь:

. (5.136)

Если под подошвой фундамента не допускать образование пластического шарнира, что будет соответствовать начальной критической нагрузки, то ее значение может быть найдено из выражения (14.5) при .

нач (5.137)

Предельная критическая нагрузка для плоской задачи была вычислена Прандтлем и Рейснером в 1921 г. Опуская сложные математические выкладки, приведем окончательное решение:

пред , (5.138)

Как отмечалось выше, за допускаемое давление на грунт принимается величина:

нач < R < пред Нормативным документом (СНиП 2.02.01-83) при вычислении R допускается образование под краями фундамента зоны сдвигов на глубину . Подставив это значение в (5.136) а также приняв (наихудший случай), получим формулу для вычисления R :

(5.139)

где ;

Для идеально связанной среды (мерзлый грунт) выражения для критических нагрузок существенно упрощаются. При условие предельного равновесия ( 5.132) принимает вид:

(5.140)

где – предельно длительное сцепление мерзлых грунтов, зависящее от их температуры, Па.

Подставив в (5.140) значения из (5.133) при этом вместо следует подставить (плотность мерзлого грунта) получим уравнение, из которого найдем критическую нагрузку:

, (5.141)

Очевидно, что величина будет минимальной для точки, в которой . Такая точка расположена под краем фундамента. Принимая значение критической нагрузки в этой точке за начальное, получим:

нач (5.142)

Выражения для предельной критической нагрузки в случае идеально связанной среды также значительно упрощаются.

Для полосообразной нагрузки (плоская задача) оно имеет вид (Прандтль, 1920):

пред (5.143)

Для прямоугольной нагрузки – (Шилд,1958):

пред . (5.144)

В качестве допускаемого давления на мерзлый грунт принимается величина, вычисляемая по формуле (5.143).

2. Задача 10. Расчет осадки талого грунта от действия внешней нагрузки.

Постановка задачи. К линейно деформируемому полупространству на ограниченной площади приложена равномерно распределенная нагрузка, требуется определить деформацию ограничивающей полупространство поверхности. Рассматриваются два случая – однородное и неоднородное полупространство.

Теоретические основы метода решения задачи. Вначале рассмотрим однородное полупространство. Исходной зависимостью при определении общих (упругих и остаточных) деформаций является формула Буссинеска для перемещений поверхности, расположенной параллельно ограничивающей, от действия сосредоточенной силы (Цытович, 1973¹):

(5.145)

где - осадка точек на плоскости, расположенной на глубине , м; ; .- модуль общей деформации, Па; - коэффициент относительной поперечной деформации

Принимая во внимание, что для ограничивающей полупространство поверхности , а , можем записать:

(5.146)

где - координаты (рис. 5.9), м.

При действии на ограничивающую линейно деформируемое полупространство плоскость местной равномерно распределенной по площади нагрузки осадки любой точки определяются путем интегрирования осадки

Рис. 5.9 Составляющая нормальных напряжений для площадки параллельной ограничивающей плоскости.

от действия элементарной сосредоточенной силы . Используя формулу (5.146), получим:

(5.147)

Если площадь приложения нагрузки есть прямоугольник длиной и шириной , то можно записать:

, (5.148)

где ;

Параметр в нашем случае получен в предположении гибкого приложения нагрузки. В то же время фундамент, как известно, имеет определенную жесткость и в следствие этого все его точки перемещаются на одну и ту же величину. Этот сложный случай мы не рассматриваем и отсылаем читателя к многочисленной литературе по механике грунтов. Здесь же приводим лишь окончательное решение, выраженное в табличной форме

(табл. 5.1) и заимствованное нами из работы Н.А. Цытовича (1973¹).

