Общие методические указания

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий.

Если в процессе изучения материала или при решении задач у студента возникают трудности, то можно обратиться к. преподавателю кафедры математики для получения устной, или письменной консультации. В случае письменной консультации студент должен точно указать характер затруднения, полное название учебника или задачника, год издания и страницу, где находится непонятный для студента вопрос или задача.

При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1. Каждая работа должна выполняться в отдельной тет-ради (в клетку), на внешней обложке которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, номер контрольной работы, дата ее отсылки в институт, домашний адрес студента.

2. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие.

3. Решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул, теорем.

4. Решение, задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами (желательно на миллиметровой бумаге), выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Объяснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах.

5. На каждой странице тетради, необходимо оставлять поля шириной 3 — 4 см для замечаний преподавателя.

6. Контрольные работы должны, выполняться самостоятельно. Несамостоя­тельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по теме. Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, то она не будет зачтена.

Изучите теорию по указанным разделам, разберите решения задач, приведенных в данных методических указаниях и приступайте к выполнению контрольных работ. Желаем удачи!

Тема 1 Случайные события. Вероятность события

Наблюдение явления (эксперимент) называется испытанием. Результат испытания называется событием.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появления другого в одном и том же испытании.

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию , обозначают через .

Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным.

Событие называют невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Событие называют случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится одно из них.

Событие называется благоприятствующим событию , если наступление события влечет за собой наступление события .

Классическое определение вероятности. Вероятностью события называют отношение числа исходов, благоприятствующих событию , к общему числу исходов, т.е.

.

Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна единице: .

2. Вероятность невозможного события равна нулю: .

3. Вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей:

.

Суммой событий и называется событие , состоящее в том, что произошло или событие , или событие , или оба одновременно.

Произведением событий и называют событие , состоящее в том, что произошло и событие , и событие .

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность наступления одного из несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Два события и называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события называют зависимыми.

Условной вероятностью события называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило.

Заметим, что если события и независимы, то

Теорема умножения вероятностей.

1. Вероятность произведения двух зависимых событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое уже наступило:

.

2. Вероятность произведения двух независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий:

.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

.

Формула полной вероятности. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из попарно несовместных событий , , …, (их называют гипотезами), образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события :

.

Формула Бейеса. Если произведено одно испытание, в результате которого произошло событие , то можно переоценить вероятности гипотез:

( ),

где вероятность вычисляется по формуле полной вероятности.