1.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и размерность.

Определения линейной комбинации векторов, линейно зависимых, линейно независимых систем векторов, равно как и понятия базиса и размерности, которые были даны в первом семестре применительно к геометрическим и арифметическим векторам, без всяких изменений переносятся на случай произвольного линейного пространства. Здесь эти определения и доказанные на их основе теоремы заново формулироваться не будут. Напомним, что под системой векторов понимается, как и раньше, произвольная (состоящая не менее, чем из одного вектора) конечная последовательность векторов.

Здесь же мы рассмотрим интересный пример линейного пространства без базиса, т.е. такого линейного пространства, в котором любая линейно независимая система может быть расширена без утраты свойства линейной независимости.

С этой целью возьмем пространство функций (для произвольных вещественных) и зададим в нем систему функцийдля некоторого. Докажем, что эта система линейно независима для любого неотрицательного. Предположим противное - тогда для некоторогонайдется нетривиальная линейная комбинация векторов указанной системы, обращающаяся в нуль. Поскольку нулевой вектор здесь - это функция, тождественно равная нулю на отрезке, то существование такой линейной комбинации равносильно тому, чтомногочлен , не все коэффициенты которого равны нулю, тождественно равен нулю. Разумеется, это невозможно. Отсюда следует, что заданная выше система векторов (функций) линейно независима при любом .

Определение 1.2 Линейное пространство, обладающее базисом, называется конечномерным.

Линейное пространство без базиса называется бесконечномерным.

В рамках нашего курса мы будем рассматривать только конечномерные пространства.

1.3. Подпространства и линейные оболочки

Определение 1.3 Подмножество линейного пространстваназываетсяподпространством пространства , если вместе с любыми двумя векторами оно содержит их сумму, а вместе с любым вектором - результат умножения его на любое число.

Утверждение 1.1 Подмножество линейного пространстваявляется подпространствомтогда и только тогда, когда для любой системы векторов воно содержит их произвольную линейную комбинацию.

Доказательство. Упражнение.

Примеры. 1) В пространстве всех геометрических векторов подмножество всех векторов, параллельных некоторой плоскости, будет подпространством, а подмножество всех векторов, концы которых лежат на некоторой плоскости, не будет подпространством.

2) Множество всех решений однородной линейной системы есть, как мы видели в первом семестре, векторное пространство, которое будет ни чем иным, как подпространством арифметического пространства (гдев данном случае есть число неизвестных системы).

3) В пространстве рассмотрим подмножество всех многочленов степени, не превосходящей некоторого фиксированного. Сумма любых двух таких многочленов снова есть многочлен из заданного множества, равно как и результат умножения такого многочлена на произвольное число остается в данном множестве многочленов. Следовательно, множество многочленов степени не вышеявляется подпространством пространства. Можно доказать, что система многочленовявляется базисом этого подпространства (упражнение!), и, таким образом, размерность данного подпространства многочленов равна. Мы имеем здесь, стало быть, пример конечномерного подпространства бесконечномерного линейного пространства.

Определение 1.4 Линейной оболочкой системы векторов некоторого линейного пространстваназывается множество всех линейных комбинаций векторов системы.

Линейную оболочку будем обозначать . По определению тогда

В первом семестре мы определили понятие ранга системы векторов как наибольшего числа линейно независимых векторов системы. Нетрудно доказать следующий результат:

Утверждение 1.2 Ранг системы векторов равен размерности ее линейной оболочки.

Примеры. 1) В пространстве геометрических векторов возьмем систему векторов, состоящую из некоторых двух ненулевых и неколлинеарных векторов . Тогда(для произвольных вещественныхи). Геометрически это множество векторов, параллельных плоскости векторов(любые два неколлинеарных вектора могут быть «положены» в некоторую плоскость, определенную однозначно с точностью до параллельного

переноса) - см. рис. 1.1.

Рис. 1.1

2) Пространство многочленов, рассмотренное выше, есть линейная оболочка системы степенных функций .