Таблица 5.1

Значение параметра

	Круг	1	2	3	4	5	10
Гибкий ф-т	1.00	1.12	1.53	1.78	1.96	2.10	2.53
Гибкий ф-т	0.85	0.95	1.30	1.53	1.70	1.83	2.25
Жесткий ф-т	0.79	0.88	1.22	1.44	1.61	1.72	2.12

Примечание. – для максимальной осадки под центром загруженной площади; - для средней осадки всей загруженной площади; - для осадки абсолютно жесткого фундамента.

С другой стороны при компрессионном уплотнении слоя конечной толщины будем иметь:

. (5.149)

Найдем такой слой, Н.А. Цытович называет его эквивалентным слоем, осадка которого при сплошной нагрузке в точности равна осадке фундамента, расположенном на грунтовом полупространстве. Для этого приравняем правые части выражений (5.148) и (5.149) и полученное уравнение решим относительно :

(5.150)

где

Подставив значение из выражения (5.150) в (5.149) и имея в виду, что коэффициент сжимаемости грунта определяется по формуле окончательно будем иметь:

, (5.151)

где - коэффициент сжимаемости талого грунта, 1/Па.

Произведение Н.А. Цытович называет коэффициентом эквивалентного слоя и дает его табличные значения. Эти значения для различных грунтов и абсолютно жесткого фундамента приведены в табл. 1.15.

Рассмотрим еще один метод расчета осадки, который получил широкое распространение в нормативной литературе, - метод послойного элементарного суммирования. Он заключается в том, что осадку грунта под действием внешней нагрузки определяют как сумму осадок элементарных слоев грунта такой толщины, для которых можно без большой погрешности принимать средние значения действующих сжимающих напряжений . Считают, что каждый -ый элемент грунта будет испытывать только вертикальное сжатие под действием -го сжимающего напряжения. Тогда его осадка будет равна: . А для всей однородной толщи она составит величину:

(5.152)

где – площадь эпюры сжимающих напряжений от действия внешней нагрузки, Па∙м; - глубина активной зоны сжатия, м.

Глубина активной зоны сжатия назначается из условия равенства на глубине сжимающих напряжений от внешней нагрузки 20% напряжений от собственного веса:

(5.153)

Опыт показывает, что а также, что тощина -го слоя должна быть не больше 1/4 ширины фундамента, т.е. .

Рассмотрим теперь неоднородное линейно деформируемое полупространство, представленное неоднородными слоями, расположенными параллельно ограничивающей плоскости. Здесь возможно два подхода – непосредственный учет слоистости в самой расчетной формуле и приведение неоднородного полупространства к однородному и затем использование расчетных формул для однородного полупространства.

В первом случае формулу для расчета осадки можно записать, используя метод послойного элементарного суммирования:

(5.154)

где - коэффициент сжимаемости -го слоя грунта, 1/Па.

При этом массив разбивается расчетными слоями таким образом, чтобы поверхности слоев совпадали с границами неоднородности.

Второй случай заключается в осреднении коэффициента сжимаемости по отдельным слоям и получение некоторого условного коэффициента сжимаемости , характеризующего условное однородное полупространство, осадка которого от внешней нагрузки будет такой же, как и у реального неоднородного полупространства.

При выводе расчетной формулы сделано два допущения (Цытович, 1973¹): глубина активной зоны сжатия равна двойной толщине эквивалентного слоя, определяемого по формуле (5.150), т.е. , и сжимающие напряжения распределены по треугольной эпюре.

С учетом этих допущений сжимающее напряжение в середине -го слоя будет равно:

(5.155)

где - расстояние от ограничивающей полупространство поверхности до середины -го слоя, м.

Полная осадка всей зоны активного сжатия равна сумме осадок отдельных слоев с одной стороны и осадке эквивалентного слоя однородного полупространства с другой. Приравнивая их, получим следующее уравнение:

(5.156)

Решая (5.156) относительно , получим:

, (5.157)

где - число неоднородных слоев в пределах зоны активного сжатия; - толщина эквивалентного слоя, определяемая по формуле (5.150).

Осадка условного полупространства под действием внешней нагрузки вычисляется через толщину эквивалентного слоя по формуле: .

