1.2 Розрахунок максимального потоку в мережі за алгоритмом Форда-Фалкерсона.

Знаходження максимального потоку в будь-якій мережі є розповсюдженною задачою на практиці. Для її вирішення одним з найзручніших є алгоритм Форда-Фалкерсона. Його ідея заключаєтья в наступному. Спочатку величині потоку привласнюється значення 0: f(u, v) = 0 для усіх . Потім величина потоку ітеративно збільшується за допомогою пошуку збільшуючого шляху (шлях від джерела s до стоку t, уздовж якого можна послати більший потік). Процес повторюється, поки можна знайти збільшуючий шлях.

Надалі для обчислення максимальної величини потоку заданого графа використовуватимуться наступні позначки:

І - ресурси не використані;

IR - ресурси використані частково;

R - ресурси використані в повному об'ємі.

IП о черзі переглядатимемо усі маршрути зверху вниз і зліва направо:

Рис.1.2.1 Початковий граф

Виберемо довільний маршрут.

1) Нехай це беду 1-2-5-8-9=3

P₁=min {C(1, 2); C(2, 5); C(5, 8);C(8,9)} = min {5; 7; 3;6} = 3

П означимо дуги.

Рис.1.2.2 Результат проходження першого маршруту

2) Наступний маршрут 1-4-7-9=4

P ₂=min {C(1, 4); C(4, 7); C(7, 9)} = min {5; 5; 4} = 4

Рис.1.2.3 Результат проходження другого маршруту

3) Третій маршрут є таким 1-3-6-9 = 4

P ₃=min {C(1, 3); C(3, 6); C(6, 9)} = min {4; 7; 4} = 4

Рис.1.2.4 Результат проходження третього маршруту

4) Останній маршрут 1-2-3-6-8-9 = 2

P ₄=min {C(1, 2); C(2, 3); C(3, 6);C(6,8);C(8,9)} = min {2; 7; 3;2;3} = 2

Рис.1.2.5 Результат проходження четвертого маршруту

Алгоритм завершився, оскільки більше не існує можливих маршрутів сполучаючий джерело та стік. І максимальна пропускна спроможність графа дорівнює сумі пропускних здібностей усіх маршрутів сполучаючий джерело та стік.

P_∑=P₁+ P₂+ P₃+ P₄

P_∑=3+4+4+2=13

Таким чином максимальна пропусена здібність дорівнює 13 одиниць.

1.3 Розрахунок мережевого графу.

Основними часовими парамерами мережевого графа з детермінованим часом виконання операцій розраховують за наступними формулами:

1) ранній термін настання події j

 t ⁱ _p + t _{i j} , якщо до події j підходить одна

t ^j _p =  операція

 max {t ⁱ _p + t _{i j}}, якщо до події j підходить

{i} декілька операцій;

2) пізній термін настання події j

 t ^j _п - t _{i j} якщо від події j відходить одна

t ⁱ _п =  операція ;

 min {t ^j _п - t _{i j}}, е якщо від події j відходить одна

{j} декілька операцій

3) резерв часу подій

R = t _n - t _p ;

4) ранній термін закінчення операції ( i , j )

t _{p о} = t _p + t _{i j ,} при t _{p o} = 0

5) пізній термін закінчення операції (i , j )

t _{n о} = t _n

6) повний резерв часу операції( i , j )

R _n = T_n  T_p  t _{i j} ;

де R _n – максимальний час на який можна відкласти, або збільшити тривалість роботи ( i , j ), не змінюючи директивного або раннього терміну настання завершаючої події;

за R_п приймають мінамальне значання для операцій, що лежать на кретичном шляху; ці мінімальні значення дорівнюють нулю, якщо директивний термін настання завершаючої події не вказаний, або перевищую начало виконання операції на час, що дорівнює тривалості критичного шляху.

Критичний шлях мережевого графу L_кр – це послідовність операцій, тривалість яких дорівює максимальному часу виконання всього комплексу операцій. Тривалість критичного шляху називають критичним часом T_kp. Критичний шлях L_kp визначається як полідовність операцій з найменшим повним резервом.

Розрахунок t _{p o} і t _p ведеться від начала мережевого графа до кінця, а розрахунок t _n и t _{n о} - від кінця до начала. При цьому для кінцевої події t _p = t _n .

Для розрахунку часових параметрів мережевого графу з детермінованим часом виконання операцій не враховують випадкові зміни тривалості операцій, які можуть суттєво вплинуть на термін завершення всього комплексу операцій.

Ітак, рогзлянемо умову нашого графу.

i	1	1	1	2	2	3	3	4	5	5	6	7	6	8	6
j	2	3	4	5	3	6	4	7	8	6	7	9	8	9	9
tij	5	5	4	7	7	7	4	5	3	3	3	4	2	6	4

Для розрахунків нам будуть необхідні такі позначення:

t _p - ранній термін настання події ;

t _n ­- пізній термін настання події ;

t _i.j­ - час операції ;

i - номер передуючої події ;

j - номер наступної події;

R _n - повний резерв часової операції ( i , j ) ;

R - резерв часу операції ;

t _{p o} - ранній термін закінчення операції ( i , j ) ;

t _{n о} - пізній термін закінчення операції ( i , j ) ;

1. t _p - ранній термін настання події ;

t _p (1)=1;

t _p (2)= t _p (1) + t_1.2=0+5

t _p (3)= max [t _p (1)+t_1.3 ; t _p (2)+ t_2.3]= max[0+4;5+7]=12

t _p (4)=max[t _p (1)+t_1.4 ; t _p (3)+ t_3.4 ]=max[0+5; 12+4]=16

t _p (5)= t _p (2) + t_2.5=5+7=12

t _p (6)=max[t _p (3)+t_3.6 ; t _p (5)+ t_5.6 ]=max[12+7; 12+3]=19

t _p (7)=max[t _p (4)+t_4.7 ; t _p (6)+ t_6.7 ]=max[16+5; 19+3]=22

t _p (8)=max[t _p (5)+t_5.8 ; t _p (6)+ t_6.8 ]=max[12+3; 19+2]=21

t _p (9)=max[t _p (6)+t_6.9 ; t _p (7)+ t_7.9; t _p (8) + t_8.9]=max[19+4; 22+4; 21+6]=27

