02 семестр / Разное / Теория по линейной алгебре (определения, доказательства, формулы) / V782RhwLleN / Linal / LINALG8

73

1.15. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования

Определение 1.26 Квадратная невырожденная матрица называется ортогональной, если обратная к ней совпадает с транспонированной.

Роль ортогональных матриц в теории евклидовых пространств проясняет следующая теорема:

Теорема 1.15 Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда она является матрицей перехода от одного ортонорма некоторого евклидова пространства к другому.

Доказательство. Пусть - ортогональная матрица -ого порядка. Докажем, что ее столбцы образуют ортонормированный базис в .

Вычислим скалярное произведение -ого столбца на -ый:

,

так как транспонированный -ый столбец есть -ая строка транспонированной матрицы, совпадающей с обратной.

Рассматривая столбцы матрицы как столбцы координат в каноническом базисе, получим, что матрица есть матрица перехода от одного ортонорма (канонического базиса) в к другому (состоящему из столбцов данной матрицы).

Обратно, пусть и - два ортонорма в -мерном евклидовом пространстве, причем

.

Вычислим матрицу Грама для базиса (см. п.1.6):

,

так как матрица Грама любого ортонорма единичная. Отсюда, поскольку матрица , как матрица перехода, обратима, .

Теорема доказана.

Определение 1.27 Линейный оператор, действующий в конечномерном евклидовом пространстве, называется ортогональным, если он задается (в каком-то ортонорме) ортогональной матрицей.

Таким образом, по определению, оператор ортогонален, если в некотором ортонорме он задан ортогональной матрицей:

,

где

.

Легко доказать, что в любом ортонорме матрица ортогонального оператора ортогональна.

В самом деле, если ортонорм , то поскольку матрица ортогональна (теорема 1.15), то

Точно так же доказывается, что

Из доказанного сразу ( с учетом утверждения (6) теоремы 1.5 и следствия 1.4) вытекает:

Утверждение 1.21 Ортогональный оператор обратим, причем обратный к нему совпадает с сопряженным.

Теорема 1.16 Следующие условия равносильны:

1. - ортогональный оператор,

2. для любых векторов

3. .

Доказательство. Из условия (1) следует условие (3) (утверждение 1.21), а из этого последнего - условие (2):

Осталось доказать, что из (2) следует (1). Для этого докажем, что матрица(в произвольном ортонорме) оператора , сохраняющего скалярное произведение, обратима. Вычислим ядро оператора . Пусть для ненулевого вектора . Тогда , что невозможно. Итак, , т.е. из следует . Это значит, что система имеет только нулевое решение, откуда (первый семестр!) , т.е. матрица обратима. Тогда из условия сохранения скалярного произведения получим:

Так как это имеет место для любых векторов , то , а так как матрица обратима, то , и оператор является ортогональным.

Теорема доказана.

Замечание. Доказав тривиальность ядра оператора , мы могли бы также сослаться на утверждение 1.7, замечания, сделанные в конце п. 1.8, и на утверждение (6) теоремы 1.5.

В силу этой теоремы можно ортогональный оператор определить как оператор, сохраняющий скалярное произведение, или как оператор, у которого обратный совпадает с сопряженным.

Отсюда, в частности, следует, что самосопряженный ортогональный оператор обратен себе самому.

Ортогональные операторы (их называют также ортогональными преобразованиями) играют в линейной алгебре и ее приложениях очень важную роль. В заключение этого пункта мы дадим характеристику всех ортогональных матриц второго порядка.

Пусть матрица

ортогональна. Тогда должно выполняться:

Первая строчка из написанных трех следует из того, что столбцы ортогональной матрицы ортонормированны; вторая и третья - из условия равенства обратной и транспонированной матриц.

Из первых двух строк получаем:

1 случай: .

При получаем матрицу

,

причем , т.е., вся совокупность матриц в этом случае описывается так:

(1)

Если же , то поскольку , мы можем положить

для некоторого .