Мы рассмотрели случаи, когда внешняя нагрузка приложена на поверхности полупространства. Часто эта нагрузка прикладывается на некоторой глубине от поверхности, например, на глубине заложения подошвы фундамента . Учитывая, что начиная с этой глубины грунт уже был обжат давлением от собственного веса, дополнительное уплотнения грунта будет определяться не всем внешним давлением , а только той ее частью, которая будет превышать давление от собственного веса, т.е. дополнительным давлением , которое и следует подставить в расчетные формулы по определению осадки.

Задача 11. Расчет осадки оттаивающего грунта от действия внешней нагрузки и собственного веса.

Постановка задачи. К поверхности линейно деформируемого слоя ограниченной мощности (оттаивающий и оттаявший слой грунта), расположенному на несжимаемом основании (на ВМГ) приложена равномерно распределенная нагрузка, требуется определить деформацию поверхности слоя. Рассматриваются два случая – слой представлен однородным и неоднородным грунтом.

Теоретические основы метода решения задачи. Вначале рассмотрим однородный слой. При компрессионном уплотнении оттаивающего слоя грунта Н.А Цытович (1973²) осадку поверхности слоя разделяет на две части – осадку оттаивания, не зависящую от действующей на слой нагрузки (складывается из изменения объема льда при переходе его в воду и изменения объема от некоторого закрытия макротрещин грунта при оттаивании) и осадку уплотнения, прямо пропорциональную действующей нагрузке (внешней нагрузке и нагрузке от собственного веса грунта):

(5.158)

где – коэффициент оттаивания; - коэффициент сжимаемости оттаивающего грунта, 1/Па; - мощность оттаявшего слоя, м; - действующее на оттаявший слой давление, Па.

Выражение (5.158) является исходным для определения осадки оттаивающих грунтов. Используя это выражение запишем формулу для определения осадки фундамента на оттаивающих вечномерзлых грунтах сливающегося типа:

(5.159)

где – глубина оттаивания ВМГ в месте расположения фундамента, считая от поверхности грунта, м; - плотность оттаивающего грунта, кг/м³; - эпюры давлений соответственно от внешней нагрузки и собственного веса грунта, расположенные ниже подошвы фундамента (рис. 14.6), Па∙м.

По аналогии запишем формулу для определения осадки фундамента на оттаивающих вечномерзлых грунтах несливающегося типа:

(5.160)

а также для определения осадки фундамента, расположенного на слое предварительно оттаянного грунта:

(5.161)

где – глубина расположения ВМГ в естественных условиях или глубина предварительного оттаивания, м; - коэффициент сжимаемости талых или

Рис. 5.10 Эпюры давлений в оттаивающем слое грунта.

предварительно оттаянных грунтов, 1/Па; - степень консолидации предварительно оттаянных грунтов; - эпюры давлений от внешней нагрузки и собственного веса в интервале глубин от до , Па∙м; - то же в интервале глубин от до , Па∙м.

При наличии в толще мерзлого грунта ледяных включений, как считает Н.А. Цытович, дополнительно должны учитываться лишь сплошные, выдержанные по площади прослойки льда толщиной более нескольких миллиметров, размеры которых могут быть замерены при изысканиях, другие же включения льда должны быть учтены коэффициентом оттаивания А. При учете ледяных включений формулы (5.159) – (5.161) несколько преобразуются. Покажем это на примере наиболее общей формулы (5.161). При учете ледяных включений эта формула принимает вид:

(5.162)

где - суммарная величина всех ледяных включений в оттаявшем слое, м.

Сделаем некоторые преобразования, позволяющие упростить формулы по расчету осадки. Во-первых, объединим все члены формулы, отвечающие за расчет осадки, обусловленной оттаиванием, и положим их равными относительной сжимаемости мерзлых грунтов при оттаивании, умноженной на величину оттаивания :

. Во-вторых, осадку сжимаемости от внешней нагрузки определим методом эквивалентного слоя: .

