К началу

Примеры решения задач

Пример 1. В цилиндр длиной l₀ = 2 м, заполненный воздухом при нормальном давлении р =110⁵ Па, начали медленно вдвигать поршень площадью S = 100 см². Определить давление p₁ в цилиндре и силу F, которая будет действовать на поршень, если поршень остановится на расстоянии l₁ = 2 см от дна цилиндра. (Вес поршня не учитывать).

Дано: l0 =2 м р0 = 1105 Па S = 100 см2 l1 = 2 см	В единицах СИ: S = 110-2 м2 l1 = 2 10-2 м	Решение. 1. Если поршень вдвигать медленно, воздух практически не нагревается, и процесс можно считать изотермическим (T = const). Уравнение такого процесса имеет вид: p0V0 = p1V1, где р0 = 105 Па – начальное давление, V0 = l0S – начальный объем газа, р1 – конечное давление, а V1 = l1 S – конечный объем газа. Из этого уравнения следует, что:
Найти: р1, F

(28)

2. Силу, действующую на поршень, найдем из выражения для давления:

откуда .

Произведем вычисления:

Ответ. ; F = 110⁵ Н.

Пример 2. Под каким давлением находится кислород ( кг/моль) в баллоне объемом V = 10 л и чему равна суммарная кинетическая энергия всех его молекул при условии, что концентрация и средняя квадратичная скорость молекул кислорода составляют, соответственно, и = 10³ м/с.

7 8

Дано: V = 10 л п = 21025 м-3 vкв = 103 м/с NА = 6,02 · 1023 моль-1 R = 8,31 Дж/(мольК)	В единицах СИ: V = 110-2 м3	Решение. 1. Для нахождения давления газа p воспользуемся уравнением Клапейрона–Менделеева из которого следует . (29) Массу газа можно выразить через известные величины следующим образом:
Найти: p, Е.

m = Nm₀где N = nV число молекул газа; n - концентрация газа; V - объем газ; - масса одной молекулы кислорода,  - молярная масса газа; N_A - число Авогадро.

Таким образом:

, . (30)

Температуру газа можно определить исходя из выражения для средней квадратичной скорости молекул .

Находим:

(31)

Подставляя полученные выражения (30) и (31) в (29), окончательно получим:

(32)

2. Суммарная кинетическая энергия всех молекул газа есть ни что иное, как внутренняя энергия газа

(33)

где i = 5 – число степеней свободы для двухатомных молекул газа.

Подставив в (33) полученное выше выражение (32) для давления p, получим

(34)

Произведем вычисления по формулам (4) и (6):

;

.

Ответ. Газ находится по давлением p = 3,5410⁵ Па, а его суммарная кинетическая энергия составляет E_к = 8,8610³ Дж.

Пример 3. Двухатомный газ под давлением р = 150 кПа и при температуре t° = 27°С занимает объем V = 100 л. Определить теплоемкость этого газа при постоянном объеме с_V и при постоянном давлении с_р.

Дано: i = 5 р = 150 кПа t° = 27°С V = 100 л	В единицах СИ р = 1,5 · 105 Па Т =300 К V = 0,1 м3	Решение. Теплоемкости произвольной массы газа m при постоянном объеме сV и при постоянном давлении ср могут быть выражены через молярные теплоемкости, соответственно, при постоянном объеме и при постоянном давлении следующим образом:
Найти: cV, ср

(35)

, (36)

где m - масса газа, μ – молярная масса газа, i = 5 – число степеней свободы для молекул двухатомного газа, R = 8,31 Дж/(мольК) - универсальная газовая постоянная.

Из уравнения Клапейрона-Менделеева

(37)

н

9 10

аходим, что Следовательно, уравнения (35) и (36) принимают вид:

(38)

(39)

Произведем вычисления по формулам (38) и (39):

П

Рис. 2.1.

ример 4. В цилиндре объемом V = 6 л под поршнем, занимающим среднее положение (рис. 2.1), находится водород Н₂ при атмосферном давлении (р₀ = 10⁵ Па). При нагревании газ расширяется при постоянном давлении, в результате чего поршень поднимается вверх до упора, после чего давление газа постепенно возрастает в два раза. Построить pV- и VT-диаграммы наблюдаемых изопроцессов и определить теплоту Q, переданную газу. Трением поршня о стенки сосуда, а также весом поршня и его толщиной пренебречь.

Дано: V1 = 3 л V2 = V = 6 л p1 = р0 = 1105 Па  = 2103 кг/моль р2 = 2р1	В единицах СИ: V1 = 610-3 м3 V2 = 310-3 м3	Решение. На первом этапе газ расширяется от V1 до V2 при постоянном давлении р0, т. е. протекает изобарический процесс, а затем газ нагревается при постоянном объеме, то есть идет изохорический процесс. Представим эти процессы на pV-диаграмме и VT-диаграмме.
Найти: Q

1. На pV-диаграмме (рис.2.2) показано, что переход из состояния 1 в состояние 2 происходит при постоянном давлении р₀ (изобарический процесс), а переход из состояния 2 в состояние 3 – при постоянном объеме V₂ (изохорический процесс). На VT-диаграмме (рис. 2.3) эти же переходы представлены зависимостями V/T = const (12) и V = const (23). T₁, T₂ и T₃ - температуры газа в состояниях 1, 2 и 3, соответственно.