Матрица может быть тогда записана в виде:

(2)

2 случай: .

При получаем снова матрицу вида (1).

При аналогично предыдущему придем к матрице:

(3)

Остановимся на геометрической интерпретации выведенных матриц.

Матрица вида (1) есть либо матрица тождественного преобразования плоскости (точнее, множества геометрических векторов, лежащих в некоторой плоскости), либо «отражения» одной из осей, либо одновременного отражения обеих осей - поворота на 180°).

Матрица вида (2) есть матрица поворота на угол с последующим отражением одной из осей.

Матрица (3) есть классическая матрица поворота на угол . Обратная к ней матрица

есть, естественно, матрица поворота на угол .

В частности, если , то матрица

является обратной к себе самой.

1.16. Квадратичные формы в евклидовых пространствах. Закон инерции

Определение 1.28 Квадратичной формой в евклидовом пространстве называется числовая функция , определенная следующим образом:

,

где - некоторый самосопряженный линейный оператор, действующий в .

Замечание. Мы излагаем этот раздел независимо от разделов 1.12 и 1.13. Читатель же, знакомый с этими разделами, легко поймет, что квадратичная форма есть частный случай симметрической билинейной формы, аргументы которой отождествляются.

Введем теперь в какой-то базис , не обязательно ортонормированный. Поскольку, как легко показать,

,

где - матрица Грама базиса , то

.

Таким образом, при записи квадратичной формы в некотором базисе возникает матрица , называемая матрицей данной квадратичной формы в данном базисе. Эта матрица, как мы видим, равна матрице самосопряженного оператора, определяющего форму, в выбранном базисе, умноженной справа на матрицу Грама данного базиса. Заметим, что, хотя оператор и самосопряженный, его матрица в произвольном (не обязательно ортонормированном) базисе может и не быть симметрической, и поэтому, в общем случае, . Если же выбран ортонормированный базис, то , и , т.е., в ортонормированном базисе матрица квадратичной формы совпадает с матрицей определяющего форму самосопряженного линейного оператора.

По определению, однако, принимается, что матрица квадратичной формы в любом базисе является симметрической.

В самом деле, записав квадратичную форму в виде

всегда можно перейти к симметрической матрице , положив

.

Пусть теперь - некий новый базис. Тогда

Следовательно, при переходе к новому базису матрица квадратичной формы преобразуется по закону:

.

Этот закон, названный в п. 1.13 тензорным законом преобразования, совпадает с законом преобразования матриц линейных операторов тогда и только тогда, когда матрица перехода ортогональна и . Таким образом, при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному же базису матрица квадратичной формы преобразуется точно так же, как и матрица определяющего ее самосопряженного оператора. В противном же случае (скажем, при переходе от ортонорма к базису, не являющемуся ортонормом) матрица квадратичной формы уже не будет в новом базисе совпадать с матрицей оператора).

Среди всех базисов, в которых может быть записана квадратичная форма, выделяются такие, в которых матрица формы оказывается диагональной. Если квадратичная форма задана в таком базисе, то говорят, что форма приведена к каноническому виду, а сам базис при этом называют каноническим базисом данной квадратичной формы. Это понятие ни в коем случае не следует путать с понятием канонического базиса арифметического векторного пространства!

Более того, как показывает следующий простой пример, канонический базис совсем не обязан быть ортонормированным.

Рассмотрим такую квадратичную форму (для двумерного случая):

.

Преобразуем ее:

Введем новые переменные

Относительно этих новых переменных наша форма принимает канонический вид:

Соответствующая матрица перехода есть матрица, обратная к и равная .

Если исходную форму считать заданной в ортонорме , то новый базис будет состоять из векторов:

.

Ясно, что канонический базис получился не ортонормированным.

Среди всех канонических базисов квадратичной формы выделяются те, в которых матрица формы принимает вид , где все отличные от нуля числа равны по модулю единице.

