-
Зададим функцию следующим образом:
Выясним, существует ли предел этой
функции в точке
.
Имеем:
Это значит, что в заданной точке функция
имеет предел, равный нулю, по множествам:
1) точек оси абсцисс (
)
и 2) точек оси ординат (
).
Другим словами, при приближении к началу
координат вдоль каждой из осей предел
существует и равен нулю.
Но рассмотрим теперь предел по множеству
точек какой-нибудь прямой
,
где
.
Имеем:
Полученный результат показывает, что значение предела функции в рассматриваемой точке зависит от выбираемого множества: по разным лучам, пересекающимся в начале координат, мы имеем разные значения предела. Следовательно, предел данной функции в данной точке не существует.
-
Функция определена формулой:
Полагая
(для любого конечного
,
отличного от нуля), получим:
Нетрудно
показать (упражнение!), что и по каждой
из осей (т.е. при
)
предел будет равен нулю.
Таким образом, при приближении к началу координат по любой прямой предел существует и равен нулю.
Но пусть теперь
.
Тогда:
Это значит, что при приближении к заданной точке по параболе предел функции в точке зависит от параметра параболы. Тогда и предел функции в данной точке не существует.
Общий вывод таков: существование предела функции в точке по некоторому множеству (и даже по различным множествам) не гарантирует существование предела в точке. Это совершенно аналогично тому, что в одномерном анализе существование односторонних пределов не означает существование предела.
Замечание. Иногда определение предела функции в точке дается через проколотую окрестность точки, т.е. принимается, что
Если используется такое определение
предела, то предел функции в точке может
существовать, когда значение функции
в точке определено, но не равно значению
предела функции в этой точке. Если же
рассматривается определение 2.10, то
такая ситуация не может иметь места. А
именно, предел функции в точке в смысле
определения 2.10 может существовать, если
значение функции в точке не определено,
или значение функции в точке определено
и равно значению предела (непрерывность).
Заметим, что написанное выше определение
предела (через проколотую окрестность)
можно рассматривать как определение
предела по множеству
.
2.3. Непрерывные функции
Понятие непрерывной функции в векторном случае внешне также ничем не отличается от понятия непрерывности, известного из одномерного анализа.
Определение 2.12. Функция
называется непрерывной в точке
(принадлежащей
области определения функции), если для
любого положительного
существует такое
(зависящее от
), что как только
,
так
.
Сопоставляя определение непрерывности в точке с определением предела в точке, немедленно получим
Утверждение 2.6. Функция
непрерывна
в точке
тогда
и только тогда, когда
.
Таким образом непрерывность функции в точке означает, во-первых, существование предела функции в этой точке и, во-вторых, совпадение его со значением функции в этой точке.
Функции из примеров предыдущего
параграфа не являются непрерывными в
точке
.
Функция
непрерывна в каждой точке своей области
определения, которой является вся
плоскость.
Функция
не определена в точке
,
и поэтому не может быть в ней непрерывной,
хотя имеет предел в этой точке (какой?).
Доопределив функцию в точке
так, чтобы ее значение совпало со
значением предела, получим уже непрерывную
в данной точке функцию.
Определение 2.13. Если функция
не
является непрерывной в точке
,
то такую точку называют точкой разрыва
функции
.
Для функции
точкой разрыва будет любая точка сферы
.
Тем самым можно говорить о поверхностях,
линиях разрыва некоторой функции.
Конечно, совершенно не обязательно,
чтобы множество точек разрыва функции
было связным. Так у функции
множество точек разрыва составляет
множество всех точек, лежащих на гиперболе
и множество всех точек оси ординат.
Аналогично теореме 2.2 может быть доказан следующий результат:
Утверждение 2.7. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда каждая ее координатная функция непрерывна в этой точке.
Определение 2.14. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она называется непрерывной в данном множестве.
Мы условимся говорить о функции как о непрерывной (без каких-либо уточняющих эпитетов), если она непрерывна во всей области определения.