2. Суммарное количество теплоты, Q_p переданное газу, найдем как сумму количеств теплоты, переданных при изобарическом и изохорическом Q_V процессах.

(40)

где i = 5 – число степеней свободы для двухатомной молекулы Н₂; т – масса газа; μ - молярная масса водорода Н_2; R = 8,31 Дж/(мольК)– газовая постоянная.

p p1 3 p0 1 2 V1 V2 V	V 2 3 V2 1 V1 T1 T2 T3 T
Рис. 2.2	Рис. 2.3

Воспользовавшись уравнением Клапейрона-Менделеева полученное выражение (40) для Q можно представить в виде:

(41)

Произведем вычисления по формуле (41):

Дж

Ответ. Суммарное количество теплоты, переданное газу, Q = 2,55 кДж.

Пример 5. Трехатомный (i = 6) газ совершает цикл Карно (см. рис. 2.4). Объем газа в точке В составляет 6 м³. Определить объем газа в точке С, если КПД цикла равен 22%.

Дано: i=6 VВ = 6 м3 = 22%	в единицах СИ = 0,22	p A B D C V Рис.2.4
Найти: VС

11 12

Решение: Так как переход из точки В в точку С газ совершает адиабатически, то воспользуемся уравнением для этого процесса (уравнение Пуассона) в виде:

, (1)

где Т₁ – температура газа в точке В, Т₂ – температура

газа в точке С, V₁ = V_В – объем газа в точке В,

V₂ = V_С – объем газа в точке С, - показатель адиабаты.

Так как для трехатомного газа, представим уравнение (1) в виде:

 (2)

Отношение находим из формулы для КПД цикла Карно:

 . (3)

Подставляя полученное выражение (3) в (2), окончательно находим:

 (4)

Произведем вычисления по формуле (4):

м³

Ответ: Объем газа в точке С составляет 12,6 м³.

Пример 6. Найти изменение энтропии при охлаждении азота массой m = 10 г от 80 ⁰С до 0 ⁰С

а) при постоянном объеме

б) при постоянном давлении.

Дано: N2  = 2810-3 кг/моль m = 10 г = 80 0С = 0 0С R =8,31 Дж/(мольК) а) V = const б) p = const	в единицах СИ m = 110-2 кг Т1 = 353 К Т2 = 273 К	Решение: Изменение энтропии будем искать по формуле: , (1) где dQ – малое изменение теплоты при температуре Т. При изохорном процессе (2)
Найти: SV,, Sp

При изобарном процессе

(3)

Подставляя полученные соотношения (2) и (3) в выражение (1) для изменения энтропии, получим:

а) для изохорного процесса

(4)

б) для изобарного процесса

(5)

Произведем вычисления по формулам (4) и (5):

13 14

Дж/К,

Дж/К.

Знак (-) означает, что энтропия газа при уменьшении его температуры уменьшилась.

Ответ: Энтропия газа уменьшится при уменьшении температуры на 1,93 Дж/К при изохорном процессе и на 2,7 Дж/К при изобарном процессе.

Пример 7. Наружная поверхность неоштукатуренной кирпичной стены толщиной х =50 см (два кирпича) имеет температуру -10 ⁰С, внутренняя +20 ⁰С. За сутки через 1 м² стены за счет теплопроводности теряется количество тепла Q = 3,610⁶ Дж. Определить коэффициент теплопроводности кирпичной кладки.

Дано: х = 50 см оС. оС. S = 1 м2 t = 24 ч Q = 3,6106 Дж	в единицах СИ х = 0,5 м Т1 = 263 К Т2 = 293 К t = 8,64104 с	Решение: Считая стену бесконечной, температуры Т1 и Т2 постоянными, процесс теплопроводности установившимся, уравнение теплопроводности можно записать в виде: Q = æ, (1) где Q – количество теплоты прошедшей через стену толщиной х при разности температур Т= Т2 - Т1 через площадь S за время t, æ – коэффициент теплопроводности.
Найти: æ

Из уравнения (1) находим коэффициент теплопроводности:

æ =

Произведем вычисления:

æ = .

Ответ: Коэффициент теплопроводности æ = .

Пример 8. Горизонтально расположенный капилляр с внутренним радиусом

R =1мм и длиной l = 10 см полностью заполнен водой. Когда капилляр поставили вертикально, опустив нижний конец в воду на пренебрежимо малую глубину, часть воды вытекла. Определить массу вытекшей воды. Плотность воды = 110³ кг/м³, коэффициент поверхностного натяжения = 7210^-3 Н/м.

Дано: R = 1 мм l = 10 см  = 1103 кг/м3 = 7210-3 Н/м	в единицах СИ R = 110-3 м l = 110-1 м	Решение: Масса воды, полностью заполняющей капилляр, равна , где  - плотность воды, l – длина капилляра, R – радиус капилляра. Когда капилляр поставлен вертикально, причем нижний конец находится в воде, высота уровня воды будет
Найти: т		, (1)

где - коэффициент поверхностного натяжения,

 = 0 - краевой угол при полном смачивании - плотность воды,

g = 9,8 м/с² - ускорение свободного падения.

Тогда масса воды, оставшейся в капилляре, будет равна:

m = V = hS =, или, так как cos = 1, m = (2)

Следовательно,

(3)

П

15 16

роизведем вычисления по формуле (3):

кг.

Ответ: Масса вытекшей из капилляра воды равна 0,268 г.