Такой канонический базис называется нормальным, а сам вид квадратичной формы в таком базисе - нормальным видом.

Если квадратичная форма приведена к каноническому виду

,

то вводя новые переменные

придем к нормальному виду данной формы.

Поэтому без ограничения общности мы можем рассматривать приведение квадратичных форм к нормальному виду.

Определение 1.29 Сигнатурой квадратичной формы, заданной в нормальном виде, называется разница между числом положительных и отрицательных элементов ее матрицы (т.е., между числом положительных, равных «+1», коэффициентов в нормальном виде и числом отрицательных, равных «-1», коэффициентов). Число же всех ненулевых элементов матрицы в этом случае называется рангом квадратичной формы.

В рассмотренном выше примере сигнатура равна нулю, а ранг - двум.

Нетрудно видеть, что ранг квадратичной формы совпадает с рангом ее матрицы, независимо от выбора любого (не только канонического) базиса. Значительно менее тривиальным фактом оказывается то, что сигнатура квадратичной формы сохраняется в любом каноническом базисе данной формы. Этот факт, известный под названием закона инерции для квадратичных форм, мы сейчас докажем.

Теорема 1.17 (Закон инерции) Сигнатура квадратичной формы не зависит от выбора ее канонического базиса.

Доказательство. Пусть и - два разных канонических базиса квадратичной формы , причем в первом базисе форма имеет вид

,

а во втором:

(- ранг формы ).

Мы должны доказать, что .

Рассмотрим две линейные оболочки:

и

.

По определению линейной оболочки (п. 1.3, опр. 1.4) каждый вектор из имеет в базисе нулевую координату с номером, большим , а каждый вектор из - нулевую координату с номером, меньшим (в базисе ). Это значит, что

а

,

причем равенство имеет место только для нулевого вектора.

Это значит, что

Рассмотрим теперь систему

,

состоящую из векторов.

Докажем, что эта система линейно независима.

Предполагая противное, получим, что существует нетривиальная линейная комбинация

В этой комбинации по крайней мере один «штрихованный» и один «нештрихованный» коэффициент отличны от нуля, ибо иначе получится обращающаяся в нуль линейная комбинация векторов базиса.

Тогда имеем:

,

или

,

где все штрихованные и нештрихованные коэффициенты с двойными индексами отличны от нуля.

В последнем равенстве слева стоит ненулевой вектор из , а справа - из . Это значит, что существует ненулевой вектор, принадлежащий одновременно линейным оболочкам и , но мы только что доказали, что это невозможно.

Следовательно, построенная выше «смешанная» система линейно независима, и число векторов в ней не превышает размерности пространства:

,

или

.

Рассматривая теперь линейные оболочки и , построив «смешанную» систему , совершенно аналогично предыдущему докажем, что

,

т.е., что

.

Окончательно, , и теорема доказана.

Существует несколько различных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду. Важнейшим из них является метод ортогональных преобразований, сводящийся, в сущности, к диагонализации определяющего форму самосопряженного оператора. Согласно этому методу, мы вычисляем спектр и собственные векторы оператора, и записываем форму в ортонорме из собственных векторов в виде

,

где - все отличные от нуля собственные числа.

Приведем таким методом к каноническому виду квадратичную форму, рассмотренную выше в примере.

Запишем ее матрицу в исходном базисе (каноническом базисе двумерного арифметического пространства):

Составим характеристическое уравнение:

Раскрывая определитель, получим:

Отсюда

Сразу можно написать канонический вид исходной формы:

Нормальный вид:

Найдем собственные векторы.

Для имеем уравнение

Полагая , получим:

Общее решение системы будет иметь вид:

В качестве единичного вектора нового базиса имеем вектор

При имеем

Ортогональное преобразование, матрица которого состоит из столбцов , есть именно то преобразование, которое переводит исходный базис в канонический для данной квадратичной формы.

Еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, называемый методом Лагранжа, будет рассмотрен в следующем пункте.