В-третьих, положим .

После преобразования формулы (5.159) – (5.161) примут вид:

(5.163)

где  - относительная сжимаемость мерзлого грунта при оттаивании, определяется испытанием, при его отсутствии для предварительных расчетов может быть найдена по его льдосодержанию (см. таб. 1.16); - величина оттаивания, равная в случае вечномерзлых грунтов сливающегося типа и в остальных случаях, м; - коэффициент сжимаемости талого или предварительно оттаянного грунта, 1/Па; - дополнительное давление, Па; - осадка консолидации предварительно оттаянного грунта, м. Рассмотрим теперь неоднородный линейно деформируемый слой конечной толщины, представленный неоднородными слоями, расположенными параллельно дневной поверхности. Здесь возможно два подхода – непосредственный учет слоистости в самой расчетной формуле и приведение неоднородного слоя конечной толщины к однородному и затем использование расчетных формул для однородного слоя.

В первом случае массив разбивается расчетными слоями таким образом, чтобы поверхности слоев совпадали с границами неоднородности. Далее формула записывается как сумма осадок неоднородных слоев.

Второй случай заключается в осреднении относительной сжимаемости ВМГ при оттаивании и коэффициента сжимаемости талых или предварительно оттаянных грунтов по отдельным слоям и получение некоторой условной сжимаемости ВМГ при оттаивании и некоторого условного коэффициента сжимаемости талого или предварительно оттаянного грунта , характеризующих условный однородный слой конечной толщины, осадка которого от внешней нагрузки и собственного веса будет такой же, как и у реального неоднородного слоя.

Величина была нами вычислена ранее, см. формулу (5.157). Здесь однако следует заметить, что формула (5.157) была выведена для полупространства и в нашем случае (слой конечной толщины) может быть использована только тогда, когда распределение сжимающих напряжений в слое конечной толщины практически не отличается от распределения напряжений в полупространстве. Как отмечает Н.А. Цытович (1973¹), это имеет место в случае . Надо сказать, что данное условие почти всегда выполняется, поэтому погрешность такого допущения будет небольшой, тем более, что осадка уплотнения талых грунтов под внешней нагрузкой обычно не превышает 10% общей осадки.

Что касается вычисления , то здесь будем исходить из равенства осадок неоднородного слоя осадкам однородного: . Откуда получим:

(5.164)

где - число неоднородных слоев в пределах оттаявшего слоя.

Расчет осадки неоднородного слоя осуществляется по формуле (5.163), куда вместо параметров и подставляются параметры и .

Задача 12. Расчет устойчивости свободных откосов.

Постановка задачи. Рассматривается два элементарных случая – расчет устойчивости откоса идеально сыпучего грунта и идеально связанного грунта. В первом случае рассматривается устойчивость твердой частицы, свободно лежащей на поверхности откоса, имеющего угол наклона к горизонту (рис. 5.11, а). Во втором – устойчивость откоса идеально связанного грунта, при этом предполагается, что сдвиг происходит по плоскости, наклоненной к горизонту под углом (рис.5.11, б).

Рис. 5.11 Схема сил, действующих на частицу откоса идеально сыпучего грунта (а) и на вертикальный массив идеально связного грунта (б).

Теоретические основы метода решения задачи. Вначале рассмотрим откос из идеально сыпучего грунта , где - угол внутреннего трения грунта, рад.; с – сцепление грунта). Разложим вес частицы грунта , лежащей на поверхности откоса, на две составляющие к линии откоса - нормальную и касательную . Сила стремится сдвинуть частицу к подножью откоса, но ей противостоит сила трения пропорциональная нормальному давлению .

Проектируя все силы на наклонную грань откоса, имеем:

. (5.165)

Откуда . (5.166)

Таким образом, предельный угол откоса сыпучих грунтов равен углу внутреннего трения грунта.