2) t _n ­- пізній термін настання події

t _n(9) ₌ t_p(9) = 27

t _n (8) = t _n (9) - t _8.9 = 27-6= 21

t _n (7) = t _n (9) - t _7.9 = 27-4= 23

t _n (6) =min[ t _n (9) - t _6.9 ; t _n (8) - t _6.8 ; t _n (7) - t _6.7 ] = min[27-4; 21-2; 23-3] =19

t _n (5) =min[ t _n (8) - t _5.8 ; t _n (6) - t _6.8 ] = min[21-3; 19-3] =16

t _n (4) = t _n (7) - t _4.7 = 23-5= 18

t _n (3) =min[ t _n (6) - t _3.6 ; t _n (4) - t _3.4 ] = min[19-7; 18-4] =12

t _n (2) =min[ t _n (5) - t _2.5 ; t _n (3) - t _2.3 ] = min[16-7; 12-7] =5

t _n(1) ₌ t_p(1) = 0

3) R - резерв часу операції ; R(i)=t_n(i)-t_p(i)

R(1) = 0

R(2) = 5-5=0

R(3) = 12-12=0

R(4) = 18-16=2

R(5) = 16-2=4

R(6) = 19-19=0

R(7) = 23-22=1

R(8) = 21-21=0

R(9) = 27-27

4) t _{p o} - ранній термін закінчення операції ( i , j ) ;

t _{p o}(i,j)= t _p(i)+t_i,j

t _{p o}(1.2)= t _p(1) + t_1.2 = 0+5=5

t _{p o}(1.3)= t _p(1) + t_1.3 = 0+4=4

t _{p o}(1.4)= t _p(1) + t_1.4 = 0+5=5

t _{p o}(2.3)= t _p(2) + t_2.3 = 5+7=12

t _{p o}(2.5)= t _p(2) + t_2.5 = 5+7=12

t _{p o}(3.4)= t _p(3) + t_3.4 = 12+4=16

t _{p o}(3.6)= t _p(3) + t_3.6 = 12+7=19

t _{p o}(4.7)= t _p(4) + t_4.7 = 16+5=21

t _{p o}(5.6)= t _p(5) + t_5.6 = 12+3=15

t _{p o}(5.8)= t _p(5) + t_5.8 = 12+3=15

t _{p o}(6.7)= t _p(6) + t_6.7 = 19+3=22

t _{p o}(6.8)= t _p(6) + t_6.8 = 19+2=21

t _{p o}(6.9)= t _p(6) + t_6.9 = 19+4=23

t _{p o}(7.9)= t _p(7) + t_7.9 = 22+4=26

t _{p o}(8.9)= t _p(8) + t_8.9 = 21+6=27

5. t _{n о} - пізній термін закінчення операції ( i , j ) ;

t _{n о} (1.2) = t _{n о}(2) = 5

t _{n о} (1.3) = t _{n о}(3) = 12

t _{n о} (1.4) = t _{n о}(2) = 18

t _{n о} (2.3) = t _{n о}(2) = 12

t _{n о} (2.5) = t _{n о}(2) = 16

t _{n о} (3.4) = t _{n о}(2) = 18

t _{n о} (3.6) = t _{n о}(2) = 19

t _{n о} (4.7) = t _{n о}(2) = 23

t _{n о} (5.6) = t _{n о}(2) = 19

t _{n о} (5.8) = t _{n о}(2) = 21

t _{n о} (6.7) = t _{n о}(2) = 23

t _{n о} (6.8) = t _{n о}(2) = 21

t _{n о} (6.9) = t _{n о}(2) = 27

t _{n о} (7.9) = t _{n о}(2) = 27

t _{n о} (8.9) = t _{n о}(2) = 27

6) R - резерв часу операції ;

R_n(i,j) = t_n(j) – t_p(i) – t_i.j

R_n(1.2) = t_n(2) – t_p(1) – t_1.2 = 5-0-5=0

R_n(1.3) = t_n(3) – t_p(1) – t_1.3 = 12-0-4=8

R_n(1.4) = t_n(4) – t_p(1) – t_1.4 = 18-0-5=13

R_n(2.3) = t_n(3) – t_p(2) – t_2.3 = 12-5-7=0

R_n(2.5) = t_n(5) – t_p(2) – t_2.5 = 16-5-7=4

R_n(3.4) = t_n(4) – t_p(3) – t_3.4 = 18-12-4=2

R_n(3.6) = t_n(6) – t_p(3) – t_3.6 = 19-12-7=0

R_n(4.7) = t_n(7) – t_p(4) – t_4.7 = 23-16-5=2

R_n(5.6) = t_n(6) – t_p(5) – t_5.6 = 19-12-3=4

R_n(5.8) = t_n(8) – t_p(5) – t_5.8 = 21-12-3=6

R_n(6.7) = t_n(7) – t_p(6) – t_6.7 = 23-19-3=1

R_n(6.8) = t_n(8) – t_p(6) – t_6.8 = 21-19-2=0

R_n(6.9) = t_n(9) – t_p(6) – t_6.9 = 27-19-4=4

R_n(7.9) = t_n(9) – t_p(7) – t_7.9 = 27-22-4=1

R_n(8.9) = t_n(9) – t_p(8) – t_8.9 = 27-21-6=0