2 курс Метрология (коллоквиумы, лабы) / Теория к опросу

Погрешности косвенных измерений.

Прямые измерения проводят с помощью приборов, которые измеряют саму исследуемую величину. Так, массу тел можно найти с помощью весов, длину измерить линейкой, а время - секундомером. Те же величины в других случаях могут быть найдены только с помощью косвенных измерений - пересчетом других величин, значения которых получены в результате прямых измерений. Так находят массу Земли, расстояние от Земли до Солнца, продолжительность геологических периодов. Измерение плотности тел по их массе и объему, скорости поезда - по величине пути, пройденного за известное время, также принадлежат к косвенным измерениям.

При косвенных измерениях, когда изменяется не сама величина непосредственно, а другие величины, связанные определенной зависимостью с величиной, подлежащей измерению, погрешность результата зависит от погрешности каждого из прямых измерений, входящих в косвенное измерение.

Допустим. что определяется величина Y путем непосредственного измерения величин X₁, X₂,…X_n, с которыми величина Y связана зависимостью

Y=F(X₁, Х₂,...,Х_m), (1)

Эта связь должна быть известна экспериментатору. Помимо данных прямых измерений, параметрами (1) могут оказаться другие величины, точно заданные или полученные в других измерениях, – они составляют набор исходных данных. Выражение (1), записанное в явном виде, называют рабочей формулой и используют как для оценивания результата косвенного измерения, так и для оценивания погрешности измерения Δf. Естественно, обе оценки связаны с окончательными результатами прямых измерений , ,, ……, .

Причем каждая из величин X_i представлена в виде ; σ_i, (характер закона распределения).

Сложение систематических погрешностей производятся по следующей формуле (при условии, если погрешности малы):

. (2)

Эта Формула является общей, справедливой для любого вида функциональной связи с величиной, подлежащей косвенному измерению, и величинам, измеряемым непосредственно.

Среднее квадратическое отклонение случайной погрешности результата косвенного измерения можно найти по формуле

, (3)

где σ_i - среднее квадратическое отклонение случайной погрешности результата прямого измерения X_i, а частная производная берется в точке X₁,X₂,...,Х_m, соответствующей результатам прямых измерений.

Совместное распределение f вокруг , которое учитывает отдельные распределения по каждому из аргументов (1), должно определять погрешность косвенного измерения Δf. Эти распределения нормальны и независимы, поэтому дисперсия их совместного распределения равна сумме их дисперсий, что строго доказано в математической статистике. Тогда среднее квадратичное отклонение совместного распределения, вычисляемое как корень из дисперсии, следует находить из выражения:(4)

Это выражение имеет общий характер и его можно использовать для оценивания погрешности косвенного измерения, выполненного при любом виде функции F(X₁, Х₂,...,Х_m). Однако следует твердо помнить, что при непосредственных расчетах в (4) необходимо подставлять погрешности Δx₁, Δx₂, Δx₃, …., Δx_m, найденные для одного и того же значения доверительной вероятности.

Применим (4) к некоторым распространенным зависимостям. Интерес представляют те случаи, когда с помощью (4) удается установить функциональную связь между погрешностями прямых измерений и погрешностью косвенного измерения. Таблица 1 содержит выражения, задающие такую связь.

 

Таблица 1. Связь погрешностей прямых и косвенных измерений.

 

Рабочая формула	Формула погрешности

В таблице приняты следующие обозначения: Δ – для абсолютной погрешности, δ – для относительной погрешности, A, B, C, – постоянные, x, y, z, – результаты прямых измерений, f – результат косвенного измерения.