Затем рассмотрим откос из идеально связного грунта . Вес призмы обрушения будет равен: . Имея это в виду составим уравнение равновесия, взяв сумму проекций всех сил на направление и приравняв ее нулю.

(5.167)

откуда , (5.168)

где – ускорение силы тяжести, 9.81 м/c²; - плотность грунта, кг/м³.

Определим значение высоты , соответствующей максимальному использованию сил сцепления. Очевидно, при этом и . Тогда из (5.168) получим: . (5.169)

Таким образом, массив связного грунта может иметь вертикальный откос высотой не более .

Мы рассмотрели элементарные задачи. В природных условиях грунты, как известно, имеют не только сцепление, но и трение. В этом случае задача становится сложной. Ее решение получено В.В. Соколовским (1954) на основе численного интегрирования дифференциальных уравнений предельного равновесия. Результат решения представлен в виде одной номограммы и двух расчетных формул. Номограмма дает возможность определить форму равноустойчивого откоса, т.е.откоса, очертания которого найдены из условия предельного равновесия (рис. 5.12). Входными параметрами номограммы являются безразмерные координаты поверхности откоса и . Очертание равноустойчивого откоса строят, начиная с его верхней кромки.

Формула (5.170) позволяет определить максимальное значение внешней равномерно распределенной нагрузки на горизонтальную поверхность равноустойчивого откоса, которую он может воспринять:

. (5.170) Формула (14.51) – максимальную высоту вертикального откоса:

. (5.171)

Приведенные в этом разделе формулы в равной степени относятся как к талым, так и к мерзлым грунтам, поэтому характеристики грунта следует рассматривать как характеристики талого грунта или как характеристики мерзлого грунта.

Рис. 5.12 Номограмма для определения формы равно устойчивого откоса.

Ключевые слова. расчет, модуль вентиляции, горизонтальные термосифоны, квазистационарный режим, чаши и ореолы оттаивания, теплопотери трубопроводов, начальная и критическая нагрузка, допускаемое давление на грунт, дополнительное давление, эпюра напряжений, активная зона сжатия, осадка оттаивания и осадка уплотнения, устойчивость откоса.

Контрольные вопросы.

1. Что понимается под расчетной температурой грунта для столбчатого и свайного фундамента здания, возводимого по принципу I ?

2. Как вычисляется эквивалентная температура грунта ?

3. Что понимается под модулем вентиляции холодного подполья?

4. Напишите балансовое уравнение, из которого находится модуль вентиляции?

5. Что принимается за расчетную температуру грунта в холодном подполье?

6. Какие допущения сделаны при выводе расчетных формул по определению параметров трубчатой охлаждающей системы?

7. Что понимается под квазистационарным температурным режимом в основании здания?

8. Напишите дифференциальное уравнение, из которого находится глубина оттаивания вечномерзлого грунта под серединой здания?

9. Чем определяются теплопотери транспортируемого по трубам газа или жидкости?

10. В чем заключается отличие расчетных формул по определению падения температуры газа или нефти при надземной и подземной прокладке трубопровода?

11. Напишите дифференциальное уравнение, из которого находится глубина оттаивания мерзлого откоса?

12. Что понимается под начальной критической и предельной критической нагрузкой на фундамент?

13. Что такое допустимое давление на грунт и чему оно равно?

14. Из какого условия определяется активная зона сжатия?

15. Что понимается под эквивалентным слоем? Напишите формулу по определению эквивалентного слоя.

16. Какие Вы знаете методы расчета осадки талых неоднородных грунтов от внешней нагрузки?

17. Что понимается под осадкой оттаивания и осадкой уплотнения оттаивающих грунтов?

18. Как определяется осадка оттаивания неоднородных грунтов?

19. Чему равен предельный угол откоса идеально сыпучих грунтов?

20. Какой откос называется равноустойчивым?

21. Напишите формулу по определению максимальной высоты вертикального откоса.