Примеры базисов в линейных пространствах

Линейное пространство	Размерность	Пример базиса
Множество всех радиусов-векторов на плоскости	2	Упорядоченная пара неколлинеарных векторов на плоскости.
Множество всех векторов в пространстве	3	Упорядоченная тройка нормированных, попарно ортогональных векторов.
Множество всех n-компонентных столбцов	n	n cтолбцов вида .
Множество всех матриц размера	nm	nm всевозможных различных матриц размера , все элементы которых равны нулю, кроме одного, равного 1.
Множество решений однородной системы m уравнений с n неизвестными и рангом основной матрицы r		Нормальная фундаментальная система решений.

13.3 Подмножества линейного пространства

Подпространство

Определение. Непустое множество , образованное из элементов линейного пространства R, называется подпространством этого линейного пространства, если для любых и любого числа :

(1) , (2) .

Замечание. Из этого определения следует, что множество само является линейным пространством, поскольку для него, очевидно, выполняются все аксиомы операций в линейном пространстве.

Примеры. 1. Множество радиусов-векторов всех точек, лежащих на некоторой плоскости, проходящей через начало координат, является подпространством во множестве радиусов-векторов всех точек трехмерного геометрического пространства.

2. В пространстве n-мерных столбцов совокупность решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными и с основной матрицей ранга r образует подпространство размерности .

3. Подпространством любого линейного пространства будет:

а) само линейное пространство;

б) множество, состоящее из одного нулевого элемента.

Определение. Пусть даны два подпространства и линейного пространства R. Тогда

1. Объединением подпространств и называется множество элементов , таких, что либо . Объединение подпространств и обозначается .

2. Пересечением подпространств и называется множество элементов , принадлежащих и одновременно. Пересечение подпространств и обозначается .

3. Суммой подпространств и называется совокупность всех элементов при условии, что и . Сумма подпространств и обозначается .

4. Прямой суммой подпространств и называется совокупность всех элементов при условии, что и и . Прямая сумма обозначается .

Сумма и пересечение подпространств и в R также являются подпространствами в R.

Теорема 13.5 Размерность суммы подпространств и равна

Следствие. В случае прямой суммы подпространств

и каждый элемент представим в виде так, что и , единственным образом.

Линейная оболочка системы элементов

Определение. Совокупность всевозможных линейных комбинаций некоторого множества элементов линейного пространства называется линейной оболочкой этого множества и обозначается .

Пусть задан набор элементов , порождающих линейную оболочку , тогда любой элемент этой линейной оболочки имеет вид и справедлива теорема:

Теорема 13.6 Множество всех элементов, принадлежащих линейной оболочке , является в R подпространством размерности m , где m – максимальное число линейно независимых элементов в множестве .

Гиперплоскость

Определение. Множество , образованное из элементов вида , где есть произвольный фиксированный элемент линейного пространства R, а x – любой элемент некоторого подпространства , называется гиперплоскостью (или линейным многообразием) в линейном пространстве R.

Замечание. В общем случае гиперплоскость не является подпространством.

Замечание. Если , то говорят о k-мерной гиперплоскости.